计算方法习题

计算方法习题

《计算方法》练习题一

练习题第1套参考答案

一、填空题

1.乃=3.14159…的近似值3.1428,准确数位是(叱)o

2.满足/(〃)=「js)=」的插值余项R(Y)=((丫-〃)(一〃))o

3.设｛尸*(训为勒让德多项式，则(6(x)/(x))=(1)o

4.乘塞法是求实方阵(按模最大)特征值与特征向量的

迭代法。

5.欧拉法的绝对稳定实区间是([-2,0])o

二、单选题

L已知近似数a,b,的误差限£(a),£(b),则c(ab)=(C)o

A•式a)c(b)B・式。)+式b)C・同£(。)+降®D・郎(a)

2.设/(x)=/+x,贝!|川,2,3]=(A)O

A.1B.2C.3D.4

3.设人=[；：],则化A为对角阵的平面旋转人(C).

A•工B•工C.£D.工

2346

4.若双点弦法收敛，则双点弦法具有(B)敛速.

A.线性B.超线性C.平方D.三次

5.改进欧拉法的局部截断误差阶是(C

).

A.o(h}B.o(h2)C.o(/?3)D.o(h4)

三、计算题

X.+X,=3

1.求矛盾方程组：卜+2；/4的最小二乘解。

、将一々=2

222

夕（再,修）=（再+x2-3）+（X|+2X2-4）+（X）-x2-2）9

由g=O,强=0得：产+2»9,

ox,dx2[2xl+6X2=9

解得Q齐2=Q

2.用〃=4的复化梯形公式计算积分总小并估计误差。

-ll+-4--+-+-]»0.697

85672

M]1

|/?（x）|<

12x1696

2%1+5X2+35=6

3.用列主元消元法解方程组:«2xt+4X2+3X3=5o

4芭+6X2+2X3=4

2536]14624][4624

2435->123f224

462422411

回代得：x=(—1,1,1)，

4.用雅可比迭代法解方程组:(求出”)。

4-1

-14

0-1

因为A为严格对角占优阵，所以雅可比法收敛。

(,nl)1叶⑼+石⑼),加=0,1,•••O

雅可比迭代公式为：Jx+=(3+

甘用)=((1+X7)

取”=（1,1J）7计算得:

x:,)=(0.5,1.25,0.5)ro

5,用切线法求》j+i=o最小正根(求出百)。

.因为/(0)=1>0,/(0.5)=-0.875<09所以X*€[0,0.5]9在[0,0.5]上，

2

f\x)=3X-4<0，r(x)=6x>0o由f(x0)f\x)>0，选.。，由迭代公式:

芍一4x“+l

=ni

%=%—-a3芍，-4/，〃0』，

计算得：$=025。

四、证明题

1.证明：若广3存在，则线性插值余项为:

R(x)=(x-x0)(x-X)),x0<^<x1o

2.对初值问题：卜v=[0.v,当0v/?«02时，欧拉法绝对稳定。

y（o）=1

1・设冗（幻=々（工）（工一通）（区一须\8（，）=/（，）一右。）一攵。乂，一工））（/一七），有

.%,2为三个零点。应用罗尔定理，g〃⑺至少有一个零点

g"(4)=/⑹-2次(幻=(W)=

4・

2.由欧拉法公式得:

当。＜〃＜（）.2时，则有

帆一歹“|斗0-％|。欧拉法绝对稳定。

练习题第2套参考答案

一、填空题

-xlOS)o

1•e=2.71828…具有3位有效数字的近似值是（

2

2.用辛卜生公式计算积分£4。（丁、，）o

Joi+xJi+x+4

3.设A（I）=（4D）第左列主元为代）,则a=（占=1,）0

4.已知］，则114=（_L（b…/尸〜3）），）o

421.....a33

5.已知迭代法：xn+，=^（A：）,（/2=0,1,--•）收敛，贝!I”⑴满足条件

(/U0)>0)o

二、单选题

1.近似数々=0.47820x1()2的误差限是(C)o

D1

X

A.Lio-B.-xio-4.C.-xio-32-

222

2.矩阵A满足(.D)，则存在三角分解A=LR。

A・delArOB•del4«w0(1Wk<〃)C.detA>()D・detA<0

3.已知—)『，则闻=(B)o

A.9B.5C.-3D.-5

4.已知切线法收敛，则它法具有(.A)敛速.

A.线性B.超线性C.平方D.三

次

5.设吠⑶｝为勒让德多项式，则g(x)，E(x))=(B)o

A.2B.2C・2D.Z

57911

三、计算题

1.已知/G)数表：

x012

丁二-

2

求抛物插值多项式，并求/(O.5)近似值。

利用反插值法得

/(O)=/V2(O)=1X(O+4)-^X(O4-4)(O+2)=1.75

2.已知数表：

X012

y13.24.8

求最小二乘一次式。

由方程组：丁蓝，解得：%』广6,所以解3=3+6]。

[64+14al=102

3.已知求积公式：fJ(X)"XBAJ(-《)+4/(。)+4/(!)。求4小人,使其

JT22

具有尽可能高代数精度，并指出代数精度。

工0.4062

1

I/?(/)1<«0.00132

12x16~768

4o

4.用乘嘉法求.131的按模最大特征值与特征向量。

014

因为

也立o-V2_也

2

222-

-310'包旦400'

%2=4=3,42=1,6=?A=—也旦01300-030

222T

003002

001001

4=4,%=(冬冬0-

r

所以：^=3,X2=(0,l,0)

4=2,X3=(一等，等,01

5.用予估一校正法求初值问题：一二；二在x=0(02)0.4处的解。

y(0)=1

应用欧拉法计算公式：y”]=0.2x.+l.ly“，〃=0」，)，o=lo

计算得y=11,%=L23o

四、证明题

1.设P(A)是实方阵A的谱半径，证明：河4)引小°

1.因为A=(A・B)+B,网引A/+旭

所以MH忸||引A-司，

又因为B=(B・A)+A,愀力—川+MII

所以旭I-M同忸-W=M-邸

||同一||葡引A-M

2.证明：计算右(“。)的单点弦法迭代公式为：%一

因为计算妫等价求金-八。的实根，

将f(x)=^-a,f\x)=5/代入切线法迭代公式得:

x"-a1z.a、八i

为用=%--r^-=T(44+-),n=0,1,...o

《计算方法》练习题二

练习题第3套参考答案

一、填空题

1.近似数4=0.63500x103的误差限是（叱）o

2.设则变形后一五=（p（G）＜1,），计算更准确。

3.用列主元消元法解：中二，经消元后的第二个方程是

2玉+2X2=4

1七川一『工t（〃=1,2,…），7o

4.用高斯一赛德尔迭代法解4阶方程组，则（:

（1.2,）o

5.已知在有根区间［a,b］上,八工）『（工）连续且大于零，则取％满

足（）,则切线法收敛。

二、选择题

1.已知近似数」的耳⑷=10/0,则£,（/）=（C）o

A.10/0B.2o/oC.3o/o

D.40/0

2.设｛4（x）｝为切比雪夫多项式,则w（x）”（x））=（b）o

A.OBJC・£D.乃

42

3.对A=［直接作三角分解,则廿（d）o

36

A.5B.4C.3D.2

4.已知A=D・L・U,则雅可比迭代矩阵B=(c)o

A.£>T(L+U)B.D-'(L-U)C.(D-L/'UD.(D-UY'L

5.设双点弦法收敛，则它具有(a)敛速。

A.线性B.超线性C,平方D.

三次

三、计算题

1.已知/⑴数表

X02

y-4-22

用插值法求/«=()在［0,2］的根。

sin?J向屋0.5828，/?(-)!<^-«0.582xl(r2o

5105|2400

2.已知数表

X0123

y2.89.215.220.8

求最小二乘一次式。

2・叭x,y)=(x+y-4)2+(x-y-3)2+(2x-j-6)2，由竺=0坐=0

oxoy

得!6x-2v**=19解得：，=?，

2x-3y=5

3.用n=4的复化辛卜生公式计算积分J：念，并估计误差。

3.由城■yvgxio解得〃之3,取n=3,

复化梯形公式计算得：/舁、呆+畀畀/。.4067。

J(]2+x62783

3I01

4.用雅可比法求A=130的全部特征值与特征向量。

003

1201120I1201

4.2312fo1070-110

0-124[0

210011

回代得：X=（-1.1.1/

5.用欧拉法求初值问题忙:可在x=0(0.1)0.2处的解。

I)•(())-i

5.因为%3=41=2,%=1,。=?

一夜

一也0叵0_叵

2T12o11T21300

A=o100200I0=020

_V202」也OL00I

0V2U

222

所以

彳2=3,々=（01，0）7

4=3,13=（一孝），

四、证明题

L证明：MHM忖小网。

2.证明：计算痣的切线法迭代公式为：当+1=：（4天+=）,〃=°，L-

5%

L设1年*|，则有宓仲广心:，

〃1=11=1

所以有如„2

2.因为迭代函数是（p（x）=x-af（x\（P'（x）=af*（x）,

当ov”2时则有-l<l-a/'（x）<l,即

|l-a/'（x）H^WI<l，所以迭代法收敛。

练习题第4套参考答案

一、填空题

1.已知误差限£（〃）,£（勿,则£（"）=（\b\£（a）+\a\£（b）9）0

2.用辛卜生公式计算积分J；卢。（卷，）o

3.若人=从，。用改进平方根法解小=〃，贝！K=（旦,）o

4.当系数阵人是（严格对角占优）矩阵时，则雅可比法

与高斯一赛德尔法都收敛。

5.若4=-4，且|4＞同|（年3）,则用乘塞法计算4"（•费j）。

二、单选题

)o

1・V2=1.41424­•.，则近似值义的精确数位是（

A.ioB.io'2C.io-3

420r22=(

2.若0%则有b)o

2441

A.2B.3C.4D.O

4C)o

3.若A=则化A为对角阵的平面旋转角0=(

14

B971

%~6

4.若切线法收敛，则它具有（）敛速。

A.三次B.平方C.超线性D.

线性

5.改进欧拉法的绝对稳定实区间是（d)o

A.[-3,0]B.[-2.78,0]C.[2.51,0]

D.[-2,0]

三、计算题

1.已知函数表:

X12

Y-10

Y，02

求埃尔米特差值多项式”）及其余项。

尸解）

“(X)=(1+2(x-l))(x-2)2X(-1)+*-2)(x-\)2X2=X2-2XOA。）=(X-1)2CV-2)2,(1<^<2)

4!

2.求/⑶”在[.1,1]上的最佳平方逼近一次式。

==

2・设g；(X)=«oPoW+«|P1(x)则，=：£产”=|£^|，

所以&*（幻=]

3.求积公式:£/