数学课时2 正方形的判定课件 2025-2026学年人教版+数学八年级下册

21.3.3正方形课时2正方形的判定第二十一章

四边形01探索并证明正方形的判定.02会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.

由正方形的定义可知，有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．除此之外，还有没有其他判定方法呢？平行四边形一组邻边相等且一内角是直角正方形任务一：探索并证明正方形的判定．

活动：小组合作完成下列任务，并整理归纳得出的结论.问题1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证，并思考满足怎样条件的矩形是正方形？

问题2：如图，把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形，并思考满足怎样条件的菱形是正方形？问题3：结合以上过程写出你的猜想，并加以验证.猜想1：有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形.猜想2：有一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形.矩形正方形菱形正方形猜想1：有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形.已知:如图，在矩形ABCD中，AB=AD.求证:矩形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，四边形ABCD也是平行四边形，

∵AB=AD，

∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义）ADCB猜想1：有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形.已知:如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直.求证:矩形ABCD是正方形.ADCBO证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，又AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝90°，在△AOB和△AOD中，OB＝OD，∠AOB＝∠AOD，OA＝OA，

∴矩形ABCD是正方形．猜想2：有一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形.已知:如图，在菱形ABCD中，∠B=90°.求证:菱形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形，∠B=90°,

∴AB=CD=BC=DA，四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，

∴四边形ABCD是正方形.ADCB猜想2：有一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形.已知:如图，在菱形ABCD中，AC＝BD.求证:菱形ABCD是正方形.ADCB证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，在△ABD和△BAC中，AB＝BA，AD＝BC，BD＝AC，

∵∠DAB＋∠CBA＝180°，∴∠DAB＝∠CBA＝90°．∴菱形ABCD是正方形．正方形+菱形再判定矩形(2)一个角是直角正方形的判定思路如下：正方形+矩形再判定菱形(1)一组邻边相等对角线垂直对角线相等平行四边形(3)正方形一组邻边相等且一内角是直角对角线相等且垂直1.从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD，选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)．现有下列四种选法，其中错误的是()A．①②B．②③C．①③D．②④B任务二：会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算．

活动:小组合作解决下列问题，简要说说求解过程中用到的性质.如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形.HABCDEFG312分析：要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出.

HABCDEFG3122.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.求证：四边形CEDF为正方形.证明∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵∠C=90°，∴四边形CEDF是矩形.过点D作DG⊥AB于点G(图略).∵AD是∠CAB的平分线，∴DE=DG.同理DG=DF，∴DE=DF.∴四边形CEDF为正方形.针对本课的关键词“正方形的判定方法”，说一说你都学到了哪些知识？1.下列命题中，正确的是()A.四边相等的四边形是正方形B.四角相等的四边形是正方形C.对角线垂直的平行四边形是正方形D.对角线相等的菱形是正方形D2.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，∠OAB＝45°，AC⊥BD.求证：四边形ABCD是正方形．证明：∵AC，BD互相平分，且AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．∵AC⊥BD，∠OAB＝45°，∴∠OBA＝45°，∴OA＝OB.又∵AC，BD互相平分，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴AC＝BD.

∴四边形ABCD是正方形．3.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB=∠CDB；

3.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(2)当∠ADC=

时，四边形MPND是正方形，并说明理由.

解：当∠ADC=90°时，四边形MPND是正方形.理由如下：∵PM⊥AD，PN⊥