数学特殊平行四边的性质和判定 综合训练 习题课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章

四边形特殊平行四边形的性质和判定综合训练人教版八年级下册单元复习证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCE＝∠DCE，BC＝CD，AB∥CD.∴∠AFD＝∠CDE.∴△BCE≌△DCE(SAS).∴∠CBE＝∠CDE.又∵∠AFD＝∠CDE，∴∠AFD＝∠CBE.1.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于点E.求证：∠AFD＝∠CBE.在△BCE和△DCE中，2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E.(1)求证：DB＝DE；(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DB＝AC，AB∥CD.又∵DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形．∴DE＝AC.∴DB＝DE.(2)若∠AOB＝60°,BD＝4,求四边形BCDE的面积．(2)解:由(1)得四边形ACDE是平行四边形;∴AE＝CD.∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AC＝BD＝4，AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90°.∴AO＝BO＝2.又∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形．∴AE＝CD＝AB＝AO＝2.∴四边形BCDE的面积＝S△ADE＋S矩形ABCD∴AD3.如图，将矩形纸片ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′，AD相交于点E，AD＝8，AB＝4.DE的长是多少？△BDE的面积呢？解：由折叠的性质，得∠DBC′＝∠DBC.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠ADB＝∠DBC.∴∠ADB＝∠DBC′.∴DE＝BE.设DE＝x，则BE＝x，AE＝8－x.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＋AE2＝BE2，即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.∴DE的长是5.∴S△BDE＝DE·AB＝×5×4＝10.4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，AE分别是∠BAC与△BAC的外角∠BAF的平分线，BE⊥AE.

求证：四边形AEBD为矩形．证明：∵AD，AE分别平分∠BAC，∠BAF，又∵∠BAC＋∠BAF＝180°，∴∠BAD＋∠BAE＝90°，即∠DAE＝90°.∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC.∴∠BDA＝90°.又∵BE⊥AE，∴∠BEA＝90°.∴∠BEA＝∠BDA＝∠DAE＝90°.∴四边形AEBD为矩形．∴∠BAD＝∠BAC，∠BAE＝∠BAF.5.如图，在△ABC中，O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证：OE＝OF.(1)证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO.∴OF＝OC.同理可证OC＝OE.∴OE＝OF.(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长．(2)解：由(1)知∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC，∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC.∵(∠OCF＋∠OCE)＋(∠OFC＋∠OEC)＝180°，∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°.

又∵OE＝OF，

∴∴OC＝(3)解：当点O移动到AC的中点时，四边形AECF为矩形．理由如下：如图，连接AE，AF.当点O移动到AC的中点时，OA＝OC.又∵OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．又∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．6.如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB.(1)求∠ABC的度数；解：(1)∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴AD＝DB.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC.∴AD＝DB＝AB，∠DAB＋∠ABC＝180°.∴△ABD为等边三角形．∴∠DAB＝60°.∴∠ABC＝180°－∠DAB＝120°.(2)如果AC＝，求DE的长．解：(2)∵四边形ABCD是菱形，

又∵DE⊥AB，∴DE和AO都是等边△ABD的高，

∴BD⊥AC，∴DE＝AO＝7.如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC延长线上的一个动点，以AD为边作等边△ADE，过点E作BC的平行线，分别交AB，AC的延长线于点F，G，连接BE.(1)求证：△AEB≌△ADC；(1)证明：∵△ABC和△AED都是等边三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAE＋∠EAG＝∠CAD＋∠EAG＝60°.∴∠BAE＝∠CAD.∴△AEB≌△ADC(SAS).在△AEB和△ADC中，(2)解：四边形BCGE是菱形．理由如下：由(1)知△AEB≌△ADC，∴∠AEB＝∠ADC，BE＝CD.∴∠FBE＝∠BAE＋∠AEB＝∠CAD＋∠ADC

＝∠ACB.(2)如果BC＝CD，判断四边形BCGE的形状，并说明理由．又∵FG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形．又∵BC＝CD，BE＝CD，∴BE＝BC.∴四边形BCGE是菱形．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB.∴∠BAC＝∠FBE.∴BE∥AG.8.如图，过正方形ABCD的顶点C作直线l，

分别过点B，D作l的垂线，垂足分别为E，F.(1)求证：EF＝DF＋BE；(1)证明：∵BE⊥CE，DF⊥CF，∴∠BEC＝∠CFD＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD,∠BCD＝90°.∴∠BCE＋∠DCF＝180°－∠BCD＝90°.又∵∠BCE＋∠CBE＝90°，∴∠DCF＝∠CBE.∴△BCE≌△CDF(AAS).∴BE＝CF，CE＝DF.∴EF＝CE＋CF＝DF＋BE.(2)已知BE＝6cm,DF＝4cm,求正方形ABCD的面积.(2)解：由(1)知CF＝BE＝6cm.由勾股定理，得CD2＝CF2＋DF2＝62＋42＝52，∴正方形ABCD的面积为52cm2.(1)证明：如图，连接AC交BD于点O.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO.∵BE＝DF，∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF.∴四边形AECF是平行四边形．又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．9.如图，已知E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF.(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AB＝，BE＝2，求四边形AECF的面积．(2)解：由(1)知四边形AECF是菱形．∵BE＝DF＝2，∴EF＝BD－BE－DF＝2.∴S四边形AECF＝AC·EF＝×6×2＝6.∵AB＝，∴AC＝BD＝6.10.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，过点F作FH⊥AD，垂足为H，连接AF.(1)求证：FH＝ED；(1)证明：∵四边形CEFG是正方形，∴CE＝EF，∠FEH＋∠CED＝∠FEC＝90°.在矩形ABCD中，∵∠D＝90°，∴∠ECD＋∠CED＝90°.∴∠FEH＝∠ECD.∴△FEH≌△ECD(AAS).∴FH＝ED.在△FEH和△ECD中，(2)解：在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∴CD＝AB＝3.∵AE＝1，∴DE＝4.∵△FEH≌△ECD，∴FH＝DE＝4，EH＝CD＝3.∴AH＝4.∴AH＝FH.∵∠FHE＝90°，∴∠FAD＝45°.(2)若AB＝3，AD＝5，AE＝1，求∠FAD的度数．11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是两锐角平分线的交点，ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为D，F.求证：四边形CDEF是正方形．证明：如图，过点E作EM⊥AB于点M.∵ED⊥BC，EF⊥AC，∠ACB＝90°，∴∠CFE＝∠CDE＝∠FCD＝90°.∴四边形CDEF是矩形．∵AE平分∠CAB，∴EF＝EM.∵BE平分∠CBA，∴ED＝EM.∴EF＝ED.∴四边形CDEF是正方形．12.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.(1)求证：四边形ADCE为矩形．(1)证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC.∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE.又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°＝∠DAE.∴四边形ADCE为矩形．∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝×180°＝90°.(2)解：当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．证明如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝∠B＝45°.∵AD⊥BC，∴∠CAD＝∠ACD＝45°.∴DC＝AD.又∵四边形ADCE为矩形，∴四边形ADCE是正方形．(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明．13.如图，四边形ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.(1)求证：矩形DEFG是正方形；证明：(1)如图，过点E作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q，则四边形CPEQ是矩形．∵四边形ABCD是正方形,∴∠DCA＝∠BCA.∴EQ＝EP.∵∠QEF＋∠PEF＝90°，∠PED＋∠PEF＝90°，∴∠QEF＝∠PED.∴△EQF≌△EPD(ASA).∴EF＝ED.∴矩形DEFG