数列的重构问题课件-2026届高三数学二轮专题复习

数学二轮复习数列的重构问题公共项问题视角1

【解答】1

【解答】1

两个等差数列的公共项仍是等差数列，其公差是两原数列公差的最小公倍数；对于两个等比数列，若其公比可以表示为同底数的幂(如4＝22和8＝23)，则它们的公共项仍是等比数列，其公比是两原公比(经同底数转换后)的指数的最小公倍数所对应的幂(如2，3的最小公倍数是6，所以新公比为26＝64)；一个等差数列与一个等比数列的公共项，若存在多项，则构成的新数列通常是等比数列．

当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1.当n＝1时，上式也成立，所以an＝3n－1.依题意得b1＋b3＝2(b2＋1)，即b1＋22b1＝2(2b1＋1)，解得b1＝2，所以bn＝2n.【解答】变式1

【解答】变式1

增减项问题视角2由an＋1＝2Sn＋3，得an＝2Sn－1＋3(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)(n≥2)，即an＋1－an＝2an(n≥2)，an＋1＝3an(n≥2)，故等比数列{an}的公比q＝3.当n＝1时，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝3a1，所以a1＝3，所以an＝3n.【解答】2－1

(2025·聊城期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＝2Sn＋3.(1)求数列{an}的通项公式；

【解答】2－1

(2025·聊城期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＝2Sn＋3.(2)在数列{an}的相邻项ak与ak＋1(k∈N*)之间插入k个相同的数(－1)k，使其与原数列构成新数列{bn}，设Tn为数列{bn}的前n项和，求T40.

【解答】2－2

(2025·广州三模)已知公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

【解答】2－2

处理数列的增项或减项问题，关键是定项数、找规律，即弄清增减了多少项以求这些项的规律，再利用分组求和法即可求解．计数问题视角3因为Sn＝n2＋cn＋c，所以n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋cn＋c－(n－1)2－c(n－1)－c＝2n－1＋c.因为{an}为等差数列，故a1＝S1＝1＋2c也符合上式，所以1＋c＝1＋2c，所以c＝0，所以an＝2n－1.【解答】3已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋cn＋c，c∈R.(1)求数列{an}的通项公式；

【解答】3

已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.(1)求证：a1＝b1；

【解答】变式3

已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.(2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数．

【解答】变式3

配套热练PART01

【解析】A1.

已知数列{an}满足an＝n，在an，an＋1之间插入n个1，构成数列{bn}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，则数列{bn}的前100项和为 (

)A．178

B．191

C．206

D．216

【解析】D

3.

已知集合A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝3n－2，n∈N*}，将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列说法不正确的是

(

)A．a2＝3

B．an＋4－an＝6C．a2026＝3033

D．若Sn＞2026，则n≥52【解析】

【答案】C

【解析】4.

已知数列{an}的通项公式为an＝2n-1，保持数列{an}中各项顺序不变，对任意的k∈N*，在数列{an}的相邻项ak与ak＋1之间都插入k个相同的数(－1)kk，组成数列{bn}，记数列{bn}的前n项和为Tn，则T100＝ (

)A．4056

B．4096

C．8152

D．8192

【答案】C

【解析】

【答案】B

【解析】

【答案】ABD

【解析】7.(多选)(2025·郑州一模)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝2log2(1＋an)－1.若在数列{bn}中去掉{an}的项，余下的项组成数列{cn}，则 (

)A．a1＋a2＋a3＋a4＝26

B．b5＝10C．a4＜b15＜a5

D．c1＋c2＋…＋c10＝170

【答案】ACD令2n≤m，则n≤log2m.当m＝1时，b1＝0；当m∈[2k，2k+1－1)时，bm＝k，k∈N*.所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋…＋b7)＋(b8＋b9＋…＋b15)＋(b16＋b17＋…＋b31)＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×4＋3×8＋4×16＋5×32＋6×37＝480.【解析】480

【解析】14496099．(2025·湛江二模)将数列{3n＋2}与{4n}的公共项去掉后，剩余的项按从小到大排序得到数列{an}，则a5＝_____，{an}的前202项和为__________．由an＋1＝Sn＋2(n∈N*)，得an＝Sn－1＋2(n≥2)，则an＋1－an＝an(n≥2)，即an＋1＝2an(n≥2)．又a2＝S1＋2＝a1＋2＝4，满足an＋1＝2an，所以an＋1＝2an(n∈N*)，所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n.【解答】10．(2025·芜湖二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋2(n∈N*)．(1)求{an}的通项公式；

【解答】10．(2025·芜湖二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋2(n∈N*)．(2)保持{an}的各项顺序不变，在ak和ak＋1之间插入k个1，使它们与数列{an}的项组成一个新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为Tn，求T55.

【解答】11．(2025·襄阳模拟)已知数列{an}是等差数列，a1＝1，且a1，a2，a5－1成等比数列．给定k∈N*，记集合{n|k≤an≤2k，n∈N*}的元素个数为bk.(1)求b1，b2的