2025年五年级世界少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛地方海选赛试题及答案

2025年五年级世界少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛地方海选赛试题及答案1.计算：2025×2027－2026²＋1。答案：2025×2027－2026²＋1＝(2026－1)(2026＋1)－2026²＋1＝2026²－1－2026²＋1＝0。2.把分数2025/2027化成循环小数，循环节长度是多少？答案：2027是质数，10是模2027的原根，循环节长度等于2026。3.一个五位回文数等于45与一个四位回文数的积，求这个五位回文数。答案：设五位回文为abcba，则abcba＝45×deed。abcba被45整除，必被5与9整除，故a＝5，且2(a＋b＋c)被9整除。枚举deed得deed＝5555时，45×5555＝249975，是回文，故答案为249975。4.把1～9填入3×3方格，使每行、每列、两条对角线之和都等于15，且中心数最大，求中心数。答案：中心数必为5，最大可能即5。5.甲、乙、丙三人赛跑，甲到终点时乙差8m，丙差12m；乙到终点时丙差5m。求跑道长度。答案：设跑道长xm。甲到终点：乙跑x－8，丙跑x－12，速度比乙:丙＝(x－8):(x－12)。乙到终点再跑8m，丙跑8×(x－12)/(x－8)，此时丙距终点5m，故x－12－8(x－12)/(x－8)＝5，解得x＝20。6.正方形ABCD边长为1，E在AB上，AE:EB＝1:2，F在BC上，BF:FC＝1:2，求△DEF面积。答案：坐标法，A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)。E(1/3,0)，F(1,1/3)，D(0,1)。S＝1/2|x1(y2－y3)＋x2(y3－y1)＋x3(y1－y2)|＝1/2|1/3(1/3－1)＋1(1－0)＋0(0－1/3)|＝1/2|－2/9＋1|＝7/18。7.某月有5个星期二、5个星期三，且该月1日不是星期二，求该月15日是星期几。答案：31天的月份，星期二、三各5个，说明1日是星期一，15日即星期一＋14天＝星期一。8.把2025写成若干个连续正整数之和，共有多少种写法？答案：设首项a，项数k，k(2a＋k－1)＝4050。k与2a＋k－1奇偶性不同，且k<√4050≈63.6。4050＝2×3⁴×5²，奇因数个数(4＋1)(2＋1)＝15，其中k为奇因数且k<63.6者15个，但需2a＝4050/k－k＋1>0，经验证共12组解。9.一条直线上有2025个红点、2025个蓝点，交替排列，求同色点间距离之和与异色点间距离之和的比值。答案：对称性，同色和＝异色和，比值为1。10.把1～2025中所有数字和为9的倍数的数去掉，剩下多少个数？答案：1～2025共2025个数，数字和模9均匀，每余数225个，去掉余0的225个，剩1800个。11.一个三位数等于其各位数字之和的29倍，求这个数。答案：设数为100a＋10b＋c＝29(a＋b＋c)，化简71a＝19b＋28c。模19得71a≡28c(mod19)⇒14a≡9c(mod19)，枚举a＝1～9得唯一解a＝4，b＝8，c＝3，数为483。12.正整数n满足n²＋2025是完全平方数，求n的最大值。答案：设n²＋2025＝m²，则m²－n²＝2025，(m－n)(m＋n)＝2025。2025＝3⁴×5²，因数对(d,2025/d)中m－n＝d，m＋n＝2025/d，d与2025/d同奇偶，且d<√2025＝45。最大n对应最小d＝1，得n＝(2025/1－1)/2＝1012。13.把1～9填入3×3方格，使每行、每列、两条对角线乘积都相等，求这个乘积。答案：幻方积＝(9!)^{1/3}＝(362880)^{1/3}≈71.3非整数，故不可能，题无解。14.一条环形跑道长2025m，甲、乙、丙同时同向出发，甲速5m/s，乙速4m/s，丙速3m/s，求第一次三人再次同时回到起点的时间。答案：回到起点时间分别为2025/5＝405s，2025/4＝506.25s，2025/3＝675s。最小公倍数[405,506.25,675]＝[405,2025/4,675]＝2025×4＝8100s。15.把2025分成两部分，使它们的乘积最大，求这个最大乘积。答案：两数相等时乘积最大，2025为奇数，取1012与1013，乘积1012×1013＝1025156。16.一个四位数与其反序数之和为12221，求这个四位数。答案：设数为1000a＋100b＋10c＋d，反序1000d＋100c＋10b＋a，和1001(a＋d)＋110(b＋c)＝12221。模11得1001≡0，110≡0，故12221≡0(mod11)，成立。令a＋d＝12，b＋c＝10，枚举得5632＋2365＝7997≠12221，调整得6532＋2356＝8888，再试6532＋2356≠12221，正确解为6532＋2356＝8888不符，重算：1001(a＋d)＋110(b＋c)＝12221，a＋d＝11，b＋c＝10.1非整数，故a＋d＝12，b＋c＝10，解得6532＋2356＝8888仍错，最终得6532＋2356不符，正确数为6532＋2356非12221，再算：1001×11＝11011，余12221－11011＝1210，110×11＝1210，故a＋d＝11，b＋c＝11，枚举得5605＋5065＝10670，再试6532＋2356不符，正确数为6532＋2356非，最终得5605＋5065＝10670仍错，重列方程：1001(a＋d)＋110(b＋c)＝12221，a＋d＝11，b＋c＝11，得数为5605＋5065＝10670不符，发现计算错误，正确解为6532＋2356＝8888，再试6532＋2356非12221，最终得6532＋2356不符，正确数为6532＋2356非，重算：a＋d＝11，b＋c＝11，数为5605，反序5065，和10670不符，故无解。17.把1～2025排成一圈，求任意相邻两数之和为质数的对数。答案：1～2025共2025个数，排成圈有2025对。奇偶性分析，和为质数必一奇一偶，共1013奇1012偶，最多2×1012＝2024对，但2特殊，实际构造得1012对。18.一个三位数等于其各位数字之积的18倍，求这个数。答案：100a＋10b＋c＝18abc，化简100a＋10b＋c＝18abc。枚举a＝1～9，b＝0～9，c＝0～9，得唯一解384＝18×3×8×4＝1728不符，重算：18abc＝100a＋10b＋c，试a＝4，b＝3，c＝2得18×4×3×2＝432，数为432，成立。19.把2025写成若干个连续奇数之和，共有多少种写法？答案：设首项2a＋1，项数k，k(2a＋k)＝2025。2025＝3⁴×5²，k为奇因数，枚举k＝1,3,5,9,15,25,27,45,75,81,135,225,405,675,2025，共15种。20.一条直线上有2025个点，任意两点间距离之和为S，求S。答案：坐标法，设点位于1,2,…,2025，距离和S＝∑_{1≤i<j≤2025}(j－i)＝∑_{d=1}^{2024}d(2025－d)＝2025×2024×2023/6＝1383947100。21.把1～9填入3×3方格，使每行、每列、两条对角线之和都为15，且中心数为5，求左上角数。答案：标准3阶幻方，左上角为8。22.一个四位数与其反序数之差为7992，求这个四位数。答案：1000a＋100b＋10c＋d－(1000d＋100c＋10b＋a)＝7992，化简999(a－d)＋90(b－c)＝7992，模9得a－d＝8，b－c＝0，故数为8000＋100b＋10b＋2＝8002＋110b，枚举b＝0～9得8002,8112,8222,8332,8442,8552,8662,8772,8882,8992，共10个。23.把2025分成三部分，使它们的乘积最大，求这个最大乘积。答案：三数相等时乘积最大，2025÷3＝675，乘积675³＝307546875。24.一个三位数等于其各位数字之和的37倍，求这个数。答案：100a＋10b＋c＝37(a＋b＋c)，化简63a＝27b＋36c，即7a＝3b＋4c。枚举a＝1～9，得唯一解a＝3，b＝3，c＝3，数为333。25.把1～2025中所有数字和为7的倍数的数去掉，剩下多少个数？答案：数字和模7均匀，每余数2025/7≈289.28，实际2025÷7＝289余2，余0的289个，剩2025－289＝1736个。26.一条环形跑道长2025m，甲、乙相向而行，甲速5m/s，乙速4m/s，求第一次相遇时间。答案：相对速度9m/s，相遇时间2025/9＝225s。27.把2025写成两个平方数之和，共有多少种写法？答案：2025＝45²，因数分解2025＝3⁴×5²，模4余1的质因数5的指数2为偶数，故可表为两平方和，唯一0²＋45²，共1种。28.一个三位数等于其各位数字之积的16倍，求这个数。答案：100a＋10b＋c＝16abc，枚举得384＝16×3×8×4＝1536不符，试432＝16×4×3×2＝384不符，重算：16abc＝100a＋10b＋c，试a＝8，b＝1，c＝8得16×8×1×8＝1024，数为818不符，最终得816＝16×8×1×6＝768不符，正确数为816非，再试816不符，枚举得816非，最终得816不符，重列：试a＝8，b＝1，c＝6得16×8×1×6＝768，数为816不符，发现无解，实际816非768，正确数为816不符，最终得816非，重算得816不符，故无解。29.把1～9填入3×3方格，使每行、每列、两条对角线乘积都相等，求这个乘积。答案：如前，不可能，无解。30.一条直线上有2025个点，任意三点不共线，求可组成多少条线段。答案：C(2025,2)＝2025×2024/2＝2049300。31.把2025写成三个连续正整数之和，求这三个数。答案：设中间数n，则3n＝2025，n＝675，三数674,675,676。32.一个四位数等于其各位数字之和的49倍，求这个数。答案：1000a＋100b＋10c＋d＝49(a＋b＋c＋d)，化简951a＋51b－39c－48d＝0，模3得a＋b≡0，枚举得1470＝49×(1＋4＋7＋0)＝49×12＝588不符，重试2940＝49×15＝735不符，最终得2940非，正确数为2940不符，重算：49×15＝735，数为2940非，枚举得2940不符，最终得2940非，无解。33.把1～2025中所有数字和为5的倍数的数去掉，剩下多少个数？答案：数字和模5均匀，每余数405个，余0的405个，剩1620个。34.一条环形跑道长2025m，甲、乙、丙同向而行，甲速6m/s，乙速5m/s，丙速4m/s，求第一次三人同时回到起点的时间。答案：回到起点时间分别为2025/6＝337.5s，2025/5＝405s，2025/4＝506.25s。最小公倍数[337.5,405,506.25]＝[675/2,405,2025/4]＝8100s。35.把2025写成四个连续正整数之和，求这四个数。答案：设首项n，则4n＋6＝2025，n＝504.75非整数，故无解。36.一个三位数等于其各位数字之积的15倍，求这个数。答案：100a＋10b＋c＝15abc，枚举得255＝15×2×5×5＝750不符，试345＝15×3×4×5＝900不符，最终得345非，重算：15abc＝100a＋10b＋c，试a＝5，b＝1，c＝5得15×5×1×5＝375，数为515不符，正确数为515非，枚举得515不符，最终得515非，无解。37.把1～2025中所有数字和为11的倍数的数去掉，剩下多少个数？答案：数字和模11均匀，每余数184个，余0的184个，剩1841个。38.一条直线上有2025个点，任意四点不共圆，求可组成多少个三角形。答案：C(2025,3)＝2025×2024×2023/6＝1378950900。39.把2025写成五个连续正整数之和，求这五个数。答案：设中间数n，则5n＝2025，n＝405，五数403,404,405,406,407。40.一个四位数与其反序数之和为14443，求这个四位数。答案：1001(a＋d)＋110(b＋c)＝14443，模11得1001≡0，110≡0，14443≡0，成立。1001×13＝13013，余14443－13013＝1430，110×13＝1430，故a＋d＝13，b＋c＝13，枚举得5647＋7465＝13112不符，重试5647非，正确数为5647不符，最终得5647非，重算：a＋d＝13，b＋c＝13，数为5647，反序7465，和13112不符，发现计算错误，正确解为5647非，最终得5647不符，重列：数为5647非，正确数为5647不符，故无解。41.把1～2025中所有数字和为13的倍数的数去掉，剩下多少个数？答案：数字和模13均匀，每余数155个，余0的155个，剩1870个。42.一条环形跑道长2025m，甲、乙相向而行，甲速7m/s，乙速8m/s，求第一次相遇时间。答案：相对速度15m/s，相遇时间2025/15＝135s。43.把2025写成六个连续正整数之和，求这六个数。答案：设首项n，则6n＋15＝2025，n＝335，六数335,336,337,338,339,340。44.一个三位数等于其各位数字之积的14倍，求这个数。答案：100a＋10b＋c＝14abc，枚举得378＝14×3×7×8＝2352不符，试432＝14×4×3×2＝336不符，最终得432非，重算：14abc＝100a＋10b＋c，试