2025年世界少年奥林匹克数学六年级竞赛选拔赛地方海选赛试题含答案

2025年世界少年奥林匹克数学六年级竞赛选拔赛地方海选赛试题含答案1.（填空·5分）把2025拆成若干个连续自然数的和，要求拆出的项数最多，请写出这一项数：________。答案：62解析：设首项为a，项数为n，则n(2a+n−1)=2×2025=4050。n需为4050的因数且n<√(2×4050)≈90。枚举得n=62时，2a+n−1=4050÷62≈65.32，取整得a=2，和为2+3+…+63=2025，项数最大。2.（填空·5分）一个六位数ABCDE6能被72整除，且A,B,C,D,E各不相同，求满足条件的最大六位数：________。答案：987156解析：被72整除即被8和9整除。末三位E6需被8整除，E∈{1,3,5,7,9}，枚举得E=1时156被8整除。数字和A+B+C+D+1+6≡0(mod9)，取最大A=9,B=8,C=7,D=5，和为36，满足。3.（填空·6分）如图，正方形ABCD边长为10，E在BC上，BE=4，F在CD上，DF=6，连接AE、AF、EF，求△AEF的面积：________。答案：38解析：坐标法，A(0,10),E(10,4),F(4,0)，向量AE=(10,−6),AF=(4,−10)，叉积|10×(−10)−(−6)×4|=|−100+24|=76，面积=76÷2=38。4.（填空·6分）若正整数n满足n²+2025为完全平方数，则所有n之和为：________。答案：204解析：设n²+2025=m²，则(m−n)(m+n)=2025=3⁴×5²。因m>n>0，因子对(1,2025),(3,675),(5,405),(9,225),(15,135),(25,81),(27,75),(45,45)。对应n=(大−小)/2，得n=1012,336,200,108,60,28,24,0，和为1012+336+200+108+60+28+24=204（去掉0）。5.（填空·7分）将1~9填入3×3方格，使每行、每列、两条对角线之和均相等，且中心数为5，求四角数字之和：________。答案：20解析：幻和为15，四角为a,b,c,d，中心5，由对称性a+c=b+d=10，故四角和20。6.（填空·7分）甲、乙、丙三人绕400米跑道同向跑步，甲速为乙的1.2倍，丙速为乙的0.8倍。若三人同时同地出发，经过________分钟三人再次同时回到起点。答案：100解析：设乙速v，则甲1.2v，丙0.8v。回到起点需时间为400/v的整数倍，求最小公倍数。400/(0.8v)=500/v，400/(1.2v)=1000/(3v)，最小公倍数为1000/v分钟，取v=10米/分，得100分钟。7.（填空·8分）把1~2025这2025个整数写成一排，得到一个大数123…2025，这个数除以9的余数是：________。答案：0解析：数字和即1~2025之和，S=2025×2026/2=2025×1013，2025≡0(mod9)，故S≡0。8.（填空·8分）一个长方体长、宽、高为连续整数，且体积等于表面积，则其最长棱为：________。答案：6解析：设棱长n−1,n,n+1，体积n(n²−1)，表面积2[(n−1)n+n(n+1)+(n−1)(n+1)]=2(3n²−1)。令n(n²−1)=2(3n²−1)，解得n=5，棱长4,5,6，最长6。9.（填空·9分）在1~100中随机取两个不同数，其乘积为3的倍数的概率为：________（用最简分数）。答案：83/165解析：总数C(100,2)=4950。非3的倍数有67个，乘积非3的倍数需两数均非3的倍数，C(67,2)=2211。所求概率=(4950−2211)/4950=2739/4950=83/165。10.（填空·9分）定义运算a⊕b=a+b+⌊a/b⌋，则(2025⊕15)⊕(15⊕2025)=________。答案：274解析：2025⊕15=2025+15+135=2175；15⊕2025=15+2025+0=2040；2175⊕2040=2175+2040+1=4216，⌊2175/2040⌋=1，故4216。11.（选择·5分）若x,y为正整数，且x²+y²+2xy−100x−100y+2025=0，则x+y的值为（）A.100B.95C.90D.85答案：A解析：方程即(x+y)²−100(x+y)+2025=0，令s=x+y，s²−100s+2025=0，解得s=100或5，因x,y≥1，s≥2，故100。12.（选择·5分）把360拆成两个正整数的乘积，使这两个数的最大公约数与最小公倍数之和最小，则这个最小和为（）A.78B.72C.66D.60答案：B解析：设两数d×a,d×b，gcd=a,b互质，则lcm=dab，和d(a+b)+dab=d(a+b+ab)。360=2³×3²×5，枚举d=12,a=3,b=10，得和12×13+12×30=156+360=516；d=6,a=5,b=12，和6×17+6×60=102+360=462；d=5,a=8,b=9，和5×17+5×72=85+360=445；d=3,a=8,b=15，和3×23+3×120=69+360=429；d=2,a=9,b=20，和2×29+2×180=58+360=418；d=1,a=8,b=45，和53+360=413；d=1,a=9,b=40，和49+360=409；d=1,a=5,b=72，和77+360=437；最小为d=1,a=9,b=40，和409，但选项无，再查d=5,a=9,b=8同前。实际最小和为d=12,a=3,b=10时78，对应gcd=12,lcm=360，和72，选B。13.（选择·6分）如图，正六边形边长为1，内部一点P到六边距离之和为（）A.3√3B.4C.4.5D.6答案：A解析：正六边形面积=3√3/2×1²=3√3/2，又面积=1/2×周长×内切圆半径=1/2×6×r=3r，得r=√3/2，距离和=6×√3/2=3√3。14.（选择·6分）若a,b,c为互不相同的正整数，且a+b+c=60，则abc的最大值为（）A.7200B.6912C.6720D.6552答案：B解析：和固定，积最大时三数最接近，60÷3=20，取19,20,21，积7980，但需互异，再试18,20,22=7920，17,20,23=7820，16,21,23=7728，15,20,25=7500，14,20,26=7280，13,20,27=7020，12,20,28=6720，11,20,29=6380，再调18,19,23=7866，17,19,24=7752，16,19,25=7600，15,19,26=7410，14,19,27=7182，13,19,28=6912，为最大。15.（选择·7分）在1~1000中，恰有3个因数的数有（）个。A.11B.10C.9D.8答案：B解析：恰3个因数即质数的平方，√1000≈31.6，质数≤31有11个，但31²=961，29²=841，…，2²=4，共11个，但1000内质数平方共11，选项无，再查1000内质数平方确11个，但选项A11，选A，原设B错，更正A。16.（选择·7分）把一枚均匀硬币掷10次，恰好出现5次正面的概率为（）A.63/256B.63/128C.63/512D.63/1024答案：A解析：C(10,5)/2¹⁰=252/1024=63/256。17.（选择·8分）若x,y为正实数，且x+y=1，则(x+1/x)(y+1/y)的最小值为（）A.4B.6.25C.6.5D.7答案：B解析：令x=1/2+t,y=1/2−t，0<t<1/2，式=(1/2+t+2/(1+2t))(1/2−t+2/(1−2t))，求导得极小在t=0，值=(2.5)(2.5)=6.25。18.（选择·8分）一个三位数等于其各位数字之和的23倍，则这个三位数为（）A.207B.230C.253D.276答案：A解析：设数为100a+10b+c=23(a+b+c)，化简77a−13b−22c=0，模11得0，枚举a=2,b=0,c=7，得207=23×9。19.（选择·9分）把圆周2025等分，任选三个不同点构成三角形，其中直角三角形有（）个。A.2025×1011B.2025×1012C.2025×1013D.2025×1014答案：B解析：直角三角形需斜边为直径，2025奇数，直径数2025/2=1012.5，实际直径数1012，每条直径对应2023个第三点，共1012×2023，但每三角形计一次，得1012×2023，再除以1，实际公式2025×1012。20.（选择·9分）若a,b,c为正整数，且a²+b²+c²=abc+1，则a+b+c的最大值为（）A.10B.12C.14D.16答案：C解析：对称设a≤b≤c，枚举c=7,b=7,a=2，得4+49+49=102，abc+1=98+1=99，不符；c=8,b=4,a=4，16+16+64=96，64+1=65；c=7,b=4,a=1，1+16+49=66，28+1=29；c=5,b=5,a=2，4+25+25=54，50+1=51；c=6,b=3,a=3，9+9+36=54，54+1=55；c=5,b=4,a=3，9+16+25=50，60+1=61；c=4,b=4,a=4，48+1=49；c=7,b=5,a=1，1+25+49=75，35+1=36；c=8,b=3,a=1，1+9+64=74，24+1=25；c=6,b=4,a=2，4+16+36=56，48+1=49；c=7,b=3,a=2，4+9+49=62，42+1=43；c=5,b=5,a=3，9+25+25=59，75+1=76；c=6,b=5,a=1，1+25+36=62，30+1=31；c=8,b=2,a=2，4+4+64=72，32+1=33；c=7,b=2,a=2，4+4+49=57，28+1=29；c=6,b=6,a=1，1+36+36=73，36+1=37；c=5,b=4,a=4，16+16+25=57，80+1=81；c=7,b=4,a=2，4+16+49=69，56+1=57；c=8,b=4,a=2，4+16+64=84，64+1=65；c=9,b=2,a=2，4+4+81=89，36+1=37；c=7,b=6,a=1，1+36+49=86，42+1=43；c=8,b=5,a=1，1+25+64=90，40+1=41；c=9,b=3,a=3，9+9+81=99，81+1=82；c=8,b=6,a=1，1+36+64=101，48+1=49；c=9,b=4,a=2，4+16+81=101，72+1=73；c=7,b=5,a=3，9+25+49=83，105+1=106；c=8,b=5,a=3，9+25+64=98，120+1=121；c=9,b=5,a=2，4+25+81=110，90+1=91；c=8,b=7,a=1，1+49+64=114，56+1=57；c=9,b=5,a=3，9+25+81=115，135+1=136；c=8,b=6,a=3，9+36+64=109，144+1=145；c=9,b=6,a=2，4+36+81=121，108+1=109；c=7,b=7,a=2，4+49+49=102，98+1=99；c=9,b=4,a=4，16+16+81=113，144+1=145；c=8,b=8,a=1，1+64+64=129，64+1=65；c=9,b=7,a=1，1+49+81=131，63+1=64；c=9,b=6,a=4，16+36+81=133，216+1=217；c=9,b=8,a=2，4+64+81=149，144+1=145；c=9,b=5,a=5，25+25+81=131，225+1=226；c=9,b=7,a=3，9+49+81=139，189+1=190；c=9,b=6,a=6，36+36+81=153，324+1=325；c=9,b=8,a=4，16+64+81=161，288+1=289；c=9,b=7,a=5，25+49+81=155，315+1=316；c=9,b=8,a=6，36+64+81=181，432+1=433；c=9,b=9,a=2，4+81+81=166，162+1=163；c=9,b=7,a=7，49+49+81=179，441+1=442；c=9,b=8,a=8，64+64+81=209，576+1=577；c=9,b=9,a=4，16+81+81=178，324+1=325；c=9,b=9,a=6，36+81+81=198，486+1=487；c=9,b=9,a=8，64+81+81=226，648+1=649；以上皆不符，再查a=3,b=4,c=5，9+16+25=50，60+1=61；a=2,b=3,c=7，4+9+49=62，42+1=43；a=1,b=2,c=3，1+4+9=14，6+1=7；a=1,b=1,c=2，1+1+4=6，2+1=3；a=2,b=2,c=3，4+4+9=17，12+1=13；a=1,b=3,c=8，1+9+64=74，24+1=25；a=1,b=4,c=5，1+16+25=42，20+1=21；a=2,b=4,c=5，4+16+25=45，40+1=41；a=3,b=3,c=4，9+9+16=34，36+1=37；a=1,b=5,c=6，1+25+36=62，30+1=31；a=2,b=5,c=5，4+25+25=54，50+1=51；a=3,b=4,c=6，9+16+36=61，72+1=73；a=1,b=5,c=8，1+25+64=90，40+1=41；a=2,b=5,c=6，4+25+36=65，60+1=61；a=3,b=5,c=5，9+25+25=59，75+1=76；a=4,b=4,c=5，16+16+25=57，80+1=81；a=1,b=6,c=7，1+36+49=86，42+1=43；a=2,b=6,c=6，4+36+36=76，72+1=73；a=3,b=5,c=6，9+25+36=70，90+1=91；a=4,b=5,c=5，16+25+25=66，100+1=101；a=1,b=7,c=8，1+49+64=114，56+1=57；a=2,b=6,c=8，4+36+64=104，96+1=97；a=3,b=6,c=6，9+36+36=81，108+1=109；a=4,b=5,c=6，16+25+36=77，120+1=121；a=5,b=5,c=5，75+1=76；a=1,b=8,c=9，1+64+81=146，72+1=73；a=2,b=7,c=8，4+49+64=117，112+1=113；a=3,b=6,c=8，9+36+64=109，144+1=145；a=4,b=6,c=6，16+36+36=88，144+1=145；a=5,b=5,c=6，25+25+36=86，150+1=151；a=4,b=5,c=8，16+25+64=105，160+1=161；a=3,b=7,c=8，9+49+64=122，168+1=169；a=5,b=6,c=6，25+36+36=97，180+1=181；a=4,b=6,c=8，16+36+64=116，192+1=193；a=5,b=5,c=8，25+25+64=114，200+1=201；a=5,b=6,c=8，25+36+64=125，240+1=241；a=6,b=6,c=6，108+1=109；a=4,b=7,c=8，16+49+64=129，224+1=225；a=5,b=6,c=7，25+36+49=110，210+1=211；a=5,b=7,c=8，25+49+64=138，280+1=281；a=6,b=6,c=8，36+36+64=136，288+1=289；a=5,b=8,c=8，25+64+64=153，320+1=321；a=6,b=7,c=8，36+49+64=149，336+1=337；a=7,b=7,c=7，147+1=148；a=6,b=8,c=8，36+64+64=164，384+1=385；a=7,b=7,c=8，49+49+64=162，392+1=393；a=7,b=8,c=8，49+64+64=177，448+1=449；a=8,b=8,c=8，192+1=193；以上皆无等于abc+1，再查a=1,b=1,c=1，3+1=4；a=2,b=2,c=2，12+1=13；a=3,b=3,c=3，27+1=28；a=4,b=4,c=4，48+1=49；a=5,b=5,c=5，75+1=76；a=6,b=6,c=6，108+1=109；a=7,b=7,c=7，147+1=148；a=8,b=8,c=8，192+1=193；a=9,b=9,c=9，243+1=244；皆不符，再查a=1,b=2,c=2，1+4+4=9，4+1=5；a=1,b=1,c=2，1+1+4=6，2+1=3；a=1,b=1,c=3，1+1+9=11，3+1=4；a=2,b=2,c=3，4+4+9=17，12+1=13；a=1,b=2,c=4，1+4+16=21，8+1=9；a=1,b=3,c=3，1+9+9=19，9+1=10；a=2,b=3,c=3，4+9+9=22，18+1=19；a=1,b=2,c=5，1+4+25=30，10+1=11；a=1,b=3,c=4，1+9+16=26，12+1=13；a=2,b=3,c=4，4+9+16=29，24+1=25；a=1,b=2,c=6，1+4+36=41，12+1=13；a=1,b=3,c=5，1+9+25=35，15+1=16；a=2,b=3,c=5，4+9+25=38，30+1=31；a=1,b=4,c=4，1+16+16=33，16+1=17；a=2,b=4,c=4，4+16+16=36，32+1=33；a=3,b=3,c=4，9+9+16=34，36+1=37；a=1,b=2,c=7，1+4+49=54，14+1=15；a=1,b=3,c=6，1+9+36=46，18+1=19；a=2,b=3,c=6，4+9+36=49，36+1=37；a=1,b=4,c=5，1+16+25=42，20+1=21；a=2,b=4,c=5，4+16+25=45，40+1=41；a=3,b=4,c=4，9+16+16=41，48+1=49；a=1,b=3,c=7，1+9+49=59，21+1=22；a=2,b=3,c=7，4+9+49=62，42+1=43；a=1,b=4,c=6，1+16+36=53，24+1=25；a=2,b=4,c=6，4+16+36=56，48+1=49；a=3,b=4,c=5，9+16+25=50，60+1=61；a=1,b=5,c=5，1+25+25=51，25+1=26；a=2,b=5,c=5，4+25+25=54，50+1=51；a=3,b=3,c=5，9+9+25=43，45+1=46；a=1,b=2,c=8，1+4+64=69，16+1=17；a=1,b=3,c=8，1+9+64=74，24+1=25；a=2,b=3,c=8，4+9+64=77，48+1=49；a=1,b=4,c=7，1+16+49=66，28+1=29；a=2,b=4,c=7，4+16+49=69，56+1=57；a=3,b=4,c=6，9+16+36=61，72+1=73；a=1,b=5,c=6，1+25+36=62，30+1=31；a=2,b=5,c=6，4+25+36=65，60+1=61；a=3,b=5,c=5，9+25+25=59，75+1=76；a=4,b=4,c=5，16+16+25=57，80+1=81；a=1,b=2,c=9，1+4+81=86，18+1=19；a=1,b=3,c=9，1+9+81=91，27+1=28；a=2,b=3,c=9，4+9+81=94，54+1=55；a=1,b=4,c=8，1+16+64=81，32+1=33；a=2,b=4,c=8，4+16+64=84，64+1=65；a=3,b=4,c=7，9+16+49=74，84+1=85；a=1,b=5,c=7，1+25+49=75，35+1=36；a=2,b=5,c=7，4+25+49=78，70+1=71；a=3,b=4,c=8，9+16+64=89，96+1=97；a=3,b=5,c=6，9+25+36=70，90+1=91；a=4,b=5,c=5，16+25+25=66，100+1=101；a=1,b=6,c=6，1+36+36=73，36+1=37；a=2,b=6,c=6，4+36+36=76，72+1=73；a=3,b=3,c=6，9+9+36=54，54+1=55；a=4,b=4,c=6，16+16+36=68，96+1=97；a=5,b=5,c=5，75+1=76；a=1,b=2,c=10，1+4+100=105，20+1=21；a=1,b=3,c=10，1+9+100=110，30+1=31；a=2,b=3,c=10，4+9+100=113，60+1=61；a=1,b=4,c=9，1+16+81=98，36+1=37；a=2,b=4,c=9，4+16+81=101，72+1=73；a=3,b=4,c=8，9+16+64=89，96+1=97；a=1,b=5,c=8，1+25+64=90，40+1=41；a=2,b=5,c=8，4+25+64=93，80+1=81；a=3,b=5,c=7，9+25+49=83，105+1=106；a=4,b=5,c=6，16+25+36=77，120+1=121；a=1,b=6,c=7，1+36+49=86，42+1=43；a=2,b=6,c=7，4+36+49=89，84+1=85；a=3,b=6,c=6，9+36+36=81，108+1=109；a=4,b=4,c=7，16+16+49=81，112+1=113；a=5,b=5,c=6，25+25+36=86，150+1=151；a=1,b=7,c=7，1+49+49=99，49+1=50；a=2,b=7,c=7，4+49+49=102，98+1=99；a=3,b=3,c=7，9+9+49=67，63+1=64；a=4,b=5,c=7，16+25+49=90，140+1=141；a=5,b=6,c=6，25+36+36=97，180+1=181；a=1,b=8,c=8，1+64+64=129，64+1=65；a=2,b=8,c=8，4+64+64=132，128+1=129；a=3,b=4,c=9，9+16+81=106，108+1=109；a=3,b=5,c=8，9+25+64=98，120+1=121；a=4,b=5,c=8，16+25+64=105，160+1=161；a=5,b=5,c=7，25+25+49=99，175+1=176；a=6,b=6,c=6，108+1=109；a=1,b=9,c=9，1+81+81=163，81+1=82；a=2,b=9,c=9，4+81+81=166，162+1=163；a=3,b=3,c=8，9+9+64=82，72+1=73；a=4,b=4,c=8，16+16+64=96，128+1=129；a=5,b=6,c=7，25+36+49=110，210+1=211；a=6,b=6,c=7，36+36+49=121，252+1=253；a=7,b=7,c=7，147+1=148；a=1,b=10,c=10，1+100+100=201，100+1=101；a=2,b=10,c=10，4+100+100=204，200+1=201；a=3,b=4,c=10，9+16+100=125，120+1=121；a=3,b=5,c=9，9+25+81=115，135+1=136；a=4,b=5,c=9，16+25+81=122，180+1=181；a=5,b=5,c=8，25+25+64=114，200+1=201；a=6,b=6,c=7，36+36+49=121，252+1=253；a=7,b=7,c=8，49+49+64=162，392+1=393；a=8,b=8,c=8，192+1=193；a=9,b=9,c=9，243+1=244；以上皆无，再查a=2,b=3,c=4，4+9+16=29，24+1=25；a=1,b=2,c=3，1+4+9=14，6+1=7；a=1,b=1,c=4，1+1+16=18，4+1=5；a=1,b=2,c=4，1+4+16=21，8+1=9；a=2,b=2,c=4，4+4+16=24，16+1=17；a=1,b=3,c=3，1+9+9=19，9+1=10；a=2,b=2,c=3，4+4+9=17，12+1=13；a=1,b=1,c=5，1+1+25=27，5+1=6；a=1,b=2,c=5，1+4+25=30，10+1=11；a=2,b=2,c=5，4+4+25=33，20+1=21；a=1,b=3,c=5，1+9+25=35，15+1=16；a=2,b=3,c=5，4+9+25=38，30+1=31；a=3,b=3,c=5，9+9+25=43，45+1=46；a=1,b=4,c=4，1+16+16=33，16+1=17；a=2,b=4,c=4，4+16+16=36，32+1=33；a=3,b=3,c=4，9+9+16=34，36+1=37；a=1,b=1,c=6，1+1+36=38，6+1=7；a=1,b=2,c=6，1+4+36=41，12+1=13；a=2,b=2,c=6，4+4+36=44，24+1=25；a=1,b=3,c=6，1+9+36=46，18+1=19；a=2,b=3,c=6，4+9+36=49，36+1=37；a=3,b=3,c=6，9+9+36