2024-2025学年广东深圳罗湖区高一(上)期末数学试题含答案

2024-2025学年广东省深圳市罗湖区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。15分）已知集合A＝{x∈Z|x＜3}，B＝{x∈R|x＜2}，则A∩B为()25分）函数f（xlnx+x的零点所在区间为()A0，1）B1，2）C2，3）D3，4）35分）对于函数y＝f（x部分x与y的对应关系如下表：x0123y354则f（f(﹣2的值为()45分）已知p：a＞1，q1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件55分）已知函数＝2x++2，x∈最小值为()已知α∈sin2α=1−Cos2α,则coB．f（2f()D．无法比较85分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+yf（x）+f（y）+3，f（10，且x＞0时，f（x）>﹣3，则下列说法正确的()A．f（2）＝2B．f（x）为减函数C．f（x）为奇函数D．不等式f（x）＞0的解集为（1，+∞)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）96分）下列函数既是偶函数，又在（0，+∞)上单调递增的是()A．y＝x2B．y＝lnxC．y＝cosxD．y＝|x|（多选）106分）已知正数x，y满足x+y＝4，则下列说法正确的是()（多选）116分）已知函数=cos的最小正周期为T，则下列说法正确的是()A．若ω=1，则f（x）的图象关于直线对称C．若ω=2，则将f（x）的图象向右平移个单位后，所得的图象与函数y=sin的图象重合D．若关于x的方程f（x）＝1在区间（0，π)内有两个实数解，则ω的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。计算：2lg5+lg4−.135分）已知当x∈[0，+∞)时，不等式x2﹣mx+9＞0恒成立，则实数m的取值范围为.145分）平面直角坐标系中，将函数y＝f（x）的图象上满足x∈N*，y∈N*的点P（x，y称为f（x）的“正格点”．若f（x）＝2cosmx，x∈R，m∈（0，1）的图象与函数g（x）＝3x﹣4，x∈R的图象存在“正格点”交点，则m=.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。已知α∈,cos，计算cos+cos−sin的值；（2）已知tanx＝2，求的值.1615分）某玩具厂经过多次市场调研，得到某玩具的生产成本P（x单位：万元）与玩具产量x（单位：万件）之间的函数关系为：00，x＞40，生产该玩具的固定成本为10万元，每件玩具的销售价格为10元.（1）写出玩具销售利润y（单位：万元）与玩具产量x（单位：万件）之间的函数解析式销售利润=销售总价﹣固定成本﹣生产成本）（2）当玩具产量为多少万件时，该玩具厂所获得的销售利润最大，并求出最大销售利润.1715分）已知函数f(x)=sinxcosx+3cos2x.（1）求f（x）的最小正周期与对称中心的坐标；（2）若f(θ)=3，求sin(4θ+)的值.1817分）已知函数f（xloga（2x+1bx（a＞0且a≠1，b∈R①若f（1f1求b的值；②当b＝1时，用定义证明函数f（x）是R上的减函数；（2）若f（x）为偶函数，且+a＞3，求a的取值范围．1917分）对于一个含有n（n≥3）个元素的数集A＝{a1，a2，…，an}（ai∈R，1≤i≤n若A的一个非空子集B满足：①B中元素个数大于等于3；②对于B中的任意三个元素ai，aj，ak，其中i，j，k∈{1，2，…，n}且互不相等，{aiaj，aiak，ajak}∩B不为空集，则称B为A的一个“良好子集”．（1）请直接写出集合A＝{1，2，3，6}的所有“良好子集”；（3）若A表示大于等于2，小于等于50的所有整数组成的集合，求A的“良好子集”的个数．2024-2025学年广东省深圳市罗湖区高一（上）期末数学试卷一．选择题（共8小题）题号12345678答案CABABCBD二．多选题（共3小题）题号9答案ADABCABD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。15分）已知集合A＝{x∈Z|x＜3}，B＝{x∈R|x＜2}，则A∩B为()【分析】结合交集的定义，即可求解.【解答】解：集合A＝{x∈Z|x＜3}，B＝{x∈R|x＜2}＝{x|0≤x＜4}，故选：C.【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题.25分）函数f（xlnx+x的零点所在区间为()A0，1）B1，2）C2，3）D3，4）【分析】利用函数的零点判定定理，求解函数的零点所在求解即可.【解答】解：函数f（x）＝lnx+x的定义域为（0，+∞),是连续增函数，f()=﹣1+＜0，f（1）=可得f10，所以函数的零点在1）内，因为1）C（0，1）.故选：A.【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，是基础题.35分）对于函数y＝f（x部分x与y的对应关系如下表：x0123y354则f（f(﹣2的值为()【分析】将x的值代入函数，即可求解.【解答】解：由表中数据可知，f(﹣2）＝3，f（3）＝4，故f（f(﹣2f（34.故选：B.【点评】本题主要考查函数的值，属于基础题.45分）已知p：a＞1，q1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】解不等式，结合集合的包含关系判断即可.故p是q的充分不必要条件，故选：A.【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式的求解，属于基础题.55分）已知函数＝2x++2，x∈最小值为()【分析】由已知结合基本不等式即可求解.解：当0＜x＜4时，f＝2x++2≥2+2＝2+2当且仅当即时取等号.故选：B.【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.65分）已知α∈(0，sin2α=1−Cos2α,则cosα的值为()【分析】结合三角函数的二倍角公式，以及三角函数的同角公式，即可求解.解：sin2α=1−Cos2α,则sinαcosα=2sin2α,则sinα>0，故cosα=2sinα,又sin2α+cos2α=1，故选：C.【点评】本题主要考查三角函数的二倍角公式，以及三角函数的同角公式，是基础题.C．f(2)=f()D．无法比较【分析】根据题意，由偶函数的定义分析可得ab＝1，再结合复合函数单调性的判断方法分析可得f（x）在[0，+∞)上递增，由此分析可得答案.【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ax+bx是R上的偶函数，则，即ax+bx＝a﹣x+b﹣x=变形可得ab＝1，当x∈[0，+∞)时，又由a＞1，t＝ax为增函数且t≥1恒成立，y＝t+在上递增，易得f（x）在[0，+∞)上递增，故f（2f().故选：B.【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的性质和应用，涉及函数值大小的比较，属于基础题.85分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+yf（x）+f（y）+3，f（10，且x＞0时，f（x）>﹣3，则下列说法正确的()A．f（2）＝2B．f（x）为减函数C．f（x）为奇函数D．不等式f（x0的解集为（1，+∞)【分析】利用赋值法检验选项A；结合单调性定义检验选项B，结合奇函数性质检验选项C，结合函数单调性及奇偶性判断选项D.【解答】解：因为定义域为R的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y）+3，f（1）＝0，所以f（2）＝2f（1）+3＝3，A错误；任取x1＞x2，则x1﹣x2＞0，）＞﹣所以f（x1f（x2f（x1﹣x2+x2f（x2f（x1﹣x2）+f（x2）+3﹣f（x2f（x1﹣x23＞0，所以f（x1f（x2即f（x）单调递增，B错误；因为f（x+yf（x）+f（y）+3，所以f（0）＝2f（0）+3，即f（0）=﹣3，显然不符合奇函数的性质f（0）＝0，C错误；由f（x）＞0＝f（1）且f（x）为R上的增函数，所以x＞1，D正确.故选：D.【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）96分）下列函数既是偶函数，又在（0，+∞)上单调递增的是()A．y＝x2B．y＝lnxC．y＝cosxD．y＝|x|【分析】根据奇函数、偶函数的定义即可判断.【解答】解：A．y＝x2为偶函数，且在（0，+∞)上单调递增，符合题意；B．y＝lnx是非奇非偶函数，不符合题意；C．y＝cosx为偶函数，在（0，+∞)上不单调递增，不符合题意；D．y＝|x|为偶函数，且在（0，+∞)上单调递增，符合题意.故选：AD.【点评】本题考查奇函数、偶函数的定义及判断，指数函数、对数函数和余弦函数的单调性，属于基础题.（多选）106分）已知正数x，y满足x+y＝4，则下列说法正确的是()C．y﹣x2【分析】结合基本不等式检验选项ABD，结合二次函数性质检验选项C即可.【解答】解：因为正数x，y满足x+y＝4，所以xy≤()2=4，当且仅当x＝y＝2时取等号，A正确；+=（+x+y）=（10++）≥（10+24，当且仅当x＝3y，即y＝1，x＝3时取等号，B正确；y﹣x2＝4﹣x﹣x2，0＜x＜4，根据二次函数的性质可得，当0＜x＜4时，y﹣x2＝4﹣x﹣x2＜4，C正确；x（2y+34﹣y2y+3）=（8﹣2y2y+3）≤×()2=，当且仅当8﹣2y＝2y+3，即y=时取等号，D错误.故选：ABC.【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质的应用，属于中档题.（多选）116分）已知函数f(x)=Cos(wx+)(w＞0)的最小正周期为T，则下列说法正确的是()A．若ω=1，则f（x）的图象关于直线x=对称C．若ω=2，则将f（x）的图象向右平移个单位后，所得的图象与函数y=sin(2x+)的图象重合D．若关于x的方程f（x）＝1在区间（0，π)内有两个实数解，则ω的取值范围为(，]【分析】结合正弦函数的性质及函数图象的平移变换检验各选项即可判断.【解答】解：若ω=1，f（xcos（x+则fcosπ=﹣1为函数的最小值，即直线x=为函数的一条对称轴，A正确；所以f（T）＝cos（2π+）＝cos，B正确；若ω=2，则将f（x）＝cos（2x+）的图象向右平移个单位后，所得的图象与函数为y＝cos（2x−),而y＝sin（2x+cos（2x+C错误；）＝）＝所以w＞0若f（x）＝1在区间（0，π)内有两个实数解，则l<π,解得＜w≤w＞0故选：ABD.【点评】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。计算：2lg5+lg4−【分析】利用对数运算法则求解.解：2lg5+lg4−﹣log28＝2﹣3=﹣1.故答案为：﹣1.【点评】本题考查对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.135分）已知当x∈[0，+∞)时，不等式x2﹣mx+9＞0恒成立，则实数m的取值范围为{m|m＜6}.【分析】由已知先分离参数，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解.【解答】解：当x∈[0，+∞)时，不等式x2﹣mx+9＞0恒成立，当x＝0时，9＞0恒成立，当x＞0时，可得m＜恒成立，因为当且仅当x＝3时取等号，所以m＜6.故答案为：{m|m＜6}.【点评】本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于基础题.145分）平面直角坐标系中，将函数y＝f（x）的图象上满足x∈N*，y∈N*的点P（x，y称为f（x）的“正格点”．若f（x）＝2cosmx，x∈R，m∈（0，1）的图象与函数g（x）＝3x﹣4，x∈R的图象存在“正格点”交点，则m=【分析】本题根据正格点的定义，三角函数的值域和指数函数的值域进行求解.【解答】解：因为f（x）＝2cosmx，x∈R，m∈（0，1）的图象与函数g（x）＝3x﹣4，x∈R的图象存在“正格点”交点，所以2cosmx＝3x﹣4＝k（k为正整数）有正整数解，因为f（x）＝2cosmx值域内的正整数只有1和2，当k＝1时，由3x﹣4＝1，解得x＝4，则x＝4为方程2cosmx＝3x﹣4所以2cos4m＝1，cos4m=，因为m∈（0，1所以4m∈（0，4则4m=，m=；当k＝2时，由3x﹣4＝2，解得x＝4+log32，不为正整数，故舍去；综上，m=.故答案为：.【点评】本题主要考查三角函数和指数函数的值域，函数图象交点转化为方程的根的思想，属于基础题.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1513分1）已知α∈（0，π),cos(π+α)=，计算cos(3π−α)+cos(+α)−sin(+α)的值；（2）已知tanx＝2，求的值.【分析】（1）利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解；（2）利用同角三角函数基本关系式即可求解.=﹣cosα+sinα﹣cosα（2）因为tanx＝2，【点评】本题考查了诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题.1615分）某玩具厂经过多次市场调研，得到某玩具的生产成本P（x单位：万元）与玩具产量x（单位：万件）之间的函数关系为00，x＞40，生产该玩具的固定成本为10万元，每件玩具的销售价格为10元.（1）写出玩具销售利润y（单位：万元）与玩具产量x（单位：万件）之间的函数解析式销售利润=销售总价﹣固定成本﹣生产成本）（2）当玩具产量为多少万件时，该玩具厂所获得的销售利润最大，并求出最大销售利润.【分析】（1）根据题意，分段求出函数解析式，即可求解2）根据（1）的结论，分段求出函数的最大值，比较即可求解.【解答】解1）由题意可得：y＝10x﹣10﹣P（x（2）由（1）可得：当0≤x≤40时，y＝5x﹣10，所以当x＝40时，ymax＝190；当x＞40时，y≤−4+590=270，当且仅当，即x＝80时取等号，因为270＞190，所以当玩具产量为80万件时，该玩具厂所获得的销售利润最大，最大销售利润为270万元.【点评】本题考查函数的实际应用，考查学生的运算能力，属于中档题.1715分）已知函数f(x)=sinxcosx+3cos2x.（1）求f（x）的最小正周期与对称中心的坐标；（2）若f(θ)=3，求sin(4θ+)的值.【分析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求解即可；（2）由二倍角公式与诱导公式，求解即可.【解答】解1）函数f(x)=sinxcosx+3cos2x=sin2x+（1+cos2xsin（2x+）+.所以f（x）的最小正周期为=π,令2x+=kπ,k∈Z，解得x=，k∈Z，所以f（x）的对称中心坐标为k∈Z；若f，则sin所以cos（4θ+）＝1﹣2sin2（2θ+）＝1﹣2×()2=−,所以sin(4θ+)=−cos[（4θ+）+]=﹣cos（4θ+）=.【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是基础题.1817分）已知函数f（xloga（2x+1bx（a＞0且a≠1，b∈R）.①若f（1f(﹣1求b的值；②当b＝1时，用定义证明函数f（x）是R上的减函数；（2）若f（x）为偶函数，且+a＞3，求a的取值范围.【分析】（1）①由已知等式代入，结合对数运算性质即可求解；②把b＝1代入可得＝log2﹣x＝log2=log2，任取x1＜x2，令t，利用单调性定义先判断t（x1）与t（x2）的大小，进而可比较f（x1）与f（x2）的大小，即可判断；（2）结合对数函数的性质及函数单调性即可求解.【解答】解1）当a＝2时，f（xlog2（2x+1bx，②证明：b＝1时，f（xlog2（2x+1x＝log2=log2（1+任取x1＜x2，令t所以t（x1t（x2所以f（x1f（x2（2）若f（x）为偶函数，则f(﹣xf（x即loga（2x+1）﹣bx＝loga（2﹣x+1）+bx，所以loga=loga2x＝2bx，所以xloga2＝2bx，所以2b＝loga2，则+a=+a＝log2a+a＞3，因为h（x）＝log2x+x在（0，+∞）上单调递增且h（2）＝3，故a＞2，故a的范围为{a|a＞2}．【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题．1917分）对于一个含有n（n≥3）个元素的数集A＝{a1，a2，…，an}（ai∈R，1≤i≤n若A的一个非空子集B满足：①B中元素个数大于等于3；②对于B中的任意三个元素ai，aj，ak，其中i，j，k∈{1，2，…，n}且互不相等，{aiaj，aiak，ajak}∩B不为空集，则称B为A的一个“良好子集”．（1）请直接写出集合A＝{1，2，3，6}的所有“良好子集”；（3）若A表示大于等于2，小于等于50的所有整数组成的集合，求A的“良好子集”的个数．【分析】这个问题涉及到集合和子集的概念，以及对特定条件的满足．我们需要找出满足特定条