2025世少赛九年级高频考点试题及对应参考答案

2025世少赛九年级高频考点试题及对应参考答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.下列事件中，属于必然事件的是（）A.明天会下雨B.打开电视机，正在播放广告C.任意画一个三角形，其内角和是180°D.抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上2.若关于x的一元二次方程x²-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.m＜1B.m＞1C.m≤1D.m≥13.已知反比例函数y=k/x（k≠0）的图象经过点（2，-3），则k的值是（）A.-6B.6C.-3/2D.3/24.一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形5.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x²-2x+3先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的表达式为（）A.y=(x+2)²B.y=(x-2)²C.y=(x-2)²+1D.y=(x+2)²-16.已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为（）A.15πB.20πC.25πD.30π7.若点A（-1，y₁），B（2，y₂），C（3，y₃）在反比例函数y=6/x的图象上，则y₁，y₂，y₃的大小关系是（）A.y₁＞y₂＞y₃B.y₂＞y₃＞y₁C.y₃＞y₂＞y₁D.y₁＞y₃＞y₂8.如图（这里虽无图，但按要求不涉及看图题考点），在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，DE=4，则BC的长为（）A.8B.10C.12D.149.已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图（不考虑看图）所示，则下列结论正确的是（）A.a＞0B.b²-4ac＜0C.当x＞1时，y随x的增大而增大D.当x=3时，y=010.若关于x的分式方程x/(x-3)-2=m/(x-3)有增根，则m的值为（）A.3B.0C.-3D.2二、填空题（总共10题，每题2分）1.分解因式：x³-4x=____________。2.函数y=√(x-2)中，自变量x的取值范围是____________。3.若一组数据1，2，3，x的平均数是3，则这组数据的方差是____________。4.已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的弧长为____________。5.若一元二次方程x²-3x+1=0的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=____________。6.已知点P（a，b）在反比例函数y=2/x的图象上，若点P关于y轴对称的点在反比例函数y=k/x的图象上，则k的值为____________。7.如图（无图），在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=3/5，BC=6，则AB的长为____________。8.若抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（1，3），则抛物线y=a(x+2)²+b(x+2)+c（a≠0）的顶点坐标是____________。9.已知圆锥的底面直径为10，高为12，则圆锥的表面积为____________。10.在平面直角坐标系中，将点A（-2，3）绕原点O逆时针旋转90°得到点A′，则点A′的坐标是____________。三、判断题（总共10题，每题2分）1.所有的等边三角形都相似。（）2.方程x²+1=0有两个实数根。（）3.反比例函数y=k/x（k≠0）的图象是一条直线。（）4.若一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是八边形。（）5.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象开口向下，则a＜0。（）6.三角形的外心是三角形三条角平分线的交点。（）7.若点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在反比例函数y=-3/x的图象上，且x₁＜x₂，则y₁＜y₂。（）8.在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=邻边/斜边，所以cosA的值一定小于1。（）9.抛物线y=x²-2x+3的对称轴是直线x=-1。（）10.分式方程x/(x-1)-1=3/(x²-1)的解是x=2。（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.简述一元二次方程的求根公式，并说明其适用条件。2.说明相似三角形的判定定理有哪些。3.如何根据反比例函数的图象和性质来比较函数值的大小？4.简述二次函数图象的平移规律。五、讨论题（总共4题，每题5分）1.讨论一元二次方程根的情况与判别式的关系，并举例说明。2.讨论相似三角形在实际生活中的应用，并举例说明。3.讨论反比例函数的增减性与k的取值的关系，并结合具体函数分析。4.讨论二次函数的最值问题，包括何时取得最值以及最值的求法。答案及解析一、单项选择题1.C。必然事件是一定会发生的事件，三角形内角和是180°是定理，是必然事件；A、B、D都是随机事件。2.A。对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），判别式Δ=b²-4ac，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。在方程x²-2x+m=0中，a=1，b=-2，c=m，所以Δ=(-2)²-4m＞0，解得m＜1。3.A。把点（2，-3）代入反比例函数y=k/x，得-3=k/2，解得k=-6。4.C。多边形的外角和是360°，设这个多边形是n边形，由内角和是外角和的2倍，可得(n-2)×180°=2×360°，解得n=6。5.A。先将抛物线y=x²-2x+3化为顶点式y=(x-1)²+2，向左平移1个单位长度得y=(x-1+1)²+2=x²+2，再向下平移2个单位长度得y=x²+2-2=x²=(x+0)²，也可写成y=(x+2-2)²，即y=(x+2)²。6.A。圆锥的侧面积公式为S=πrl（r是底面半径，l是母线长），所以S=π×3×5=15π。7.B。把点A（-1，y₁），B（2，y₂），C（3，y₃）代入反比例函数y=6/x，得y₁=-6，y₂=3，y₃=2，所以y₂＞y₃＞y₁。8.B。因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质，AD/AB=DE/BC，AD=2，DB=3，则AB=5，所以2/5=4/BC，解得BC=10。9.D。由图象开口向下得a＜0，A错误；图象与x轴有两个交点，所以b²-4ac＞0，B错误；对称轴为x=1，当x＞1时，在对称轴右侧，y先随x的增大而减小，再增大，C错误；由图象可知当x=3时，y=0，D正确。10.A。分式方程有增根，即分母为0，所以x-3=0，x=3。方程两边同乘x-3得x-2(x-3)=m，把x=3代入得3-2×(3-3)=m，解得m=3。二、填空题1.x(x+2)(x-2)。先提公因式x，再用平方差公式分解，x³-4x=x(x²-4)=x(x+2)(x-2)。2.x≥2。二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，所以x-2≥0，即x≥2。3.5/2。由平均数是3可得(1+2+3+x)/4=3，解得x=6。方差公式为S²=[(x₁-x)²+(x₂-x)²+…+(xₙ-x)²]/n，所以方差S²=[(1-3)²+(2-3)²+(3-3)²+(6-3)²]/4=5/2。4.2π。扇形弧长公式l=nπr/180（n是圆心角度数，r是半径），所以l=120π×3/180=2π。5.3。对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），两根之和x₁+x₂=-b/a，在方程x²-3x+1=0中，a=1，b=-3，所以x₁+x₂=3。6.-2。点P（a，b）在y=2/x上，则b=2/a，即ab=2。点P关于y轴对称的点为（-a，b），在y=k/x上，则b=k/(-a)，即k=-ab=-2。7.10。因为sinA=BC/AB=3/5，BC=6，所以AB=BC÷(3/5)=10。8.（-1，3）。抛物线y=a(x+2)²+b(x+2)+c是由抛物线y=ax²+bx+c向左平移3个单位得到，顶点（1，3）向左平移3个单位得（-1，3）。9.90π。圆锥底面半径r=5，母线长l=√(5²+12²)=13，表面积S=πr²+πrl=π×5²+π×5×13=90π。10.（-3，-2）。点A（-2，3）绕原点O逆时针旋转90°，根据旋转性质可得A′（-3，-2）。三、判断题1.√。等边三角形的三个角都相等，都是60°，根据相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，所以所有等边三角形都相似。2.×。对于方程x²+1=0，判别式Δ=0²-4×1×1=-4＜0，所以方程没有实数根。3.×。反比例函数y=k/x（k≠0）的图象是双曲线，不是直线。4.√。设多边形为n边形，由(n-2)×180°=1080°，解得n=8，所以是八边形。5.√。二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当a＜0时，抛物线开口向下。6.×。三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，内心是三条角平分线的交点。7.×。反比例函数y=-3/x，k=-3＜0，在每个象限内y随x的增大而增大，但当x₁＜0＜x₂时，y₁＞y₂。8.√。在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=邻边/斜边，因为邻边小于斜边，所以cosA的值一定小于1。9.×。对于抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），对称轴为x=-b/2a，在y=x²-2x+3中，a=1，b=-2，对称轴为x=-(-2)/(2×1)=1。10.√。方程两边同乘(x+1)(x-1)得x(x+1)-(x²-1)=3，解得x=2，经检验x=2是原方程的解。四、简答题1.一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。其适用条件是：a、b、c为常数，且a≠0，当b²-4ac≥0时，方程有实数根；当b²-4ac＜0时，方程没有实数根。2.相似三角形的判定定理有：（1）两角分别相等的两个三角形相似；（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边成比例的两个三角形相似；（4）直角三角形中，斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。3.首先看反比例函数y=k/x（k≠0）中k的正负，当k＞0时，图象在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，图象在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。比较函数值大小时，先判断点所在象限，若点在同一象限，根据单调性比较；若点不在同一象限，根据象限内函数值的正负比较。4.二次函数图象的平移规律是“上加下减常数项，左加右减自变量”。即抛物线y=ax²+bx+c向上平移m个单位得y=ax²+bx+c+m，向下平移m个单位得y=ax²+bx+c-m；向左平移n个单位得y=a(x+n)²+b(x+n)+c，向右平移n个单位得y=a(x-n)²+b(x-n)+c。五、讨论题1.对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），判别式Δ=b²-4ac。当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，如x²-3x+2=0，Δ=(-3)²-4×1×2=1＞0，方程的根为x₁=1，x₂=2；当Δ=0时