贵州省贵州省黔东南州从江县2024届高三上学期11月检测数学试题（解析版）

贵州省黔东南州从江县2024届高三上学期11月检测

数学试题

一、单项选择题

I.设集合4=3X—1>OlB

J,集合则43（)

A.(1,3)R(网C.(0,+8)D.(1,4-00)

【答案】C

【解析】因为八二{小一1>0},所以人=卜中>1},

且3={x|0vx«3},所以XB>0}=(0,+o>).

故选：C.

2.在复平面内，复数工对应的点位于（

)

2+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

5_5(2-i)_10-5i_

【解析】2+「(2+i)(2.i)-5一~

所以该复数在复平面内的点的坐标为（2,7）,位于第四象限.

故选：D.

3.圆f_4x+y2-2）,=0的圆心在抛物线）,2=2〃工上，则该抛物线的焦点坐标为（）

1\

BoID/

-c-(

4IX

7

【答案】A

【解析】圆1一4%十y2-2）,=0的圆心坐标为（2,1）,则12=2〃X2,得〃=；，所以该

（1、

抛物线的焦点坐标为-,o.

IX）

故选：A.

4.若随机变量X〜N（10,22）,则下列选项错误的是（）

A.P（X>10）=0.5B.P（X<8）+P（X<12）=1

C.P（8<X<12）=2P（8<X<10）D.Z）（2X+1）=8

【答案】D

【解析】根据随机变量X〜N（10,22）可知正态分布曲线的对称轴为X=10,均值为2,

方差为4,

所以P（X210）=05,故A正确,P（X<8）+P（X<12）=P（X>12）+P（X<12）=1,

故B正确，

P（8<X<12）=2P（8<X<10）,C正确，

O（2X+1）=4O（X）=16,故D错误，

故诜：D.

5.已知等比数列｛q｝满足4+6=10,q+4=80,则数列｛为｝前8项的和为（）

A.254B.256C.510D.512

【答案】C

【解析】设等比数列｛《J公比为夕，则。3=4/

4（1+/）=104=2

则题意得〈,解得《

。1夕3（1+片）=80q=2

=510.

故选：C.

6.函数7m・cos（,+［的部分图象大致形状是（）

【答案】C

vr

e_i(Jr\i-e

【解析】因为〃”=/7rosb+x7Tsinx的定义域为R'定义域关于原点对

称，

rv-xx

1_e-,e(l-e)i_e

K/(~x)=------sin(-x)=-----------；sinx=----sinx=f(x)

八7e-v+1I)ev(e-v+l)ev+l」')

所以f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，排除R、D选项：

当x>0时，，令,f(x)=0可得x=()或x=E(ZeZ),

|_XI_X

当0vx<7t时，-----<0，sinx>0，所以/(x)=-----sin<0，

e'+1v7ex+l

故选项A错误，选项C正确.

故选：C.

7.贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛该联

赛由台盘村"六月六''吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为“村BA”.村BA给全国人民展

现的不仅是贵州人热爱生活的精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，同时给贵州的

旅游带来巨大的收益.2023年8月20口晚上村BA西南大区赛总决赛落卜帷幕，为庆祝比赛

顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2

名球员参加扣篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后一位，那么一共有

()种表演顺序.

A.A；B.C；A：C.A；A：D.A；A：

【答案】C

【解析】由题意易知，一共有8个人需要排列.先确定贵州两名球员顺序为A；,在确定其

余6人顺序为A：,由分方乘法原理可得一共有A；A：种顺序.

故选：C.

8.在锐角^ABC中，角AB,C的对边分别为,且_ABC的面积S=Z?c(l-cosX),则

土的取值范围为()

be

443213216)

A.一，+8

5一5'司

因为正切函数），=lanx在0微上单调递增,

3

_cosA

所以tanC>tanI=2

sinA44

5

343435

—</=-----------J--<-------

从而55tanC54亡35~3»

0X

4

而函数±=/+i-g=/“）在单调递减，

单调递增,

bef5八,15J

「Jfl616116

Wl^-=/(l)</(r)<max/-J-P=max^—^=—.

j[1J13JIJ

综上所述：工2的取值范4围16为、.

he|_515；

故选：B.

二、多项选择题

9.下列说法正确的是（）

A.线性回归方程中，若线性相关系数「越大，则两个变量的线性相关性越强

B.数据1,3,4,5,7,9,11/6的第75百分位数为10

C根据分类变量X与V的成对样本数据，计算得到z2=3.937,根据小概率值a=0.05的

独立性检验（与.05=3.841）,可判断X与丫有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05

D.某校共有男女学生15CQ人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为100人的样本，若

样本中男生有55人，则该校女生人数是675

【答案】BCD

【解析】对于A,相关系数1厂区1,且I川越接近于1,相关程度越大，

反之两个变量的线性相关性越弱，

当一1«一＜0时，线性相关系数厂越大，卜|则越小，

线性相关性越弱，故选项A错误；

对于R,数据1,3,4,5,7,9,11,16是从小到大排列的，由8x75%=6,

9+11

则第75百分位数为第6项数据与第7项数据的平均数——=10,

2

故选项B正确：

对于C：因为/=3.937>3.841=%。5，

所以有95%的把握可判断分类变量X与y有关联，

此推断犯错误的概率不大于0.05,故选项C正确：

对于D,设该校女生人数是x,则由分层抽样的比例分配方式，

得%=100-55解得“=675,故选项D正确.

1500x

故选：BCD.

10.设函数/（力=851+：）,则下列结论正确的是（）

A.y=/（x）的一个周期为2兀

Q

B.y=/（x）的图像关于直线x=一兀对称

3

c.y=f（x+Tt）的一个零点为X=5

D.y=/（x）在兀）单调递减

【答案】ABC

71

【解析】因为函数/（x）=cos（x+-）,所以它的一个周期为2兀，故A正确；

令X=等,求得/（无）=-1为最小值，故"X）的图像关于直线工=，对称,故R正确：

对于y=/（工+兀）=cos（.t+7l+—）=-cos（x+一）,令X=一、可得/（X+7T）=O,

336

7E

故y=.f（工+兀）的一个零点为工=:，故c正确；

6

（it、兀（5兀4兀、“花）a—..（4兀）

当RW—,7rl,x+yeII,函数y=COSX在［n■，兀上单调递减，在乃,可"J上

单调递增，所以函数/（©在三,兀上没有单调性，故D错误.

（2）

故选：ABC.

11.若。>0,8>0,且加+〃=1,则下列说法正确的是（）

A.。〃有最大值§B.Y2a+有最大值2

C.』十£有最小值4D.41+〃有最小值立

ab2

【答案】AC

2

【解析】对于A,gh=-x2ab<-x^a+b>>~=-^

2248

当且仅当2。=〃=，时取等号，

2

所以有最大值-，故A正确；

8

对于B,因2。十人22及斯，所以2（2。+6）22。+。+2与3=（伍'+正丫，

所以岳+&W《2（2a+b）=O,

当且仅当2。=〃=，时取等号，

2

所以疡+〃有最大值故B错误；

1a2a+ba.ba、八ba

对于C,-+-=-----------F-=2+-+->2+2/-----=4A,

ababab\ab

当且仅当2=:,即〃=〃=，时取等号，

ab3

所以1+£有最小值4,故C正确；

ab

对于D,因为4，/+/22x2a〃，所以2（4〃2+〃2）之4。2+〃+2*2。〃=（2。+/?）2,

所以4〃2+从之（%+"）=，，当且仅当2。=〃=,时取等号，

222

所以4/+从有最小值机，故D错误.

故选：AC.

12.已知函数〃x)=xlnx,g(x)=L皿，则下列说法正确的是()

A./(x)的图象在x=l处的切线方程为了一y一1二0

B.g(x)的极小值为1

c.当工£时，/(冗)＜屋可

若函数/(x)=/(x)-aP恰有两个极值点，则。的取值范围是(0,：

D.

【答案】ACD

【解析】由:(x)=l+ln/,则/(1)=1,又/⑴=0,

故切线方程为y=x-i=x-y-1=0，A对;

]nV

由g'(x)=——r»则Ovxvl时g'(x)＞。,g(x)递增,X＞1时g'(x)＜。,g(x)递减,

•X

所以wW有极大值为g(i)=i,无极小值，B错;

由上知:0＜x＜，时r(x)＜。，f(x)递减,时/(X)递增,

ee

所以大£卜,1］上“X)、g(X)均递增，此时/(耳＜川)=0=

c对,

Ie7

由题意k(x)=/'(x)—%r=l+lnx-2ar恰有两个零点，即""'=2〃有两个根,

x

要使g(x)与y=2a有两个交点，则0<2a<g(l)=l=0<a<5,D对.

故选：ACD.

三、填空题

13.在(x+七)的展开式中，常数项等于.

【答案】15

【解析】[展开式的通项为.产J/=q.3(r=0,l,2,,6)，

3/*

令6——=0,得〃=4,

2

故展开式的常数项为第5项：7；=Ci=15.

故答案为：15.

14.已知非零向量〃，〃满足卜卜2同，且(a+/?)_L1,则a与〃的夹角为

【答案】—

3

【解析】因为(〃+〃)，〃，所以(a+〃)-a=0,

lKab-\a[1

则。乃二一。？，COS<6Z,Z?)=—j-77=――y=--,

\a\\b\2回2

则。与力的夹角为弓■.

故答案为：.

3

15.已知函数=则//削的值是-------

【答案】I

/、[log,x,(x＞0)(11

【解析】因为/(力=茄’所以/匕尸°g2厂-2,

所以兄-2)=3-2=]

L⑷」9

故答案为：一.

9

22

16.已知双曲线C:j-匚=1(。＞0力＞0),直线y=。与双曲线C交于M,N两点，直线

crlr

y二一人与双曲线C交于产,Q两点，若|MN|=及|/)Q|,则双曲线C的离心率等于

【答案】巫

3

2222

【解析】将y代入「一「一1,得三一4一1,

a-b-a-b-

即2…4

即x=a+—=---；——-，

b2b2

解得x=±-\Jb2+a2,

b

所以|MN|=与"'+4‘,

将y=一匕代入二'一二=1，得:•二2,即Y=2a2»

a-b~a~

解得x=±y/2a，

所以|PQ|=2"/,

因为=所以|MN『二2|PQ|2,

即3-(/+叫=16/,所以1=3,

所以双曲线C的离心率为e=Jl+2=2G

2G

故答案为:

丁

四、解答题

17.已知｛q｝是等差数列，3为数列｛q｝的前〃项和，且q=1,§5=15.

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)若，=-----,求数列的｝的前〃项和7；.

a»an+\

解：(1)由题意知上｝是等差数列，4=1,§5=15,

5x4

设数列公差为d,则S5=5xl+;-xd=15,."=l,

故。〃=l+（n-l）xl=n；

,1111

（2）由（1）可得勿=-----=——-=-------7,

故+gUL21n

3+〃+1〃+1

18.2b+c=2acosC»②SBC的面积为———,@sin2A=sin2B

4

+sin，C+sinBsinC这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.

问题：已知-ABC,其内角A,B,。的对边分别为mb,c,且〃=近，

(1)求角4

(2)若JLBC的周长为"+3,求该三角形的面积.

(1)解：若选①，因为20+c=2^cosC,

由正弦定理」一二一2—=」一二z伏>0),

sinAsinBsinC

所以2ksinB+ksinC=2ZsinAcosC,

乂因为A+B+C=7i,

所以4=7t-A-C,2sin(A+C)+sinC=2sinACOSC,

得2cosAsinC+sinC=0,

因为OVCVTI,所以sinC>0,

12

所以cosA=——，OVAVTI,所以4=一兀.

23

\/3(6Z2-Z?2-C2)-2\/3bccosA1...

若选②：s△曲-----------------=—besinA,

442

2

tanA=-43»0<A<n,所以A=§兀.

若选③：因为sin?A=si/B+sin?C+sinBsinC，所以4=//+c?+0c，

b2+c2-a2=bc»cosA=^————,因为OvAv兀，所以A=2兀.

2bc23

9

(2)解：/BC的周长为J7+3，。=J7，所以匕+c=3,A=-TI,

由余弦定理，得/=/?2+(?-2/?ccos4，

所以7=/+/+bc=(b+cP-be=9-be,

所以bc=2,所以三角形的面积为LbesinA=lg.

22

19.如图，在四棱锥夕一45co中，平面E4D_L平面4BCD,底面ABC。是菱形，APAD

是正三角形，4ABe=@，E是AB的中点.

3

(1)证明：ACA.PE.

(2)求二面角A—CE—P的余弦值.

(1)证明：取A。的中点尸，连接石尸，PF,BD,

因为，皿)是正三角形，

所以'"LAD.

又平面平面ABCD,平面QADc平面ABCO=A£),Mu平面24/3，

所以M_L平面ABCD.

因为4Cu平面ABCD,

所以PE_LAC.

因为E是43的中点，

所以EF//BD.

乂底面A8C。是菱形，

所以BO_LAC,从而打_LAC.

因为夕户口所=/，PF,EFu平面PEF，所以ACJL平面PEE

因为尸Eu平面PER所以AC_LPE.

(2)解：连接8F,因为NA8C=」，所以/XAB。是正三角形，所以斯_L4).

3

以“为坐标原点，M,FB,口所在的直线分别为x轴、)，轴、z轴，建立如图所示的空间

直角坐标系.

令AB=2,则0卜2,6,0),Eg,与,0,10,0.@,

则CE=g,—苗,oj,CP=(2「瓜a

.56

/、CE-m=—x.-------y=(n)

设平面CEP的法向量为m=(%,%,z0),则J2(2?n°

CP-m=2戈()-"xo+>/3zQ=0

令天=G，则为=5,z0=3,得〃2=(JJ,5,3).

由题可知，"=(0,0,1)是平面ACE的一个法向量.

产「\mnV(^5,3).(0,0,1)3月

由图可知，二面角4-CE-P为锐角，则二面角4-CE-Q的余弦值为拽2.

37

20.某学校现有1000名学生，为调查该校学生一周使用手机上网时间的情况，收集了〃名

学生某周使用手机上网时间的样本数据（单位:小时）.将数据分为6组：[0,2],（2,4],（4,6],

（6,8],（8,10],（10,12],并整理得到如下的频率分布直方图：

（1）估计该校学生一周平均使用手机上网时间（每组数据以该组中点值为代表）；

（2）将一周使用手机上网时间在（4,12]内定义为“长时间使用手机上网”；一周使用手机上

网时间在（0,4]内定义为“不长时间使用手机上网”，在样本数据中，有0.25〃名学生不近视,

请补充完成该周使用手机上网时间与近视程度的列联表.若〃为100,那么在犯错误概率不超

过0.001的前提下是否能认为该校学生一周使用手机上网时间与近视程度有关”?

近视不近视合计

长时间使用手机

不长时间使用手机0.15/?

合计0.25/?

附：尤=（.+取」州“+!）（"〃）‘其中‘n=a+h+c+d-

a0.10.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

解：（1）根据频率分布直方图可估计该校学生•周平均使用手机上网时间为

x=1x0.025x2+3x0.100x2+5x0.150x2+7x0.125x2

+9x0.075x2+11x0.025x2=5.8（小时）；

（2）由频率分布直方图可得上网时间在（0,4］和（4,12］之间的比例为025:0.75=1:3,

故可得列联表：

近视不近视合计

长

时

间

使0.65〃0.10«0.75〃

用

手

机

不

长0.10〃0.15〃0.25〃

时

间

使

用

手

机

合

0.75/70.25/?n

计

若〃为I。。，则/」00（65吆0卫0工

75x25x75x25

故在犯错误概率不超过0.001的前提下能认为该校学生一周使用手机上网时间与近视程度有

关.

21.已知离心率为乎的椭圆1+六=1（〃＞人＞0）与t轴，y轴正半轴交于A3两点，作

直线AB的平行线交椭圆于C,D两点.

（1）若/06的面积为I,求椭圆的标准方程；

（2）在（1）的条件下，记直线AC,8。的斜率分别为k2,求证：出色为定值；

「27h12〃2।1

（1）解：由题设/=二即\=1一二=_!_①，又S板=一必=1②，

a~4aa42

a=2r2

由①②解得〈,，故椭圆的标准方程是二十产=1

b=\4"

1丫2

（2）证明：设直线CQ为），=一一X+/代入：L+y2=i,整理得f_2次+2/一2=0，

24"

则△=（一2，『一4（2/-2）=-4（r2-2）＞0,则“＜2,

设。（M,%）,。（电，必），则2+W=2力//=2（一一1）,

X,x,+xXx+x

=(一2十22卜22+1227)=_L为定值.

x2(x,-2)4

13

22.函数/(x)=alnx+—Y-(a+l)x+—(a>0).

(l)求函数/(X)的单调区间；

(2)当4=