人教版七年级数学下册“销售中的盈亏问题”教案

人教版七年级数学下册“销售中的盈亏问题”教案

一、教学理念与设计思路

本教学方案以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，深度融合“三会”核心素养目标——会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。设计跳出传统应用题教学的机械训练模式，立足于真实的商业情境，构建一个以“数学建模”为主线、以“问题解决”为驱动、以“跨学科融合”为特色的深度学习课堂。

本课将以“开设一家文创小店”为贯穿始终的项目背景，引导学生从店铺老板的视角，亲身经历“成本核算-定价策略-促销活动-利润评估”的完整商业决策过程。在此过程中，学生将不仅仅学习“进价、售价、利润、利润率、折扣”等数学概念的抽象定义与公式，更重要的是理解这些概念在真实商业运作中的动态关联与复杂权衡，体验如何将模糊的实际问题转化为清晰的数学模型（一元一次方程），并通过求解模型来指导现实决策。本设计强调数学与经济学、商品学的初步融合，着力培养学生的应用意识、模型观念、运算能力和创新思维，使其感悟数学的实用价值与理性美。

二、教学背景与学情分析

1.教材地位分析：

“销售中的盈亏问题”隶属于人教版七年级数学下册第三章“一元一次方程”中“实际问题与一元一次方程”的核心内容之一。方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，而销售问题则是该模型最典型、最贴近生活的应用场景之一。本节课的学习，是学生从掌握解方程技能迈向运用方程解决复杂实际问题能力的关键阶梯，也为后续学习二元一次方程组、一元一次不等式（组）在更复杂商业情境中的应用奠定坚实的基础。

2.学生认知基础：

知识层面：学生已经熟练掌握了一元一次方程的解法，并初步接触了列方程解应用题的一般步骤（审、设、列、解、检、答）。生活经验层面：七年级学生对“买卖”“打折”“赚钱赔钱”等有初步的感性认识，但对于其中精确的数量关系，如利润率的不同计算基准（成本利润率vs销售利润率）、折扣的实际含义等，普遍存在概念混淆不清、关系理解碎片化的问题。思维层面：学生初步具备逻辑推理能力，但将实际问题抽象为数学语言，特别是寻找复杂情境中的等量关系，仍是多数学生的思维难点。

3.学习潜在障碍预判：

1.概念障碍：“利润”、“利润率”、“折扣率”等概念理解不精准，尤其是利润率计算中“单位1”（成本或售价）的确定。

2.关系障碍：在涉及多件商品、复合促销（如“满减”后“打折”）或动态调价的情境中，难以梳理清晰的数量链条，建立正确的等量关系。

3.建模障碍：从冗长的文字描述中准确提取有效数学信息，并选择恰当的未知数进行表示的能力不足。

4.解答障碍：解出方程后，对解的合理性（如成本、售价不能为负，折扣率在0-1之间等）缺乏检验意识，以及将数学结论转译回实际问题答案的能力有待提高。

三、教学目标

（一）知识与技能

1.能准确说出进价（成本）、售价、利润、利润率、折扣等概念的定义及相互关系。

2.能熟练运用核心数量关系公式：利润=售价-进价；利润率=(利润/进价)×100%；售价=标价×折扣率；售价=进价×(1+利润率)。

3.能综合运用上述知识，分析较为复杂的销售情境，通过设立未知数、寻找等量关系，建立一元一次方程模型。

4.能规范求解方程，并检验解的合理性，给出符合实际意义的答案。

（二）过程与方法

1.经历“情境感知—抽象建模—数学求解—解释验证—拓展反思”的完整数学建模过程。

2.通过小组合作探究、角色扮演、模拟经营等活动，发展分析、综合、比较、抽象、概括等逻辑思维能力。

3.学会使用列表、线段图等策略辅助分析复杂数量关系，提升信息处理与问题分解的能力。

（三）情感、态度与价值观

1.在解决真实问题的过程中，体验数学的应用价值和工具性，增强学习数学的兴趣和信心。

2.培养严谨求实、一丝不苟的科学态度（如精确计算、检验答案）。

3.初步形成基本的财经素养和商业头脑，理解诚信经营、理性消费的意义。

4.在小组合作中培养团队协作精神与交流表达能力。

四、教学重难点

1.教学重点：

1.2.理解并灵活运用销售问题中的基本数量关系。

2.3.掌握从销售情境中找出等量关系、列出一元一次方程解决实际问题的方法。

4.教学难点：

1.5.利润率概念的理解与辨析，特别是在已知售价和利润率求进价时，等量关系的建立（利润=进价×利润率）。

2.6.分析多层关系复合的销售问题（如连续涨价或降价、不同商品混合销售等），准确梳理数量关系链。

3.7.将数学模型得出的解，进行符合现实情境的合理解释与判断。

五、教学策略与方法

1.教法：

1.2.情境创设法：构建“我的文创小店”虚拟创业项目，将整堂课的知识点串联成一个有吸引力的故事线。

2.3.探究式教学法：设置层层递进的驱动性问题，引导学生自主或合作探究，发现规律，构建知识。

3.4.案例分析法：使用正例、反例和变式例题，深化对概念和关系的理解，突破思维定势。

4.5.支架式教学法：针对难点，提供“关系梳理表”、“思维导图”等学习支架，辅助学生完成建模过程。

5.6.信息技术融合法：运用多媒体课件动态演示价格变化过程，利用互动白板实现学生成果的即时展示与对比分析。

7.学法：

1.8.自主探究学习：鼓励学生独立审题、思考，尝试建立个人初步的解题方案。

2.9.合作交流学习：通过小组讨论、辩论、互评，在思维碰撞中优化解决方案，共同攻克难点。

3.10.体验式学习：通过角色扮演（店主、顾客、财务官），在模拟决策中深化对知识的理解与应用。

4.11.反思性学习：引导学生在解题后回顾过程，总结方法，反思错误，形成策略性知识。

六、教学准备

1.教师准备：

1.2.精心制作的多媒体课件，包含情境动画、关键概念可视化图示、例题与变式题。

2.3.设计并打印“学习任务单”、“小组探究记录表”、“销售问题关系梳理模板”。

3.4.准备实物道具：几种文具或小工艺品（贴有虚拟进价标签）、价格标签、计算器。

4.5.设计课堂即时评价工具（如点赞贴纸、小组积分榜）。

6.学生准备：

1.7.复习一元一次方程的解法。

2.8.预习课本相关内容，观察生活中的促销广告。

3.9.分组（4-6人一组），每组准备彩笔、白板或大白纸。

七、教学过程实施

(一)创设情境，激趣导入（预计时间：8分钟）

教师活动：

1.播放一段简短精炼的视频，展示一个充满个性的文创小店从进货、定价到销售、结算的片段，背景音乐轻快。

2.视频结束，教师化身“创业导师”：“同学们，视频中的小店是不是很有吸引力？今天，我们就一起来当一回‘创业家’，开办我们自己的‘数学文创小店’。我们的首要任务，就是学会如何精明地算账，确保小店既能健康发展，又能赢得顾客青睐。让我们首先闯过‘财务知识第一关’。”

3.呈现导入问题组（逐题出现，学生口答）：

1.4.问题1（基础感知）：小店购进一支创意书签，成本是5元。如果以8元卖出，赚了多少钱？这个“赚的钱”在数学上叫什么？

2.5.问题2（概念初探）：如果这支书签以15元的价格卖出，利润是多少？利润与成本的比值，反映了什么？这个比值叫什么？

3.6.问题3（联系生活）：节假日期间，小店决定“全场八折”。一件标价20元的笔记本，折后顾客应付多少钱？“八折”如何用数学小数或分数表示？

学生活动：

1.观看视频，进入情境。

2.积极思考，快速口答导入问题。

3.在教师引导下，明确“利润”、“利润率”、“折扣”等核心词汇。

设计意图：

通过视频和角色设定快速营造沉浸式学习氛围。三个递进的口答问题，直指本课核心概念，既激活学生已有生活经验，又自然引出关键术语，为后续深入探究做好铺垫。问题难度低，能确保全体学生成功参与，建立信心。

(二)合作探究，建构模型（预计时间：25分钟）

环节1：核心关系“建模”——我的第一个产品定价单

教师活动：

1.发布探究任务一：“作为店主，你需要为一批新到的文创产品定价。请以小组为单位，完成‘产品定价决策表’。”

出示表格（投影）：

产品

进价（元）

预期利润率

计算过程（列式）

你的建议售价（元）

A.手工笔记本

10

40%

B.陶瓷杯

30

50%

C.明信片套装

（？）

60%

已知售价为16元

2.巡视指导，关注各组对于C产品“已知售价和利润率求进价”的讨论情况。收集典型做法（正确与错误）。

3.请两个小组代表上台，分别展示A、B产品和C产品的定价思路与计算过程。重点要求C产品展示组阐明他们的等量关系（如：售价=进价+利润，其中利润=进价×60%）。

4.引导全班辨析、质疑、补充。聚焦两个关键点：

1.5.公式抽象：在师生对话中，共同提炼出核心公式：售价=进价×(1+成本利润率)。强调“1”代表成本本身，“成本利润率”是利润相对于成本的比率。

2.6.难点突破（C产品）：对比直接算术法（16÷(1+60%)）和方程法（设进价为x元，则x+0.6x=16或x(1+0.6)=16），引导学生体会方程思维在逆向问题中的优越性——思维更直接，关系更清晰。明确此处的等量关系是：利润=进价×利润率。

学生活动：

1.小组合作，讨论并计算A、B产品的建议售价。对于C产品，展开激烈讨论，尝试不同方法。

2.代表上台，利用实物投影或白板讲解本组的思路，尤其是如何寻找等量关系。

3.倾听其他小组展示，参与全班讨论，质疑或认同他人的观点，在教师引导下共同总结公式。

设计意图：

将概念学习置于真实的决策任务中。A、B产品是顺向思维，巩固“售价=进价×(1+利润率)”公式；C产品是逆向思维，是本课第一个难点，旨在引发认知冲突，促使学生深入思考利润率的本质。小组合作与全班分享，让学生在思维碰撞中自主构建知识，教师适时点拨，完成从具体实例到抽象模型的升华。

环节2：情境变式“辨模”——促销大战中的智慧

教师活动：

1.创设新情境：“开业初期，为了吸引客流，小店决定策划一场促销活动。你作为营销经理，需要评估以下两种方案。”

2.呈现探究任务二：

1.3.方案A（折扣方案）：一件标价100元的文创T恤，打九折销售。

2.4.方案B（满减方案）：同一件T恤，标价100元，实行“满80元减15元”。

3.5.问题：①两种方案下，顾客实际支付的售价各是多少？②如果这件T恤的进价是70元，两种方案下的利润各是多少？利润率呢？③作为店主，仅从单件利润角度看，你更倾向于哪个方案？为什么？

6.给予学生独立计算时间，然后组织小组内部交流，比较答案，讨论问题③。

7.请小组代表发言，说明计算过程和决策理由。教师追问：“‘打九折’和‘满80减15’的优惠力度，哪个更大？如何比较？”引出折扣率的计算（(100-15)/100=85%=八五折）。

8.教师拓展：“如果顾客购买多件商品，总价达到200元，‘满80减15’可能意味着每80元减15元，这时实际折扣率会如何变化？”（稍作提示，不深入计算，留作思考）。

学生活动：

1.独立完成两个方案的计算。

2.小组内交流，对比结果，就“店主倾向”展开简短辩论。

3.代表汇报，理解“满减”活动实际折扣率的计算方法。

4.思考教师提出的拓展问题，感受销售策略的复杂性。

设计意图：

引入“折扣”与“满减”两种常见促销方式，丰富问题情境。通过对比计算，让学生切实理解不同促销术语的数学本质，并初步体验商业决策中的权衡（利润vs引流）。拓展问题旨在开阔学生思维，认识到现实问题的复杂性，避免思维僵化。

(三)综合应用，突破难点（预计时间：20分钟）

教师活动：

1.提出挑战性任务：“我们的‘数学文创小店’遇到了一个经典的经营难题，需要各位‘资深店长’会诊解决。”

2.出示例题（课本例题变式与综合）：

“小店同时购进两款精美书签，A款每盒进价20元，B款每盒进价25元。店主为它们制定了初步售价：A款售价28元，B款售价36元。周末促销，店主决定将两款书签都打相同的折扣出售。结果售完后结算发现，A款书签盈利的钱，刚好等于B款书签亏损的钱。请问，这次促销的折扣是多少？”

3.第一步：审题与梳理。

1.4.带领学生逐句分析，圈划关键词：“进价”、“售价”、“相同折扣”、“盈利”、“亏损”、“等于”。

2.5.提供“信息梳理表”支架，引导学生填写：

项目

A款书签

B款书签

进价（元/盒）

20

25

原售价（元/盒）

28

36

折扣率

x(设未知数)

x

促销售价（元/盒）

28x

36x

利润（元/盒）

28x-20

36x-25

盈利或亏损

若28x-20>0，则盈利；反之为亏损

若36x-25>0，则盈利；反之为亏损

6.第二步：寻找等量关系。

1.7.提问：“‘A款盈利的钱等于B款亏损的钱’，这句话如何用数学式子表达？”

2.8.引导学生注意：盈利时利润为正，亏损时利润为负。因此，A款的利润（正数）与B款的利润（负数）的绝对值相等。即：|28x-20|=|36x-25|。但更直接的理解是：A款的利润与B款的利润互为相反数。因为“盈利的钱”是正数，“亏损的钱”是其相反数（负数），两者“相等”意味着数值相同，符号相反。

3.9.得出关键等量关系：(28x-20)+(36x-25)=0。解释：A利润+B利润=0，意味着总利润为零，符合“一赚一赔且数额相等”的描述。

10.第三步：建立并求解模型。

1.11.板书列方程过程：设折扣为x（通常折扣是0.x，此处x可理解为折扣数，如0.8代表八折）。

2.12.列方程：(28x-20)+(36x-25)=0。

3.13.解方程：64x-45=0→64x=45→x=45/64≈0.703125。

4.14.答案解读：x≈0.703，即折扣约为7折。

15.第四步：检验与反思。

1.16.将x≈0.703代入计算：A款促销价≈19.68元，利润≈-0.32元（亏0.32元）；B款促销价≈25.31元，利润≈0.31元（赚0.31元）。由于计算舍入误差，基本符合“盈亏相等”。

2.17.引导学生反思：为什么是打折后A款亏损、B款盈利？（因为A款原利润率低，打折后容易跌破成本；B款原利润率高，有一定降价空间）。这体现了不同商品定价策略的差异。

学生活动：

1.跟随教师引导，仔细审题，利用表格梳理信息。

2.积极参与对等量关系的分析与讨论，理解“盈利与亏损互为相反数”这一转化。

3.观察教师板书，理解方程建立过程，并在学案上同步求解。

4.参与检验，理解结果的现实意义，进行深度反思。

设计意图：

此环节是本课的高潮和难点突破点。例题融合了两种商品、折扣、盈亏平衡等复杂因素。通过细致的步骤拆解和表格支架，帮助学生化繁为简。重点攻克“如何用方程表达盈亏相等”这一思维难点，展示数学表达的精确性。最后的检验与反思，将数学解重新置于商业逻辑中审视，培养学生的应用意识和批判性思维。

(四)分层练习，巩固内化（预计时间：15分钟）

教师活动：

布置分层练习任务，学生根据自身情况至少完成A、B两组，鼓励完成C组。

1.A组：基础巩固（面向全体）

1.2.一件服装的进价是200元，若想获得20%的利润，售价应定为多少元？

2.3.某商品在“双十一”期间打七五折出售，售价为90元，则它的原标价是多少元？

3.4.商店将一台电视机按进价提高40%标价，然后以八折优惠卖出，结果每台仍赚了300元。这台电视机的进价是多少元？（提示：设进价为x元，表示出标价、售价，找等量关系）

5.B组：能力提升（面向大多数）

1.6.某书店同时卖出两套图书，每套售价均为60元。其中一套盈利20%，另一套亏损20%。这次销售中，书店总的盈亏情况如何？（要求列方程说明）

2.7.某商场一种品牌的鞋子按成本价提高50%后标价，后又推出“元旦优惠”活动，按标价的八折出售，每双鞋子的售价为240元。那么这种鞋子的成本价是多少？优惠后的利润率是多少？

8.C组：拓展挑战（面向学有余力者）

1.9.某文具店举行促销活动：一次性购买书包不超过10个，每个售价80元；超过10个的部分，每个打八折。某公司最终付款1120元，请问他们买了多少个书包？（提示：需判断购买数量是否超过10）

学生活动：

1.独立完成练习，书写规范解题步骤。

2.完成后，小组内交换批改A、B组基础题，讨论纠错。

3.教师投影展示C组题的不同解法（方程或分类讨论），学生观摩学习。

设计意图：

分层练习满足不同层次学生的需求，确保全体学生掌握基础，促使多数学生挑战提升，激励尖子生探索拓展。小组互评提高课堂参与度和即时反馈效率。C组题引入“分段计价”模型，为后续学习函数等知识埋下伏笔，体现思维进阶。

(五)课堂小结，体系升华（预计时间：7分钟）

教师活动：

1.不直接总结，而是抛出问题：“通过今天经营‘数学文创小店’的旅程，你作为‘店长’最大的收获是什么？请用一句话概括，并写在便利贴上。”

2.邀请几位学生分享他们的“一句话收获”。

3.教师在此基础上，利用动态思维导图（课件呈现）进行系统性总结：

1.4.核心概念网络：进价（成本）→（+利润）→售价←（×折扣）←标价。利润率=利润/进价。

2.5.解题方法流程：审题→设元→梳理关系（列表/画图辅助）→找等量关系→列方程→解方程→检验作答。

3.6.数学思想提炼：建模思想、方程思想、转化思想。

7.强调：“销售问题只是方程应用的一个窗口。数学的魅力在于，它能将纷繁复杂的世界，用简洁的符号和关系清晰地表达出来，并帮助我们做出理性的决策。”

学生活动：

1.静心反思，撰写“一句话收获”。

2.主动分享，倾听同伴感悟。

3.观看思维导图，在教师引导下回顾整堂课的知识结构与思想方法，完成认知体系的建构。

设计意图：

变教师总结为学生自主反思与表达，使小结成为内化过程的一部分。学生的“一句话收获”是极好的生成性资源。教师的思维导图总结，则将零散的收获系统化、结构化，提升到方法论和思想层面，实现课堂的升华。

(六)作业布置，延伸学习（预计时间：预告）

1.必做题：完成课本本节后对应练习题，并整理本节课的错题与经典例题到错题本，注明错因与正确思路。

2.选做题（二选一）：

1.3.实践调查：走访家附近的一家小店（或超市），记录至少两种商品的标价，询问或估算其大致进价（或观察其促销活动），计算其毛利率或一次促销活动的折扣率，形成一份简单的调查报告。

2.4.创意设计：为你理想中的“数学文创小店”设计一款主打产品。假设它的成本，为你希望达到的利润率，设计其定价。并为其设计一个有趣的、包含数学元素的促销方案（如“第二件半价”、“满额赠礼”等），并计算在方案下销售两件该产品的总利润。

5.预习作业：浏览下一节“球赛积分表问题”，思考积分规则如何用数学式子表示。

设计意图：

作业设计体现巩固、拓展与实践相结合。必做题夯实基础；选做题提供个性化选择，将数学学习延伸到真实生活或创造性活动中，强化应用意识和创新精神；预习作业保持学习连贯性。

八、板书设计

（左侧主板区）

课题：销售中的盈亏问题——一元一次方程的应用

一、核心关系（公式）

1.利润=售价-进价

2.利润率=(利润/进价)×100%

3.售价=进价×(1+利润率)

4.售价=标价×折扣（折扣=折数/10）

二、探究与例题区

1.探究1：定价决策（公式推导）

2.探究2：促销对比（折扣vs满减）

3.例题：（