6.4 实践与探索 一元一次方程的应用（习题）（解析版）-华东师大版(2024)七下

专题6.4实践与探索教学目标1.理解二元一次方程组解决实际问题的建模思想，掌握“审题-设元-列方程-求解-检验-作答”基本步骤。2.能准确提炼常见实际问题的等量关系，熟练列出二元一次方程组。3.会根据题意选择直接或间接设元，提升解题灵活性。4.能检验方程解的合理性，确保符合实际意义。5.能解决和差倍分、行程、工程等常见题型，培养分析和解决问题的能力。教学重难点重点（1）二元一次方程组应用的基本步骤。（2）常见实际问题的等量关系提炼。（3）直接设元与间接设元的灵活运用。（4）方程解的双重检验（方程成立+实际意义）。难点（1）复杂问题中隐藏等量关系的挖掘（如分段收费、图表信息题）。（2）间接设元的合理选择与运用。（3）方案决策类问题的多解分析与最优方案筛选。（4）几何图形与实际问题结合的建模过程。知识点01：二元一次方程组应用的基本步骤1.审题：梳理题目中的已知量、未知量，明确核心数量关系。2.设元：根据题意设直接未知数或间接未知数（含单位）。3.列方程组：根据等量关系列出两个独立的二元一次方程，组成方程组。4.求解：用代入法或加减法解方程组，得到数学解。5.检验：验证解是否满足方程组，且符合实际意义（如人数、长度为正）。6.作答：规范写出答案，注明单位。【即学即练】1．（25-26七年级下·全国·课后作业）某商场销售品牌羽毛球和篮球，其中羽毛球进价为20元/筒，售价为30元/筒；篮球进价为50元/个，售价为80元/个．现商场用13000元购进羽毛球和篮球并全部售出，羽毛球和篮球的总利润为7500元，求该商场购进羽毛球和篮球的数量．【答案】该商场购进羽毛球150筒，篮球200个．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握根据进价和利润的等量关系建立方程组的方法是解题的关键．设购进羽毛球和篮球的数量为未知数，根据总进价和总利润的条件分别列出方程，组成二元一次方程组，通过解方程组得到两种商品的购进数量．【详解】解：设购进羽毛球x筒，篮球y个，根据题意，得20解得x答：该商场购进羽毛球150筒，篮球200个．知识点02：常见实际问题的核心等量关系1.和差倍分问题：总量=部分量之和，差量=较大量-较小量，倍数量=基础量×倍数。2.行程问题：路程=速度×时间；相遇问题：路程和=总距离；追及问题：路程差=初始距离；航行问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度。3.工程问题：工作量=工作效率×工作时间；总工作量=各部分工作量之和（通常设总工作量为1）。4.销售利润问题：利润=售价-进价；利润率=（利润÷进价）×100%；总利润=单件利润×销量。5.配套问题：配套部件数量比=产品配套比例（如1个部件A配2个部件B，则A的数量×2=B的数量）。6.几何问题：利用图形的边长、面积、体积公式，结合题意建立等量关系（如长方形周长=2×(长+宽)）。【即学即练】1．（2026七年级下·全国·专题练习）某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，租用的每辆车都坐满时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．(1)1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？(2)若学校计划租用小客车m辆，大客车n辆，一次性将全部学生送达，且恰好每辆车都坐满．请你设计出所有的租车方案．【答案】(1)65名(2)见解析【分析】（1）由题意可以列出二元一次方程组求解；（2）由题意列出关于m、n的二元一次方程，然后根据m、n都是非负整数可以得到解答．【详解】（1）解：设1辆小客车能坐x名学生，1辆大客车能坐y名学生，根据题意，得3x+y=105x答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生．（2）解：由题意，得20m+45nm，n为非负整数，∴m=20n=0或∴租车方案有三种：方案一：租用小客车20辆；方案二：租用小客车11辆，大客车4辆；方案三：租用小客车2辆，大客车8辆．【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，由题意正确列出二元一次方程（组）并求解是解题关键．知识点03：设未知数的技巧1.直接设元：问什么设什么（适用于未知量直接关联的简单问题）。2.间接设元：当直接设元列方程困难时，设中间量为未知数（如数字问题设数位上的数字）。3.注意事项：设元时需注明单位，多个未知数需明确区分（如设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时）。【即学即练】1．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）某文具店为满足学生需求计划购进一批修正带和笔袋．已知购进3个修正带和2个笔袋共需44元；购进2个修正带和1个笔袋共需26元．(1)求修正带和笔袋的进价分别是多少元/个？(2)若该文具店准备用200元购进一批修正带和笔袋（两种文具都有），且将200元用完，求该文具店共有几种进货方案？【答案】(1)修正带的进价是8元/个，笔袋的进价是10元/个(2)该文具店共有4种进货方案【分析】本题考查二元一次方程（组）解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程（组）是解决问题的关键．（1）设修正带的进价是x元/个，笔袋的进价是y元/个，根据等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案；（2）设该文具店购进a个修正带，b个笔袋，由等量关系列二元一次方程，结合a、【详解】（1）解：设修正带的进价是x元/个，笔袋的进价是y元/个，根据题意得3x解得x=8答：修正带的进价是8元/个，笔袋的进价是10元/个；（2）解：设该文具店购进a个修正带，b个笔袋，由题意得8a整理得4a则b=∵a∴a=5b=16或a=10∴该文具店共有4种进货方案．题型01和差倍分问题方法技巧：抓住“和、差、倍、分”关键词（如“比…多”“是…的几倍”），直接建立未知量与已知量的数量关系，列出方程组。【典例1】.（25-26八年级上·甘肃白银·期末）某停车场共设小型车位和SUV车位300个，其中小型车位每小时2元，SUV车位每小时3元，若全部满位1小时，总收费700元，则停车场共设小型车位和SUV车位各多少个？【答案】小型车位200个，SUV车位100个【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出其中的等量关系是解答本题的关键．设小型车位有x个，SUV车位有y个，根据共设小型车位和SUV车位300个、全部满位1小时，总收费700元各列一个方程，组成二元一次方程组求解即可．【详解】解：设小型车位有x个，SUV车位有y个，由题意，得x+解得x=200所以小型车位有200个，SUV车位有100个．【变式1】.（25-26八年级上·广东河源·月考）某班同学计划购买足球和跳绳，已知购买2个足球和3根跳绳共需70元，购买1个足球和2根跳绳共需40元．求足球和跳绳的单价．【答案】足球的单价为20元，跳绳的单价为10元．【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，准确列出方程是解题的关键．设足球的单价为d元，跳绳的单价为t元，则2d【详解】设足球的单价为d元，跳绳的单价为t元．根据题意，得方程组2d由第二方程得d=40-2代入第一方程，得240-2即80-4t+3t=70，所以将t=10代入d=40-2t因此，足球的单价为20元，跳绳的单价为10元．【变式2】.（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．已知一包A食品含700kJ热量和10g蛋白质，一包B食品含900kJ热量和15g蛋白质，若要从这两种食品中恰好摄入4600kJ热量和70【答案】应选用A种食品4包，B种食品2包【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意列二元一次方程组计算即可．【详解】解：设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得：700x解得x=4答：应选用A种食品4包，B种食品2包．【变式3】.（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲．(1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答）(2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购A，B两种不同材质的编钟配件，A配件每个20元，B配件每个40元，采购这两种配件的预算为100元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？【答案】(1)大号编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹(2)有两种采购方案，方案一：A配件3个，B配件1个；方案二：A配件1个，B配件2个【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键．（1）设大号编钟的频率为x赫兹，小号编钟的频率为y赫兹，根据题意列出方程组即可求解；（2）设A配件要买m个，B配件要买n个，根据题意列出二元一次方程，解方程即可求解；【详解】（1）解：设大号编钟的频率为x赫兹，小号编钟的频率为y赫兹，根据题意得x=解得x=50答：大号编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹；（2）解：设A配件要买m个，B配件要买n个．根据题意得：20m整理得：m+2n=5因为m和n都为正整数，所以符合条件的解为m=3n=1答：有两种采购方案，方案一：A配件3个，B配件1个；方案二：A配件1个，B配件2个．题型02数字问题方法技巧：两位数表示为10a+b（a为十位数字，b为个位数字），三位数表示为100a+10b+c，根据数位关系或数字变换规律列方程。【典例2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数中较小的加数是．【答案】21【分析】本题考查二元一次方程组的应用，掌握在加数后多写一个0等价于该数乘以10的数量关系，从而建立方程组是解题的关键．设两个加数分别为x和y，根据题意列出方程组并求解，比较大小得出较小加数．【详解】解：设原来两个加数分别为x和y．根据题意，得方程组{解方程组，将第一式乘以10，得100x减去第二式，得99x=2079，解得代入第一式，得10×21+y即210+y=242，解得∴方程组的解为x故原来两个加数分别为21和32，较小的加数是21．故答案为：21．【变式1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数．【答案】这个两位数是67【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，表示出两位数．设这个两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y，分别表示出两个两位数，然后根据题意列方程组求解即可．【详解】解：设这个两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y．根据题意，得10解得x故这个两位数是67．【变式2】.（25-26七年级上·重庆·期中）在数的学习过程中，有一类自然数具有的特性和“七”有关．定义：对于四位自然数n，若其千位数字与个位数字之和等于7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数n为“七巧数”．例如：3254是“七巧数”，因为3+4=7,2+5=7，所以3254是“七巧数”；1456不是“七巧数”，因为1+6=7但4+5≠7，所以1456不是“七巧数”．(1)最大的“七巧数”是，最小的“七巧数”是；(2)若将一个“七巧数”n的个位数字和千位数字交换位置，十位数字和百位数字交换位置得到一个新的“七巧数”n'，并记Fn=n+(3)若m是一个“七巧数”，且m的百位数字加上个位数字的和，是千位数字减去十位数字的差的2倍，请求出满足条件的所有“七巧数”m．【答案】(1)7700(2)证明见详解，7777(3)5612【分析】本题考查了二元一次方程的应用、整式加减运算、新定义下的阅读理解，解决问题的关键是找到等量关系．（1）根据“七巧数”的定义直接求解即可得到答案；（2）设n的个位数字为x，十位数字为y，则百位数字为7-y，千位数字7-x，依此可求n和n'（3）设m的千位数字为a，百位数字为b，则十位数字为7-b，个位数字为7-a，根据m的百位数字加上个位数字的和，是千位数字减去十位数字的差的2倍，依此可得【详解】（1）解：设“七巧数”x=1000由定义可知，e+h=7,∴当e=7,f=7时，有最大的“七巧数”，为7700；由于首位不能为0，则当e=1,h=6,f=0,g故答案为：7700，（2）证明：设n的个位数字为x，十位数字为y，则百位数字为7-y，千位数字7-由题意得，n=10007-x∴=1000=7777，无论n取何值，Fn为定值，为7777（3）解：设m的千位数字为a，百位数字为b，则十位数字为7-b，个位数字为7-由题意得，b+即3a则a=∵1≤a≤7，且∴21-b=3或21-b=6或21-b=9或21-b∵0≤b≤7，且∴当21-b=21时，则b=0，a当21-b=18时，则b=3，a当21-b=15时，则b=6，a当21-b=12或21-b=9或21-b=6或综上所述，满足条件的所有“七巧数”m有三个，为：5612，【变式3】.（25-26八年级上·四川成都·月考）小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：时刻12:0013:0014:00碑上的数是一个两位数，数字之和是7是一个两位数，十位与个位数字与12:00时所看到的正好颠倒了比12:00时看到的两位数中间多了个0则12:00时看到的两位数是多少？【答案】12:00时看到的两位数是16【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，正确理解题意并列出方程组是解题的关键．设小明12时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，根据两位数之和为7可列一个方程，再根据匀速行驶，12:00~13:00时行驶的里程数等于13:00~14:00时行驶的里程数列出第二个方程，解方程组即可．【详解】解：设小明12时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，即为10x则13时看到的两位数为x+10y，12:00~13:00时行驶的里程数为：则14:00时看到的数为100x+y，13:00~14:00由题意列方程组得：x+解得：x=112:00时看到的两位数是16．题型03年龄问题方法技巧：年龄差始终不变，设现在年龄为未知数，根据“过去/未来年龄关系”表示出对应年龄，利用年龄差或题目条件列方程。【典例3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．【答案】小明现在8岁，小亮现在12岁【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键．设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答．【详解】解：设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁，根据题意，得x解得x答：小明现在8岁，小亮现在12岁．【变式1】.（2025七年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是77岁，88岁，99岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的13时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的12时又为奶奶贺米寿【答案】小花33岁时将为奶奶贺白寿【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为x岁，妈妈的年龄为y岁，奶奶的年龄为77岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组．【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为x岁，妈妈的年龄为y岁，根据题意，列出表格如下：奶奶的年龄/岁小花的年龄/岁妈妈的年龄/岁相等关系77xyx88xyx根据表格得到方程组x=解得x=11当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为11+99-77故小花33岁时将为奶奶贺白寿．【变式2】.（25-26七年级上·福建福州·期中）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为ab，则ab=10a+(1)把ab这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除；(2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值．【答案】(1)见解析(2)11、22、33、44、55【分析】本题考查了整式加减混合运算的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题关键．（1）由题意可知，ab=10a+b，（2）设小明的年龄为xy=10x+y，则他父亲的年龄为yx=10y+【详解】（1）证明：由题意可知，ab=10a+则ba+所以所得数与原数的和一定能被11整除；（2）解：设小明的年龄为xy=10x+∵当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒，∴再次出现颠倒时14+m=10x∴10∴9y解得：y-当y=4时，x=1，此时当y=5时，x=2，此时当y=6时，x=3，此时当y=7时，x=4，此时当y=8时，x=5，此时当y=9时，x=6，此时综上可知，正整数m的值为11、22、33、44、55．【变式3】.（24-25七年级下·湖南张家界·期末）小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走40m，平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，则他从家里到学校需15min，从学校到家里需10【答案】小华家离学校700m【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小华家到学校的上坡路长xm，平路长ym，根据时间=路程÷速度结合小华从家里到学校需15min【详解】解：设小华家到学校的上坡路长xm，平路长y根据等量关系，得：x40解得x=400于是，上坡路与平路的长度之和为x+答：小华家离学校700m．题型04行程问题方法技巧：核心公式路程=路程和=总距离；同向追及：路程差=初始距离（环形跑道需乘圈数）；顺逆（风/水）：顺速=静速+辅助速度，逆速=静速-辅助速度；火车过桥：总路程=车长+桥长；分段/往返：总路程=各段路程和，总时间=各段时间和。【典例4】.（25-26八年级上·山东青岛·周测）一列匀速行驶的火车通过一座160米的铁路桥用了30秒，而它以同样的速度穿过一段200米长的隧道用了35秒，求这列火车的速度和长度？【答案】火车的速度为8米/秒，长度为80米【分析】此题考查二元一次方程组的应用，关键是根据题意列出方程组解答．设这列火车的速度和长度分别为x米/秒和y米，根据题意列出方程组解答即可．【详解】解：设这列火车的速度和长度分别为x米/秒和y米，可得：160+y解得：x=8答：火车的速度为8米/秒，长度为80米．【变式1】.（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）从甲地到乙地的路程为9千米，其中一段为平路，另一段为山路．小刚骑自行车从甲地出发，以8km/h的速度通过平路，再以4【答案】平路的长为6km，山路的长为【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设平路的长为xkm，山路的长为y【详解】解：设平路的长为xkm，山路的长为y由题意，得x+解得x=6答：平路的长为6km，山路的长为3【变式2】.（24-25七年级下·甘肃武威·月考）甲、乙两码头相距60千米，某船往返两地，顺流时用3小时，逆流时用4小时，求船在静水中的航速及水流速度．【答案】船在静水中的速度是17.5千米/时，水流速度为2.5千米/时【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设船在静水中的航速为每小时x千米，水流速度为每小时y千米，根据路程等于速度乘以时间，列出方程组进行求解即可．【详解】解：设船在静水中的航速为每小时x千米，水流速度为每小时y千米，由题意，得：3x+y答：船在静水中的航速是17.5千米/时，水流速度为2.5千米/时．【变式3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）新情境

高铁是当代重要的交通工具．如图，某列复兴号动车组由2节车头和若干节车厢组成，车头的长度相等，每节车厢长度也相等．李华在观测点进行测量记录，该动车组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通过观测点需9秒，求该动车组每节车头及每节车厢的长度分别为多少米？【答案】该动车组每节车头的长度为27.5米，每节车厢的长度为25米【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每节车头的长度为x米，每节车厢的长度为y米，利用该动车组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通过观测点需9秒，再进一步建立方程组解题即可.【详解】解：设每节车头的长度为x米，每节车厢的长度为y米，根据题意，得2x解得x=27.5答：该动车组每节车头的长度为27.5米，每节车厢的长度为25米．题型05工程问题方法技巧：设工作效率为未知数，总工作量设为1（或具体数值），合作效率=各单独效率之和，根据“工作量=效率×时间”列方程。【典例5】.（2026七年级下·全国·专题练习）某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？【答案】甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据“两项工程的工作天数”，“对应总报酬”，梳理出两个等量关系是解题关键．设甲组每天得报酬x元，乙组每天得报酬y元，根据“两项工程的工作天数”和“对应总报酬”，设未知数并列二元一次方程组求解．【详解】解：设甲组每天得报酬x元，乙组每天得报酬y元．根据题意，得10x解得x=800答：甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元．【变式1】.（25-26七年级上·湖南岳阳·月考）汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划x天完成，这批废铜共有y吨．(1)根据题意列出方程组；(2)求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数．【答案】(1)150(2)原计划42天完成，废铜总数为5400吨【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找到等量关系、列出方程组是解题的关键．（1）根据等量关系“每天处理150吨，可提前6天完成”和“每天处理120吨，将延误3天完成”列出方程组即可；（2）直接利用加减消元法求解即可．【详解】（1）解：设原计划x天完成，这批废铜共有y吨，由每天处理150吨，可提前6天完成，则150x-6=y；每天处理120所以150x（2）解：150x①-②可得：150x将x=42代入①可得：y答：原计划42天完成，废铜总数为5400吨．【变式2】.（25-26八年级上·四川成都·月考）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问：(1)甲、乙两队每天费用各为多少？(2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？【答案】(1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元(2)乙队【分析】本题考查了二元一次方程的应用．（1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可；（2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可．【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得：8a解得a=300答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元；（2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得：8x解得x=即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成．甲单独做需要12×300=3600元，乙单独做需要24×140=3360元．答：乙队单独完成费用较少．【变式3】.（2026七年级下·全国·专题练习）某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服150套，在规定的期限内只能完成订货量的45．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服200套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了25【答案】订货量是3375套，要求完成的期限是18天【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用（工程任务类），解题关键是根据“原进度的工作量”和“改进后进度的工作量”两个等量关系，设未知数并列方程组求解．设订货量为x套，期限为y天，根据原生产情况可得方程150y=4【详解】解：设订货量为x套，期限为y天．由题意得150y解得x=3375经检验，方程组的解符合题意，答：订货量是3375套，要求完成的期限是18天．题型06古代数学问题方法技巧：翻译古文题意，将“牛五羊二值金十两”等表述转化为现代数学语言，提炼等量关系，设未知数列方程组。【典例6】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）列二元一次方程组解应用题：《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木绳各几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子比木条长7尺；将绳子对折再量木条，（对折后的绳子）比木条短1尺，问木条和绳子各长多少尺？”【答案】绳子长16尺，木条长9尺【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．用一根绳子去量一根木条，绳子剩余7尺可知：绳子比木条长7尺，得：y-x=7，绳子对折后比木条短1【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，根据题意得：y-解得：x=9答：绳子长16尺，木条长9尺．【变式1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为18cm；供水6小时，箭尺读数为42cm．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为【答案】当箭尺读数为84cm时的时间是21:00【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是通过设定初始读数和上升速度两个未知数，建立二元一次方程组，求解得到函数关系，再利用该关系解决时间计算问题。设箭尺每小时上升xcm，开始高度为ycm，根据供水2小时和供水【详解】解：设箭尺每小时上升xcm，开始高度为y根据题意，得2x②-①得：4x=24解得：将x=6代入①得：y故方程组的解为x设当箭尺读数为84cm时，时间为t则6+6t-8故当箭尺读数为84cm时的时间是21:00【变式2】.（24-25七年级下·辽宁大连·月考）华夏文明源远流长，在算术方面有很多成就，其中《算法统宗》是中国古代数学名著之一，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？”其大意是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成四等份，井外余绳3尺（1尺≈33.33厘米）；如果将绳子折成五等份，井外余绳2尺，问绳长、井深各是多少尺？”【答案】绳长20尺，井深2尺【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．题中的等量关系有：①将绳子折成四等份，井外余绳3尺；②将绳子折成五等份，井外余绳2尺，据此列方程组并解方程组即可得解．【详解】解：设绳长x尺，井深y尺，根据题意得：14x=答：绳长20尺，井深2尺．【变式3】.（25-26八年级上·福建三明·月考）今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问：雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》）题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？【答案】1只雀重219斤，1只燕重3【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意设1只雀重x斤，1只燕重y斤，由此列出二元一次方程组，并求解这个方程组即可．【详解】解：设1只雀重x斤，1只燕重y斤，根据题意得：5x+6y即1只雀重219斤，1只燕重3题型07销售利润问题方法技巧：利润=售价-进价，总利润=（售价-进价）×销量，利润率=（利润÷进价）×100%，根据成本、售价、利润的关系列方程。【典例7】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）为推进校园智慧体育建设，某校计划采购AI体育测训一体机（A型机）和智能划船机（B型机），相关数据如下：采购2台A型机和4台B型机，总费用为6万元；采购3台A型机和1台B型机，总费用为6.5万元．(1)求每台A型机和每台B型机的价格分别是多少万元？(2)学校计划用7万元采购A型机和B型机（两种设备均需采购），若采购资金全部用完，学校共有多少种符合条件的采购方案？并列出所有方案．【答案】(1)每台A型机的价格为2万元，每台B型机的价格为0.5万元(2)共有3种采购方案：方案1为采购1台A型机和10台B型机；方案2为采购2台A型机和6台B型机；方案3为采购3台A型机和2台B型机【分析】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．（1）设每台A型机x万元，每台B型机的价格y万元，根据采购2台A型机和4台B型机，总费用为6万元；采购3台A型机和1台B型机，总费用为6.5万元，列出方程组，解方程组即可；（2）设采购A型机m台，采购B型机n台，根据A型机和B型机总费用为7万元，列出二元一次方程，求出二元一次方程的正整数解，即可得出答案．【详解】（1）解：设每台A型机x万元，每台B型机的价格y万元，根据题意得：2x解得：x=2答：每台A型机的价格为2万元，每台B型机的价格为0.5万元；（2）解：设采购A型机m台，采购B型机n台，根据题意得：2m∵m、n为正整数，∴m=1n=10，m答：共有3种采购方案：方案1为采购1台A型机和10台B型机；方案2为采购2台A型机和6台B型机；方案3为采购3台A型机和2台B型机．【变式1】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进3辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多24万元；购进1辆A种型号和1辆B种型号的新能源汽车共56万元．(1)求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价；(2)该品牌新能源汽车店计划用560万元购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），该品牌新能源汽车店有几种购进方案？请写出所有可行的方案．【答案】(1)A种型号的新能源汽车每辆的进价为20万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为36万元(2)共有3种购进方案：方案1为购进A种型号19辆和B种型号5辆；方案2为购进A种型号10辆和B种型号10辆；方案3为购进A种型号1辆和B种型号15辆【分析】本题考查二元一次方程组的应用，方案问题（二元一次方程的整数解）．（1）设A种型号的新能源汽车每辆的进价为x万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为y万元，根据题意列方程组，求解即可；（2）设购进A种型号的新能源汽车m辆，购进B种型号的新能源汽车n辆，根据题意列方程，求正整数解，即可得可行方案．【详解】（1）解：设A种型号的新能源汽车每辆的进价为x万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为y万元．根据题意，得3x解得x=20答：A种型号新能源汽车每辆的进价是20万元，B种型号新能源汽车每辆的进价为36万元；（2）解：设购进A种型号的新能源汽车m辆，购进B种型号的新能源汽车n辆．根据题意，得20m得m=28-∴m=19n=5或∴共有3种购进方案：方案1购进A种型号19辆和B种型号5辆；方案2购进A种型号10辆和B种型号10辆；方案3购进A种型号1辆和B种型号15辆．【变式2】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）2025年11月第十五届全国运动会在大湾区举行，大会吉祥物“A种纪念品”和“B种纪念品”受到追捧，某纪念品商店用6000元购进两种纪念品，按标价售出后可获得毛利润3800元，这两种纪念品的进价、标价如表所示：A种纪念品B种纪念品进价（元/件）60100标价（元/件）100160(1)“A种纪念品”和“B种纪念品”各购进的件数；(2)如果“A种纪念品”按标价的8折出售，“B种纪念品”按标价的7折出售，那么这批纪念品全部售完后，该纪念品商店能获利多少元？【答案】(1)“A种纪念品”购进50件，“B种纪念品”购进30件(2)1360元【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用.（1）设“A种纪念品”和“B种纪念品”各购进的件数为x件、y件，根据题意列方程组求解即可；（2）根据题意的等量关系求解即可．【详解】（1）解：设“A种纪念品”和“B种纪念品”各购进的件数为x件、y件，由题意得，60x解得x=50答：“A种纪念品”和“B种纪念品”各购进的件数为50件、30件．（2）解：由题意得，100×0.8-60×50+答：该纪念品商店能获利1360元．【变式3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍．现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂．第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（km·t），铁路运费为1元/（km·t）．(1)该食品厂到A地、B地的距离分别是多少千米？(2)该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？(3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨的售价（利润＝总售价－总成本－总运费）．【答案】(1)该食品厂到A地的距离是50km，到B地的距离是100km．(2)该食品厂买进原料220t，卖出食品200t．(3)卖出的食品每吨的售价是10000元．【分析】（1）设该食品厂到A地的距离是xkm，到B地的距离是ykm，根据食品厂到B地的距离是到A地的2倍且A，B两地间的距离为150公里，即可得出关于x，（2）设该食品厂买进原料mt，卖出食品nt，根据两次运输（第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元、铁路运费（3）设卖出的食品每吨售价为a元，由题意：该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，列出一元一次方程，解方程即可．【详解】（1）解：设该食品厂到A地的距离是xkm，到B地的距离是y根据题意，得2解得x故该食品厂到A地的距离是50km，到B地的距离是100（2）解：设该食品厂买进原料mt，卖出食品n由题意，得1.5×20解得m故该食品厂买进原料220t，卖出食品200（3）解：设卖出的食品每吨售价为a元．由题意，得200a解得a=10000故卖出的食品每吨的售价是10000元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．题型08配套问题方法技巧：先明确配套比例（如1个盒身配2个盒底），设生产各部件的数量或人数为未知数，根据“配套比例=部件数量比”列方程。【典例8】.（24-25七年级下·全国·课后作业）用铁皮做水桶，每张铁皮能做1个桶身或8个桶底，而1个桶身，1个桶底正好配套成1个水桶．现在有63张这样的铁皮，则需要用张铁皮做桶身，张铁皮做桶底，才能正好配套．【答案】567【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设用x张铁皮做桶身，用y张铁皮做桶底，由题意列方程组求解即可得到答案，读懂题意，准确列出二元一次方程组是解决问题的关键．【详解】解：设用x张铁皮做桶身，用y张铁皮做桶底，则x+解得x=56即用56张铁皮做桶身，用7张铁皮做桶底，故答案为：56；7．【变式1】.（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套．(1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架；(2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？【答案】(1)生产镜架10人，生产镜片12人(2)6人【分析】题目主要考查一元一次方程和二元一次方程的应用，理解题意列出方程和方程组是解题关键．（1）设分配x名工人生产镜片，(22-x（2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片，根据题意列出方程组求解即可．【详解】（1）解：设分配x名工人生产镜片，(22-x根据题意得：20x解得：x=12∴22-x∴生产镜架10人，生产镜片12人；（2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片，根据题意得：2×12×10-解得：y=5∴分出6人生产B镜片．【变式2】.（25-26七年级上·全国·期末）一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套．(1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？(2)现在工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？【答案】(1)工厂每天应安排24名工人生产A型零件，工厂每天能生产36套产品(2)至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）工厂每天安排a名工人生产A型零件，则工厂每天安排(60-a)名工人生产B型零件，根据“每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成（2）设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排(60-n)名熟练工人生产B型零件，根据题意，可得关于m、【详解】（1）解：设工厂每天安排a名工人生产A型零件，则工厂每天安排(60-a)名工人生产由题意得：6a解得a=246a所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品．（2）解：设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排(60-n)名熟练工人生产由题意得20(6n解得m=60所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务．【变式3】.（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件．(1)求某班同学一共带去了多少件礼品？(2)该车间的工人每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？(3)在（2）的条件下，车间将当天生产的零件配套后出售，有几个销售商想合伙购买全部的成套零件后平分，在决定购买时有5个销售商退出，剩下的每个销售商都需要多分担480元，在交款时，又有4个销售商临时退出，剩下的每个销售商还需要再多分担600元，如果销售商每套零件想获得10元的利润，那么每套零件的售价是多少？【答案】(1)49（件）(2)生产螺钉10人，则生产螺母为12人(3)零件的售价是14元【分析】此题主要考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握盈亏问题，配套问题，商业分配问题数量关系列方程，是解题的关键．（1）设工作岗位有y名工人，根据如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件，列方程解答；（2）设生产螺钉a人，则生产螺母为22-a人，根据每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2（3）设开始共有x个销售商想合伙购买，利用5个销售商退出，剩下的每个销售商都需要多分担480元，又4个销售商退出，剩下的每个销售商还需要再多分担600元，列出方程，解方程，再利用售价=成本价+利润求得结论．【详解】（1）解：设工作岗位有y名工人，根据题意得，2y解得y=222×22+5=49（件）∴一共带去了49件礼品；（2）解：设生产螺钉a人，则生产螺母为22-a2×1200×解得，a=1022-a答：应安排生产螺钉工人10名，生产螺母的工人12名；（3）解：设x个销售商480解得，x1200×10÷25×25-5答：零件的售价是14元．题型09几何图形问题方法技巧：利用长方形周长/面积、正方形边长、立体图形体积等公式，结合题意中的长度关系（如拼接、折叠）建立等量关系。【典例9】.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在长方形ABCD中放入5个形状大小相同的小长方形（不重叠），其中AB=10,【答案】小长方形的长为8，宽为2【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，读懂题意，由等量关系列出方程是解决问题的关键．设小长方形的长为x，宽为y，由图形中长宽建立方程组求解即可得到答案．【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，由题意可得x+3解得x=8答：小长方形的长为8，宽为2．【变式1】.（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）小明在拼图时发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为1cm(1)每个小长方形的长和宽分别是多少？(2)图（2）正方形的边长是多少？【答案】(1)5cm，(2)11【分析】（1）设每个长方形的长为xcm，宽为y（2）根据（2）解答即可求解；本题考查了二元一次方程组的应用，代数式求值，正确识图是解题的关键．【详解】（1）解：设每个长方形的长为xcm，宽为y由题意得，3x解得x=5答：每个小长方形的长为5cm，宽为3（2）解：∵x+2∴图（2）正方形的边长为11cm【变式2】.（25-26八年级上·河南郑州·月考）项目主题制作仿古灯笼素材1灯笼、又统称为灯彩，是中国的一种传统工艺品，如图①是一款仿古灯笼．素材2用如图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，可制成如图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼．素材3用现有的纸板裁成如图②的长方形和正方形作为侧面与底面已知一张纸板的裁剪方式有两种（均有余料）、方式一：裁成3个长方形与一个正方形：方式二：裁成2个长方形与2个正方形、现将m张硬纸板用方式一裁剪、n张硬纸板用方式二裁剪任务一设做成的竖式灯笼x个，横式灯笼y个，根据题意完成表格；竖式灯笼x个横式灯笼y个长方形宣纸的数量（张）4①__________正方形宣纸的数量（张）②___________2任务二若使用长方形宣纸4b-2a张，正方形宣纸3a任务三若两种灯笼共做了11个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的83【答案】任务一：填写表格见解析；任务二：两种灯笼一共a-b5个；任务三：竖式灯笼做了7【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确找出等量关系．任务一：根据长方体的六个面的特点求解即可；任务二：根据制作的两种灯笼恰好用了长方形宣纸4b-2a张，正方形宣纸3a任务三：根据两种灯笼共做了11个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的83，可列出关于x，y【详解】解：任务一：填写表格如下：竖式灯笼x个横式灯笼y个长方形宣纸的数量（张）43正方形宣纸的数量（张）x2故答案为：3y，x任务二：根据题意得4x解得x+y答：两种灯笼一共a-b任务三：根据题意可列方程组4x解得x=7答：竖式灯笼做了7个，横式灯笼做了4个．【变式3】.（25-26七年级上·吉林长春·期中）综合与实践：如何利用闲置纸板箱制作储物盒根据以下素材，探索完成任务：如何利用闲置纸板箱制作储物盒素材1如图1是小琴家想要设置的储物盒样式，放置它的区域可以近似看成一个长方体，区域底面尺寸如图2所示．素材2如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为acm小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒（如图5）．将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒（如图6）．目标1熟悉材料（1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全填满储物区域底面，则长方形纸板的宽a为_______cm．目标2利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究．初步应用（2）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，求当储物盒的底面周长为132cm储物收纳（3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面周长80cm【答案】（1）40（2）当储物盒的底面周长为132cm时储物盒的高为6cm（【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程．（1）根据图2中储物盒放置区域底面长为40cm即可求出长方形纸板①四角截去的小正方形的边长，由此再根据几何关系即可求出a（2）设角上裁去的四个小正方形边长为xcm，用x表示储物盒的底面长和宽，根据底面周长列出方程，解方程求出x（3）设角上截去的四个小长方形的宽为xcm，长为ycm，表示出折叠后的储物和长宽高，根据几何关系列出方程组，求解方程组得到x和【详解】解：（1）图2中储物区域底面长为40cm则①中的四角裁去小正方形的边长为50-40÷2=5则a=储物盒的宽+小正方形的边长×2=30+5×2=40故答案为：40；（2）已知a=40，储物盒底面周长为132cm，设角上裁去的4个小正方形边长为xcm则50-2x解得x=6∴储物盒的高为6cm（3）设角上截去的四个小长方形的宽为xcm，长为y则2y解得x=∴40-2x=20∴制作的储物盒的高为503cm，底面长为1003∵玩具机械狗长21cm，宽15cm，高18cm，1003>21∴玩具机械狗不能完全放入该储物盒．题型10图表信息问题方法技巧：从表格、图形中提取数据（如单价、数量、路程），找出隐藏的等量关系（如总费用=各部分费用之和），列出方程组。【典例10】.（25-26八年级上·浙江温州·期中）新BA城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，下表是10月11日，温州队所在的A组比赛积分表的部分信息：A组积分排名队伍胜负积分2温州队7胜0负Δ4金华队6胜2负14分5余姚队5胜3负13分6台州队4胜4负12分(1)求温州队的积分．(2)温州队所在的A组共有11支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛结束后，积分达到37分，会获得小组冠军，问温州队要获得A组第一至少还要胜几场？【答案】(1)温州队的积分为14分(2)温州队要获得小组第一，至少还要胜10场【分析】本题考查了二元一次方程的应用和一元一次不等式应用，根据表格中的数据求出胜负平的得分，读懂题意正确列出方程和不等式是解题关键．（1）设胜1场加x分，负1场加y分，根据题意列方程即可解答；（2）设胜a场，负20-a【详解】（1）解：设胜1场加x分，负1场加y分由题，得6解得，x所以7x答：温州队的积分为14分．（2）解：由题，得温州队一共要进行2×10=20场比赛设胜a场，负20-a由题，得2解得，a17-7=10，答：温州队要获得小组第一，至少还要胜10场．【变式1】.（25-26七年级上·四川绵阳·期末）某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表：捐款（元）5101520人数67表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程．【答案】捐款10元的有15人，捐款15元的有12人；过程见解析【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设捐款10元的为x人，捐款15元的为y人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．【详解】解：设捐款10元的为x人，捐款15元的为y人，根据题意得：x+解得：x=15答：捐款10元的有15人，捐款15元的有12人．【变式2】.（25-26七年级上·江苏淮安·月考）为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况．参加者答对题数答错题数得分李华200100张飞14664(1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？(2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？(3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由．【答案】(1)答对一道题得5分，答错一道题扣1分(2)刘羽同学答对了16道题，答错了4道题(3)不可能，理由见解析【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，准确理解题意建立方程组或方程是解题的关键．（1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，建立方程组20x（2）设刘羽同学答对了a道题，答错了20-a道题，根据题意建立方程5（3）假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了20-b道题，根据题意建立方程5b-20-b【详解】（1）解：设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，由题意得20x由①得x=5将③代入②得14×5-6y解得y=1∴原方程组的解为x=5答：答对一道题得5分，答错一道题扣1分．（2）解：设刘羽同学答对了a道题，答错了20-a由题意得5a化简得6a解得a=16∴20-答：刘羽同学答对了16道题，答错了4道题．（3）解：假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了20-b由题意得5b化简得6b解得b=∵b应为整数，∴b=∴假设不成立，即晓飞同学不可能得79分．【变式3】.（2026七年级下·全国·专题练习）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现小票有几个数据不清楚，如下表所示：单位数量单价金额篮球个6100.00600.00元钢笔支15.00元笔记本本5.00元合计—46—900.00元请根据现有的信息，帮助采购员复原并求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．【答案】购置钢笔10支，金额150元；购置笔记本30本，金额150元．【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设购买钢笔x支，笔记本y本，根据+钢笔的数量+笔记本的数量=46-篮球的数量，购买钢笔的金额+购买笔记本的金额=900-购买篮球的金额，列出方程组，进行求解即可．【详解】解：设购买钢笔x支，笔记本y本．依题意得x解得x当x=10当y=30时，30×5=150答：购置钢笔10支，金额150元；购置笔记本30本，金额150元．题型11方案决策问题方法技巧：根据题意列出含未知数的等式，求出所有正整数解，结合限制条件（如经费上限、数量要求）筛选可行方案，对比得出最优解。【典例11】.（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）某文体书店销售A，B两种跳绳，购买2条A种跳绳和3条B种跳绳共计35元，购买6条A种跳绳和4条B种跳绳共计80元．(1)求A种跳绳和B种跳绳每条的价钱．(2)现该文体书店对A，B两种跳绳开展促销活动，活动方案如表（两种促销方案不能同时使用）：方案内容促销方案一买一条A种跳绳，赠送一条B种跳绳促销方案二买A种或B种跳绳都打八折某校为了准备跳绳比赛，计划购买A，B两种跳绳，且B种跳绳比A种跳绳多买20条．请根据购买A种跳绳的条数x的不同范围，说明该校选择哪种促销方案合适．【答案】(1)A种跳绳每条10元，B种跳绳每条5元(2)促销方案见解析【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出方程组和不等式来求解．（1）设A种跳绳每条x元，B种跳绳每条y元，根据已知条件列出方程组求出两种跳绳的单价；（2）分别计算两种促销方案的花费，通过比较花费来确定合适的方案．【详解】（1）解：设A种跳绳每条x元，B种跳绳每条y元，根据题意得：2x解得：x=10∴A种跳绳每条10元，B种跳绳每条5元．（2）解：促销方案一的花费：10x促销方案二的花费：10×80%当10x+100>12x当10x+100=12x当10x+100<12x所以当x=10当x<10当x>10【变式1】.（25-26八年级上·广东梅州·月考）综合与实践某学校组织爱心义卖，八（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案：方案一购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠方案二购买玩偶满50个时，立减10元(1)若班委购买了钥匙扣和玩偶各30个，一共花费多少元？(2)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？(3)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案．【答案】(1)一共花费180元(2)班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个(3)方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个；方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个；方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个【分析】本题考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键．（1）利用总价=单价×数量，结合题意即可求出结论；（2）设购买钥匙扣x个，玩偶y个，利用总价=单价×数量，结合“班委计划购买钥匙扣和玩偶一共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（3）设购买钥匙扣a(a>30)个，玩偶b(b≥50)个，利用总价=单价×数量，可列出关于a，b的二元一次方程，结合“a，b【详解】（1）解：4×30+2×30=180（元）．答：一共花费180元．（2）解：设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个．根据题意得x+解得x=50答：班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个．（3）解：设购买钥匙扣a(a>30)根据题意得4×30+3.2(a∴b∵a，b均为正整数，且a>30，∴a=35b=70或∴共有以下3种购买方案：方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个．方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个．方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个．【变式2】.（25-26七年级上·贵州毕节·期末）毕节市织金洞被誉为“溶洞之王”，为了吸引大量游客前来参观．国庆节期间织金洞推出了两种购票方案：方案一：成人票每张120元，儿童票每张50元；方案二：团体票（10人及以上）每张80元．(1)小明一家7口人去织金洞旅游共花费630元，请求出小明一家有几个成年人和几个儿童？(2)织金洞内太壮观了，小明回来后介绍了朋友小军家去旅游，小军家成年人有4人，儿童有6人，请你帮小军一家计算选择哪种方案旅游最划算；(3)现有外省朋友7个成人，4个儿童来织金洞旅游，请你帮助外省朋友设计一种最省钱的购票方案？并说明理由．【答案】(1)小明一家有成年人4个，儿童3个(2)选择方案一最划算(3)最省钱的购票方案是购买10张团体票和1张儿童票，总费用850元【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用．（1）设成年人数为a，儿童数为c，根据总人数和总花费列方程组求解．（2）分别计算方案一和方案二的总费用，比较后选择费用低的方案．（3）比较全部个人票、全部团体票以及混合方案（10张团体票和1张儿童票）的总费用，混合方案最省钱．【详解】（1）解：设成年人数为a，儿童数为c，根据题意得，a解得：a答：小明一家有成年人4个，儿童3个（2）解：方案一费用：120×4+50×6=480+300=780（元）方案二费用：80×10=800（元）780<800∴选择方案一最划算（3）解：全部个人票费用：120×7+50×4=840+200=1040（元）全部团体票费用：80×11=880（元）购买10张团体票（800元）和1张儿童票（50元），总费用800+50=850（元）850<880<1040∴最省钱的购票方案是购买10张团体票和1张儿童票，总费用850元【变式3】.（25-26八年级上·浙江金华·开学考试）根据以下素材，探索完成任务．有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面．(1)求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子．(2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子．①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用．②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做小灯笼42个．已知一张A、B卡纸可分别做小灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼，采购费用低于65元）．由A卡纸制作由B卡纸制作小旗子（面）小灯笼（个）小旗子（面）小灯笼（个）方案评价表方案等级采购费用制作中卡纸使用情况评分优秀低于65元两种卡纸均无余料剩余3分良好低于65元仅一种卡纸有余料剩余2分合格低于65元两种卡纸均有余料剩余1分【答案】(1)A卡纸每张可做5面小旗子，B卡纸每张可做3面小旗子(2)①需要A卡纸3张，B卡纸15张或A卡纸6张，B卡纸10张；最低采购费用为36元；②填表见解析【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解本题的关键．（1）设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子，根据1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面，再建立方程组解题即可；（2）①设购买A卡纸x张，B卡纸y张，则赠送了B卡纸x张，可得5x+3x+y=60，整理得y=20-83x，再利用方程的正整数解进一步可得答案；②由买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．可得尽可能多买A卡纸，当购买A卡纸16张，则赠送B卡纸16张，此时费用为16×4=64<65，设A卡纸16张有m张做小旗子，【详解】（1）解：设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子，则有x+解得x=5∴A卡纸每张可做5面小旗子，B卡纸每张可做3面小旗子；（2）设购买A卡纸x张，B卡纸y张，则赠送了B卡纸x张，则5x∴8x∴y=20-∵x，y为正整数，∴x=3y=12∴需要A卡纸3张，B卡纸15张或A卡纸6张，B卡纸10张；∵A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，当x=3y=12当x=6y=4∴最低采购费用为36元；②∵买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．∴尽可能多买A卡纸，当购买A卡纸16张，则赠送B卡纸16张，此时费用为16×4=64<65，设A卡纸16张有m张做小旗子，16-m张做小灯笼，B卡纸16张有n张做小旗子，16-∴5m解得：m=6∴A卡纸16张有6张做小旗子，10张做小灯笼，B卡纸16张有10张做小旗子，6张做小灯笼，制作分配方案如下：由A卡纸制作由B卡纸制作小旗子（面）小灯笼（个）小旗子（面）小灯笼（个）30303012方案评价表方案等级采购费用制作中卡纸使用情况评分优秀低于65元两种卡纸均无余料剩余3分良好低于65元仅一种卡纸有余料剩余2分合格低于65元两种卡纸均有余料剩余1分1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，“方程术”是《九章算术》的重要内容，《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十七两；牛三、羊一，直金十两．问：牛、羊各直金几何？”意思如下：“假设有5头牛、2只羊，值金17两；3头牛、1只羊，值金10两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”【答案】每头牛值金3两，每只羊值金1两【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设每头牛值金x两，每只羊值金y两，建立关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解．【详解】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两．依题意得：5x解得：x=3答：每头牛值金3两，每只羊值金1两．2．（25-26七年级下·全国·课后作业）学校阅览室整理一批图书，如果一个人单独做，要用30h才能完成．现由两组同学共同参与此项工作，第一组整理了1h，第二组整理了1.5h，恰好完成工作．如果每个人的工作效率都相同，且第二组比第一组多5【答案】第一组有9人，第二组有14人【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设第一组有x人，第二组有y人，根据“第一组整理了1h，第二组整理了1.5h，第二组比第一组多5人”列方程组求解即可．【详解】解：设第一组有x人，第二组有y人，∵第一组整理了1h，第二组整理了1.5h，第二组比第一组多5人，∴x+1.5解得：x=9答：第一组有9人，第二组有14人．3．（23-24七年级下·全国·课后作业）今年父亲的年龄是玲玲的5倍，6年后父亲的年龄是玲玲的3倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？【答案】今年玲玲的年龄是6岁，今年父亲的年龄是30岁．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设今年玲玲的年龄是x岁，今年父亲的年龄是y岁，根据题意列出方程y=5【详解】解：设今年玲玲的年龄是x岁，今年父亲的年龄是y岁，根据题意得，y=5xy答：今年玲玲的年龄是6岁，今年父亲的年龄是30岁．4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）某电影院为了创收，分两次购进了哪吒和敖丙手办进行售卖，第一次购入哪吒手办25个，敖丙手办10个共花费650元，第二次以相同的进价购入哪吒手办40个，敖丙手办20个共花费1100元．(1)求每个哪吒和每个敖丙手办进价各多少元？(2)该电影院为了解这两款手办的销售情况，对每天的销售进行记录，周一出售了6个哪吒手办，5个敖丙手办，销售收入记录为305元，经核实记录正确；周二以相同的售价出售了哪吒手办12个，敖丙手办10个，销售收入记录为600元，你认为周二的销售记录正确吗？如果正确，请说明理由，若不正确，请你计算出正确的销售收入．【答案】(1)每个哪吒手办进价20元，每个敖丙手办进价15元(2)周二的销售记录不正确，正确的销售收入为610元【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及代数式求值，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．（1）设每个哪吒手办进价为a元，每个敖丙手办进价为b元，根据第一次购入哪吒手办25个，敖丙手办10个共花费650元，第二次以相同的进价购入哪吒手办40个，敖丙手办20个共花费1100元；列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设每个哪吒手办的售价为x元，每个敖丙手办的售价为y元，根据题意得：6x【详解】（1）解：设每个哪吒手办进价为a元，每个敖丙手办进价为b元，根据题意得：25a解得：a=20答：每个哪吒手办进价为20元，每个敖丙手办进价为15元．（2）解：设每个哪吒手办的售价为x元，每个敖丙手办的售价为y元，根据题意得：6x∴12x∴周二的销售收入记录不正确，正确的销售收入为610元．答：周二的销售收入记录不正确，正确的销售收入为610元．5．（25-26七年级上·河南周口·月考）某班准备购买笔记本作为奖品，现有甲、乙两种笔记本：甲种每本10元，乙种每本8元．(1)若购买甲、乙两种笔记本共20本，花费180元，求甲、乙两种笔记本各买了多少本？(2)若购买乙种笔记本的数量比甲种的2倍少5本，且总花费不超过150元，求最多可以购买甲种笔记本多少本？【答案】(1)甲、乙各买10本(2)最多买7本甲种笔记本【分析】本题考查了二元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据数量关系列方程或不等式．（1）设甲、乙笔记本数量为未知数，根据总数和总花费列方程求解；（2）设甲笔记本数量，根据乙与甲的数量关系表示