【数学】2025年高考真题-天津卷（精校版）

2025年高考天津卷数学真题一、单选题1.已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，3，5}，则∁U(A∪B)等于()A.{1，2，3，4} B.{2，3，4}C.{2，4} D.{4}答案D解析由A={1，3}，B={2，3，5}，则A∪B={1，2，3，5}，又集合U={1，2，3，4，5}，故∁U(A∪B)={4}.2.设x∈R，则“x=0”是“sin2x=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析由x=0⇒sin2x=sin0=0，则“x=0”是“sin2x=0”的充分条件；令sin2x=0，则2x=kπ，k∈Z，故x=kπ2，k∈Z，所以sin2x=0⇒/x=0，则“x=0”不是“sin2x=0综上可知，“x=0”是“sin2x=0”的充分不必要条件.3.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()A.f(x)=xB.f(x)=xC.f(x)=xD.f(x)=x答案D解析由题图可知，该函数为偶函数，而函数f(x)=x1-x和函数f(x)=xx-1为奇函数，故又当x∈(0，1)时，1-x2>0，x2-1<0，此时f(x)=x1-x2>0，f(x)=由题图可知当x∈(0，1)时，f(x)<0，故C错误，D正确.4.若m为直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是()A.若m∥α，n⊂α，则m∥nB.若m⊥α，m⊥β，则α⊥βC.若m∥α，m⊥β，则α⊥βD.若m⊂α，α⊥β，则m⊥β答案C解析若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故A错误；若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故B错误；若m∥α，m⊥β，则α⊥β，故C正确；若m⊂α，α⊥β，则m与β平行或相交或m⊂β，故D错误.5.下列说法中错误的是()A.若X~N(μ，σ2)，则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)B.若X~N(1，22)，Y~N(2，22)，则P(X<1)<P(Y<2)C.|r|越接近1，相关性越强D.|r|越接近0，相关性越弱答案B解析根据正态分布的对称性可知，若X~N(μ，σ2)，则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)，故A正确；若X~N(1，22)，Y~N(2，22)，则P(X<1)=P(Y<2)=0.5，故B错误；样本相关系数r的绝对值越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C，D正确.6.已知数列{an}的前n项和为Sn=-n2+8n，则数列{|an|}的前12项和为()A.112 B.48 C.80 D.64答案C解析因为Sn=-n2+8n，所以当n=1时，a1=S1=-12+8×1=7，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(-n2+8n)-[-(n-1)2+8(n-1)]=-2n+9，经检验，a1=7满足上式，所以an=-2n+9(n∈N*)，令an=-2n+9≥0⇒n≤4，an=-2n+9≤0⇒n≥5，设数列{|an|}的前n项和为Tn，则T4=S4=-42+8×4=16，T12=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a12|=a1+a2+a3+a4-a5-a6-…-a12=2S4-S12=2×16-(-122+8×12)=80.7.函数f(x)=0.3x-x的零点所在区间是()A.(0，0.3) B.(0.3，0.5)C.(0.5，1) D.(1，2)答案B解析由指数函数、幂函数的单调性可知y=0.3x在R上单调递减，y=x在[0，+∞)上单调递增，所以f(x)=0.3x-x在定义域[0，+∞)上单调递减，又f(0)=1>0，f(0.3)=0.30.3-0.30.5>0，f(0.5)=0.30.5-0.50.5<0，所以根据零点存在定理可知，f(x)的零点所在区间为(0.3，0.5).8.f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<π)，在-5π12，π12上单调递增，且x=π12为它的一条对称轴，π3，0是它的一个对称中心，当x∈0A.-32 B.-12答案A解析设f(x)的最小正周期为T，根据题意有πω12+φ=π由正弦函数的对称性可知π3-π12=(2n+1)T4(n∈即π4=2nπ+π2ω，∴ω=4n+2(又f(x)在-5π12，π12上单调递增，则T2≥π12--5π12=π2，∴ω=2，则φ=π3+2kπ∵φ∈(-π，π)，∴当k=0，m=1时，φ=π3∴f(x)=sin2x又当x∈0，π2时，2x+π由正弦函数的单调性可知当2x+π3=4π3，即x=π2时，f(x)min=sin4π9.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以右焦点F2为焦点的抛物线y2=2px(p>0)与双曲线交于第一象限的点P，若|PF1|+|PF2|=3|F1F2|A.2 B.5 C.2+12答案A解析根据题意可得F2p2，0，设双曲线的半焦距为c，P(x0，y0)，则p过点F1作x轴的垂线l，过点P作l的垂线，垂足为A，显然直线AF1为抛物线的准线，则|PA|=|PF2|，由双曲线的定义及已知条件可知|PF1|-|PF2|=2a，|PF1|+|PF2|=6c，在Rt△APF1中，由勾股定理可知AF1|2=y02=PF1|2-|易知y02=2px0=4cx0，∴x0=y0即x02a2-y02整理得2c2-3ac-2a2=0，即(2c+a)(c-2a)=0，∴c=2a，故离心率e=ca二、填空题10.已知i是虚数单位，则3+ii=.答案10解析由题意得，3+ii=-i(3+i)=1-3i，所以3+ii=1211.在(x-1)6的展开式中，x3项的系数为.

答案-20解析(x-1)6的展开式的通项为Tk+1=C6kx6-k·(-1)当k=3时，T4=C63x3·(-1)3=-20x即在(x-1)6的展开式中，x3项的系数为-20.12.已知l1：x-y+6=0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与(x+1)2+(y-3)2=r2(r>0)交于C，D两点，|AB|=3|CD|，则r=.

答案2解析由题意得直线l1：x-y+6=0与x轴交于A(-6，0)，与y轴交于B(0，6)，所以|AB|=62+62=62，则|圆(x+1)2+(y-3)2=r2的半径为r，圆心(-1，3)到直线l1：x-y+6=0的距离为d=|-1-3+6|2故|CD|=2r2-d2=2解得r=2(负值舍去).13.小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望E(X)=.

答案0.63.2解析设小桐一周跑11圈为事件A，第一次跑5圈为事件B，第二次跑5圈为事件C，则P(A)=P(B)P(C|B)+P(B)P(C|B)=0.5×0.6+0.5×0.6=0.6；设运动量达标为事件D，则P(D)=P(A)+P(B)P(C|B)=0.6+0.5×0.4=0.8，所以X~B(4，0.8)，E(X)=4×0.8=3.2.14.在△ABC中，D为AB边的中点，CE=13CD，AB=a，AC=b，则AE=(用a，b表示)，若|AE|=5，AE⊥CB，则AE·CD=答案16a+23b解析如图，因为CE=13CD，所以AE-AC=13(AD-AC)，所以AE因为D为线段AB的中点，所以AE=16AB+23AC=16因为|AE|=5，AE⊥CB，CB=a-b，所以AE2=16a+23b2=136a2+29AE·CB=16a+23b·(a-b)=16a2+12a·b-23b2=0，所以a2由①②得a2+4a·b=180，又CD=AD-AC=12AB-AC=12a所以AE·CD=16a+23b·12a-b=112a2=112(a2+2a·b-2a2-6a·b)=112(-a2-4a·b)=112×(15.若a，b∈R，对∀x∈[-2，2]，均有(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立，则2a+b的最小值为.

答案-4解析设t=2a+b，则原题转化为求t的最小值，原不等式可转化为对∀x∈[-2，2]，均有tx2+(t-2a)x-a-1≤0恒成立，不妨代入x=-12，得14t-12(t-2a)-a-1≤0，得t当t=-4时，原不等式可化为-4x2+(-4-2a)x-a-1≤0，即-2x+12a+12观察可知，当a=0时，-(2x+1)2≤0对∀x∈[-2，2]恒成立，当且仅当x=-12此时a=0，b=-4，说明当t=-4时，a，b均可取到，满足题意，故t=2a+b的最小值为-4.三、解答题16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinB=3bcosA，c-2b=1，a=7.(1)求A的值；(2)求c的值；(3)求sin(A+2B)的值.解(1)已知asinB=3bcosA，由正弦定理得sinAsinB=3sinBcosA，显然cosA≠0，sinB≠0，则tanA=3，由0<A<π，可知A=π3(2)由(1)知，cosA=12，且c=2b+1，a=7由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得7=b2+(2b+1)2-2b(2b+1)×12=3b2+3b+1，即b2+b-2=0解得b=1(b=-2舍去)，故c=3.(3)由正弦定理asinA=bsinB，且b=1，a=7，sin得sinB=bsinAa=2114，且a>故cosB=57又sin2B=2sinBcosB=53且cos2B=1-2sin2B=1-2×21142=故sin(A+2B)=sinAcos2B+cosAsin2B=32×1114+12×517.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别为A1D1，C1B1的中点，CG=3GC1.(1)求证：GF⊥平面FBE；(2)求平面FBE与平面EBG夹角的余弦值；(3)求三棱锥D-FBE的体积.(1)证明方法一在正方形BCC1B1中，由条件易知tan∠C1FG=GC1C1F=12=F所以∠C1FG=∠B1BF，则∠B1FB+∠B1BF=π2=∠B1FB+∠C1FG故∠BFG=π-(∠B1FB+∠C1FG)=π2即GF⊥BF，在正方体中，易知D1C1⊥平面BCC1B1，且EF∥D1C1，所以EF⊥平面BCC1B1，又GF⊂平面BCC1B1，所以EF⊥GF，因为EF∩BF=F，EF，BF⊂平面FBE，所以GF⊥平面FBE.方法二如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B(4，4，0)，E(2，0，4)，F(2，4，4)，G(0，4，3)，所以EF=(0，4，0)，EB=(2，4，-4)，FG=(-2，0，-1)，设平面FBE的法向量为m=(a，b，c)，则m令a=2，则b=0，c=1，所以m=(2，0，1)，易知FG=-m，则FG也是平面FBE的一个法向量，所以GF⊥平面FBE.(2)解同上方法二建立的空间直角坐标系，则EG=(-2，4，-1)，BG=(-4，0，3)，由(1)知FG=(-2，0，-1)是平面FBE的一个法向量，设平面EBG的法向量为n=(x，y，z)，所以n令x=6，则z=8，y=5，即n=(6，5，8)，设平面FBE与平面EBG的夹角为α，则cosα=|cos〈FG，n〉|=|FG·n||FG||n|=205×125=(3)解因为EF⊥平面BCC1B1，FB⊂平面BCC1B1，所以EF⊥FB，易知S△FBE=12EF·FB=12×4×42又D(0，0，0)，则DE=(2，0，4)，故点D到平面FBE的距离为d=|DE·FG由棱锥的体积公式知V三棱锥D-FBE=13S△FBE×d=13×45×8518.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，P为x=a上一点，且直线PF的斜率为13，(1)求椭圆的方程；(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于点A)，求证：PF平分∠AFB.(1)解依题意，设椭圆x2a2+y2b2=1(a>则左焦点F(-c，0)，右顶点A(a，0)，离心率e=ca=12，即a=2因为P为x=a上一点，设P(a，m)，又直线PF的斜率为13则m-0a-(-c)即m2c+解得m=c，则P(a，c)，即P(2c，c)，因为△PFA的面积为32，|AF|=a-(-c)=a+c=3c，高为|m|=c所以S△PFA=12|AF||m|=12×3c×c=解得c=1，则a=2c=2，b2=a2-c2=3，所以椭圆的方程为x24+(2)证明由(1)可知，P(2，1)，F(-1，0)，A(2，0)，易知直线PB的斜率存在，设其方程为y=kx+t，则1=2k+t，即t=1-2k，联立y=kx+t,x24+y23=1,得(因为直线PB与椭圆有唯一交点，所以Δ=(8kt)2-4(3+4k2)(4t2-12)=0，即4k2-t2+3=0，则4k2-(1-2k)2+3=0，解得k=-12，则t=2所以直线PB的方程为y=-12x+2联立y=-12x+2,方法一则FB=2，32，FP=(3，1)，FA=(3，所以cos∠BFP=FB·FP|FB||FP|=2×3+32×1则cos∠BFP=cos∠PFA，又∠BFP，∠PFA∈0，所以∠BFP=∠PFA，即PF平分∠AFB.方法二所以kFB=32-01-(-1)=34，kPF=1-02-(-1)=1由两直线夹角公式，得tan∠BFP=34-131+13×34=则tan∠BFP=tan∠PFA，又∠BFP，∠PFA∈0，所以∠BFP=∠PFA，即PF平分∠AFB.方法三则tan∠PFA=kPF=1-02-(-1)=13，tan∠BFA=kFB=32故tan2∠PFA=2tan∠PFA1-tan2∠PFA=2又∠BFA，∠PFA∈0，所以∠BFA=2∠PFA，即PF平分∠AFB.方法四则kFB=32-01-(-1)所以直线FB的方程为y=34(x+1)，即3x-4y+3=0则点P(2，1)到直线FB的距离为d=|3×又点P到直线FA的距离也为1，所以PF平分∠AFB.19.已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a1=b1=2，a2=b2+1，a3=b3.(1)求{an}，{bn}的通项公式；(2)∀n∈N*，I∈{0，1}，有Tn={p1a1b1+p2a2b2+…+pn-1an-1bn-1+pnanbn|p1，p2，…，pn-1，pn∈I}，①求证：对任意实数t∈Tn，均有t<an+1bn+1；②求Tn所有元素之和.(1)解设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，由题意得2+d=2所以an=2+3(n-1)=3n-1，bn=2×2n-1=2n.(2)①证明由(1)得pnanbn=(3n-1)2npn=0或pnanbn=(3n-1)2n>0，an+1bn+1=(3n+2)2n+1，当pnanbn=(3n-1)2n>0时，设Sn=p1a1b1+p2a2b2+…+pn-1an-1bn-1+pnanbn=2×2+5×22+…+(3n-4)2n-1+(3n-1)2n，所以2Sn=2×22+5×23+…+(3n-4)2n+(3n-1)2n+1，则-Sn=4+3×(22+23+…+2n)-(3n-1)2n+1=4+3×22(1-2n-1)1-2-(3n-1)2n+1=-8+(故Sn=8+(3n-4)2n+1为Tn中的最大元素，则t≤Sn，此时an+1bn+1-Sn=(3n+2)2n+1-[8+(3n-4)2n+1]=6·2n+1-8>0对∀n∈N*恒成立，所以对任意实数t∈Tn，均有t<an+1bn+1.②解由①得Sn=8+(3n-4)2n+1为Tn中的最大元素，由题意可得，Tn中的所有元素由以下系列中所有元素组成：当p1，p2，…，pn-1，pn均为1时，该系列元素只有Sn=8+(3n-4)2n+1，共有Cn当p1，p2，…，pn-1，pn中只有一个为0，其余均为1时，该系列的元素有Sn-a1b1，Sn-a2b2，Sn-a3b3，…，Sn-anbn，共有Cn则这n个元素的和为Cn1Sn-(a1b1+a2b2+…+anbn)=(Cn1-C当p1，p2，…，pn-1，pn中有2个为0，其余均为1时，该系列的元素为Sn-bi-ajbj(i，j∈{1，2，…，n}，i≠j)，共有Cn则这n个元素的和为Cn2Sn-Cn-11(a1b1+a2b2+…+anbn)=(Cn当p1，p2，…，pn-1，pn中有3个为0，其余均为1时，该系列的元素为Sn-bi-ajbj-akbk(i，j，k∈{1，2，…，n}，i≠j≠k)，共有Cn则这n个元素的和为Cn3Sn-Cn-12(a1b1+a2b2+…+anbn)=(Cn…当p1，p2，…，pn-1，pn中有n-1个为0，1个为1时，该系列的元素为a1b1，a2b2，…，anbn，共有Cn则这n个元素的和为Cnn-1Sn-Cn-1n-2(a1b1+a2b2+…+anbn)=(当p1，p2，…，pn-1，pn均为0时，该系列的元素只有0，共有Cn综上所述，Tn中的所有元素之和为Sn+(Cn1-1)Sn+(Cn2-Cn-11)Sn+(Cn3-Cn-12)S=[(Cn0+Cn1+…+Cnn-1+Cnn)-(Cn-1=(2n-2n-1)Sn=2n-1Sn=2n-1·[8+(3n-4)2n+1]=2n+2+(3n-4)22n.20.已知函数f(x)=ax-(lnx)2.(1)a=1时，求f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)f(x)有3个零点x1，x2，x3且x1<x2<x3.①求a的取值范围；②证明(lnx2-lnx1)·lnx3<4ee-1(1)解当a=1时，f