2025年广州二模理科数学试题及详解

2025年广州二模理科数学试题及详解前言2025年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学考试已落下帷幕。本次考试作为高考前重要的模拟练兵，不仅全面考查了学生对高中数学知识体系的掌握程度，也着重检验了其数学思维能力与解题技巧。本套试题在延续往年命题风格的基础上，略有创新，难度梯度设置合理，具有较好的区分度和导向性。本文将对本次试题进行详细解析，希望能为广大师生提供有益的参考，助力后续复习备考。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合A={x|x²-3x+2<0}，集合B={x|x>1}，则A∩B=A.(1,2)B.[1,2]C.(1,+∞)D.φ详解：解集合A中的不等式x²-3x+2<0。因式分解得(x-1)(x-2)<0。其解集为1<x<2，即A=(1,2)。集合B为x>1，即B=(1,+∞)。A与B的交集，即同时满足A和B的元素组成的集合。显然，(1,2)是(1,+∞)的子集，故A∩B=A=(1,2)。因此，正确答案为A。考点：集合的交集运算，一元二次不等式的解法。（2）若复数z满足(1+i)z=2i，则复数z的虚部为A.-1B.1C.iD.-i详解：已知(1+i)z=2i，要求解复数z。我们可以将等式两边同时除以(1+i)，即z=2i/(1+i)。为了化简这个复数，通常需要将分母实数化，即分子分母同时乘以分母的共轭复数(1-i)：z=[2i(1-i)]/[(1+i)(1-i)]=[2i-2i²]/(1-i²)。因为i²=-1，所以分母变为1-(-1)=2，分子变为2i-2(-1)=2i+2=2+2i。因此，z=(2+2i)/2=1+i。复数z的虚部是1（注意：虚部是指i前面的系数，不包含i本身）。正确答案为B。考点：复数的运算，复数的基本概念（实部与虚部）。（3）已知向量a=(1,m)，b=(2,-1)，若a⊥b，则m的值为A.-2B.2C.-1/2D.1/2详解：两个向量a和b垂直的充要条件是它们的数量积（点积）为零，即a·b=0。已知a=(1,m)，b=(2,-1)，则它们的数量积为：a·b=(1)(2)+(m)(-1)=2-m。令其等于零：2-m=0，解得m=2。正确答案为B。考点：向量的数量积，向量垂直的充要条件。（4）函数f(x)=sinx+x³的图象大致是A.(选项A描述：关于原点对称，在原点附近有增有减，整体上升趋势)B.(选项B描述：关于y轴对称，在原点附近有增有减，整体上升趋势)C.(选项C描述：关于原点对称，从原点出发单调递增)D.(选项D描述：关于y轴对称，从原点出发单调递增)详解：要判断函数f(x)=sinx+x³的图象大致形状，我们可以从函数的奇偶性和单调性入手。首先，判断奇偶性：f(-x)=sin(-x)+(-x)³=-sinx-x³=-(sinx+x³)=-f(x)。所以f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，因此可以排除选项B和D（它们关于y轴对称，是偶函数的特征）。接下来，分析单调性。对f(x)求导：f'(x)=cosx+3x²。因为cosx的值域是[-1,1]，而3x²≥0，所以3x²+cosx≥3x²-1。当|x|≥√(1/3)时，3x²≥1，此时f'(x)=3x²+cosx≥1+cosx≥0（因为cosx≥-1）。当|x|<√(1/3)时，虽然3x²<1，但cosx在这个区间内的值接近1（因为x很小），所以3x²+cosx>0+(1-ε)>0（其中ε是一个很小的正数）。综上，f'(x)在整个定义域内恒大于等于0，且仅在某些孤立点处可能为0（实际上，f'(x)=0的情况极少且不影响整体单调性），因此f(x)在R上是单调递增的。结合f(x)是奇函数且单调递增，其图象应该是关于原点对称，并且从原点出发单调递增。正确答案为C。考点：函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，函数图象的识别。（5）已知数列{an}是等差数列，a1=1，a3+a5=14，则a7=A.13B.14C.15D.16详解：设等差数列{an}的公差为d。已知a1=1。a3=a1+2d=1+2d，a5=a1+4d=1+4d。由题意a3+a5=14，即(1+2d)+(1+4d)=14。化简得：2+6d=14→6d=12→d=2。则a7=a1+6d=1+6×2=1+12=13。或者，在等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。所以a3+a5=a1+a7，即14=1+a7→a7=13。正确答案为A。考点：等差数列的通项公式，等差数列的性质。（6）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是A.6cm³B.8cm³C.10cm³D.12cm³(此处应有三视图，但文字描述：正视图和侧视图均为边长为2的正方形，俯视图为一个边长为2的正方形，在其中心位置有一个边长为1的小正方形)详解：根据三视图描述，正视图和侧视图均为边长为2的正方形，俯视图为一个边长为2的大正方形中心有一个边长为1的小正方形。这种三视图通常对应的是一个正方体挖去一个小的正四棱柱（或说长方体）。原正方体的棱长为2，体积V正方体=2×2×2=8cm³。俯视图中心的小正方形，结合正视图和侧视图都是正方形，说明挖去的部分是一个底面为边长1的正方形，高为2的正四棱柱（因为从正视图和侧视图看，挖去部分的高度与原正方体相同）。挖去部分的体积V挖去=1×1×2=2cm³。因此，该几何体的体积V=V正方体-V挖去=8-2=6cm³。正确答案为A。考点：由三视图还原几何体，简单几何体的体积计算。（7）执行如图所示的程序框图，若输入的x=1，则输出的y=A.0B.1C.2D.3(此处应有程序框图，但文字描述：开始，输入x。判断x>0是否成立？若是，执行y=2x-1；若否，执行y=x²+1。输出y，结束。)详解：根据程序框图的文字描述，这是一个简单的条件分支结构。输入x=1。判断条件：x>0是否成立？1>0显然成立。所以执行“是”分支下的语句：y=2x-1=2×1-1=1。然后输出y的值，即y=1。正确答案为B。考点：程序框图的理解与执行（条件结构）。（8）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=√3，b=1，B=30°，则角A=A.60°B.120°C.60°或120°D.30°或150°详解：已知在△ABC中，a=√3，b=1，B=30°。要求角A。根据正弦定理：a/sinA=b/sinB。代入已知值：√3/sinA=1/sin30°。因为sin30°=1/2，所以等式右边为1/(1/2)=2。即√3/sinA=2→sinA=√3/2。在三角形中，角A的取值范围是(0°,180°)。sinA=√3/2时，A=60°或A=120°。接下来需要判断这两个解是否都成立。当A=60°时，C=180°-A-B=180°-60°-30°=90°，三角形存在。当A=120°时，C=180°-120°-30°=30°，三角形也存在（此时a=√3，b=1，c=1，满足两边之和大于第三边）。因此，角A有两个解：60°或120°。正确答案为C。考点：正弦定理，三角形解的个数判断。（9）已知函数f(x)=2^x+x-5的零点所在的区间是A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)详解：函数的零点即方程f(x)=0的根，也就是函数图象与x轴交点的横坐标。对于连续函数f(x)，若在区间(a,b)内f(a)·f(b)<0，则函数在(a,b)内至少有一个零点。f(x)=2^x+x-5，这是一个指数函数与一次函数的和，显然在R上是连续且单调递增的（因为2^x单调递增，x单调递增，其和也单调递增）。计算各选项区间端点的函数值：A.f(0)=2^0+0-5=1-5=-4；f(1)=2^1+1-5=2+1-5=-2。f(0)·f(1)=(-4)(-2)=8>0，无零点。B.f(1)=-2；f(2)=2^2+2-5=4+2-5=1。f(1)·f(2)=(-2)(1)=-2<0，根据零点存在定理，在(1,2)内有零点。又因为函数单调递增，所以只有一个零点。C.f(2)=1；f(3)=2^3+3-5=8+3-5=6。f(2)·f(3)=1×6=6>0。D.f(3)=6；f(4)=2^4+4-5=16+4-5=15。f(3)·f(4)=6×15=90>0。因此，零点所在区间是(1,2)。正确答案为B。考点：函数零点的概念，零点存在定理，函数单调性的应用。（10）已知双曲线C:x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的离心率为√3，且过点(√3,2)，则双曲线C的方程为A.x²/2-y²/4=1B.x²/1-y²/2=1C.x²/3-y²/6=1D.x²/4-y²/8=1详解：双曲线C:x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)。已知离心率e=c/a=√3，其中c=√(a²+b²)。所以e²=c²/a²=(a²+b²)/a²=1+b²/a²=3→b²/a²=2→b²=2a²。(1)又因为双曲线过点(√3,2)，将该点代入双曲线方程：((√3)²)/a²-(2²)/b²=1→3/a²-4/b²=1。(2)将(1)式b²=2a²代入(2)式：3/a²-4/(2a²)=1→3/a²-2/a²=1→1/a²=1→a²=1。则b²=2a²=2×1=2。因此，双曲线C的方程为x²/1-y²/2=1，即x²-y²/2=1。正确答案为B。考点：双曲线的标准方程，离心率。（11）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈[-1,1]时，f(x)=x²，若函数g(x)=f(x)-loga|x|(a>0,a≠1)有6个零点，则a的取值范围是A.(0,1/5)∪(5,+∞)B.(1/5,1/3)∪(3,5)C.(1/3,1)∪(1,3)D.(1,3)∪(3,5)详解：函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，说明f(x)是周期为2的周期函数。当x∈[-1,1]时，f(x)=x²。根据周期性，可以画出f(x)在整个R上的图象：在每个区间[2k-1,2k+1](k∈Z)上，f(x)的图象都是将x²在[-1,1]上的图象平移得到的，是开口向上的抛物线片段，顶点在(2k,0)，与x轴交于(2k±1,0)，最大值为1（在x=2k处取得）。函数g(x)=f(x)-loga|x|有6个零点，即方程f(x)=loga|x|有6个不同的实数解，也就是函数y=f(x)与函数y=loga|x|的图象有6个不同的交点。y=loga|x|是一个偶函数，其图象关于y轴对称。当x>0时，y=logax；当x<0时，y=loga(-x)。我们先考虑x>0的情况，此时y=logax。由于对称性，x<0的情况与之类似。f(x)在x>0时的图象：在[1,3],[5,7],...等区间为抛物线片段，在(3,5