2026届新高考数学三轮热点复习函数的单调性与最值

2026届新高考数学三轮热点复习函数的单调性与最值1.函数的定义

函数的三要素

函数的表示法2.分段函数3.函数定义域的求法4.求函数解析式的常用方法直接法、列表法、图象法给定解析式的函数定义域待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法定义域、值域和对应关系抽象函数的定义域课前回顾考情探究命题规律与备考策略

本节内容一般不会出现单一知识点的考题，常综合函数的奇偶性、周期性或图象进行考查.备考时要将学习重点放在综合运用上，对常见的结论和方法要加强记忆与理解.1.理解函数的单调性，会判断函数的单调性及单调区间.2.理解函数的最大值、最小值的意义，会求函数的最大（小）值.学习目标1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域D内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2当x1<x2时,都有

,那么就称函数f(x)在区间I上

.特别地,当函数f(x)在它的定义域上

时,我们就称它是增函数当x1<x2时,都有

,那么就称函数f(x)在区间I上

.特别地,当函数f(x)在它的定义域上

时,我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是

.自左向右看图象是

.f(x1)<f(x2)单调递增单调递增f(x1)>f(x2)单调递减单调递减上升的下降的函数单调性定义中的x1,x2具有以下三个特征:

一是任意性,即“任意两数x1,x2∈I”,“任意”两字绝不能丢

二是有大小,即x1<x2

三是同属一个单调区间强调(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间I上

或

,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,

叫做y=f(x)的单调区间.

单调递增单调递减区间I注意：若函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”或“和”连接,不要用“∪”.2.函数的最值前提一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈D,都有

;(2)存在x0∈D,使得

.(3)对于任意x∈D,都有

;(4)存在x0∈D,使得

.结论M是函数y=f(x)的最大值M是函数y=f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.说明常用结论常用结论3.与函数运算有关的单调性结论(1)函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.(2)k>0时,函数f(x)与kf(x)单调性相同;k<0时,函数f(x)与kf(x)单调性相反.(4)若f(x),g(x)都是增(减)函数,则当两者都恒大于零时,f(x)·g(x)是增(减)函数;当两者都恒小于零时,f(x)·g(x)是减(增)函数.(5)在公共定义域内,增+增=增,减+减=减.(6)复合函数单调性的判断方法:“同增异减”.常用结论D2.若函数f(x)是R上的减函数,且f(a2-a)<f(a),则a的取值范围是(

)A.(0,2) B.(-∞,0)∪(2,+∞)C.(-∞,0) D.(2,+∞)BBD9(-∞,-1)确定函数的单调性(区间)D典例分析图象法2.函数f(x)=ln(-x2+2x+3)的单调递减区间为(

)A.[1,+∞) B.(-∞,1]C.(-1,1) D.(1,3)D复合函数：同增异减D图象法AC(1)求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间.(2)函数单调性的判断方法:定义法,图象法,利用已知函数的单调性,导数法.(3)复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.函数单调性的应用BB2.若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(

)A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3][变式训练]DB(2)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)单调递增,则a的取值范围是(

)A.(-∞,-1] B.(-∞,2]C.[2,+∞) D.[5,+∞)D利用单调性求参数(1)依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较.(2)若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.(3)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.[4,8)[变式训练](1,4)求函数的最值(值域)3-1单调性法分段函数换元法D单调性法1图象法[2,+∞)基本不等式法求函数最值(值域)的常用方法及注意点(1)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(2)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.(4)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(5)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.注意:(1)求函数的最值时,应先确定函数的定义域.(2)求分段函数的最值