湖南省长沙市2026年中考模拟数学试卷附答案

中考模拟数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分、在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项）1．的绝对值是（）A． B．2024 C． D．2．下列方程的变形正确的是（）A．由，得B．由，得C．由，得D．由，得3．如图，已知与，其中与相交，下列结论中错误的是（）A．与是同旁内角 B．与是对顶角C．与是内错角 D．与是同位角4．2024年10月16日是第44个世界粮食日，某校开展了“光盘行动，从我做起”的活动．为了了解学生们在校就餐时的光盘情况，学校从全校4000名学生中随机抽取了200名学生进行调查，其中样本容量是（）A．200名学生 B．4000名学生 C．4000 D．2005．若，则的值为（）A． B．1 C．3 D．56．进位制是人们为了计数方便而人为定义的带进位的计数方法．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．计算机中常用的十六进制是一种逢十六进一的计数制，我们采用数字09和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：十六进制01234567十进制01234567十六进制89ABCDEF十进制89101112131415例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（）A．D2 B．2D C．F5 D．E07．如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（）A． B．3 C．6 D．8．如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（）A．3 B．4 C．5 D．69．已知抛物线经过点，，，且，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．10．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线交轴负半轴于点，且，则直线的函数表达式为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．已知一个角的度数是，则它的余角的度数是.12．已知a、b为两个连续的整数，且，则．13．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，仍可获利20%，则该商品每件的进价为元．14．河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是米．15．如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是．16．若关于的不等式组恰有三个整数解，则实数的取值范围是．三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：．18．已知是方程的两根，求下列两个代数式的值：（1）；（2）．19．图1的烈士纪念塔是湖南省烈士公园核心景区，位于公园南大门和西大门两中轴线交汇点的杜家山上．某数学兴趣小组想测量该塔的高度，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点，在点处测得塔尖的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点，在点处测得塔尖和点的俯角均为，点A，B，G，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，（如图2）．求烈士纪念塔的高度．（参考数据：）20．某校初中数学组举办了24点的计算比赛活动，为了解七年级学生在此次活动的得分情况，随机抽取该校七年级部分学生的此次测试成绩，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩均为不小于60的整数，分为四个等级：，，，），部分信息如下：信息一：（如图）信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89．请根据以上信息，解答下列问题；（1）求所抽取的学生成绩为C等级的人数；（2）求所抽取的学生成绩的中位数；（3）若七年级1班有4个同学成绩是A等级，其中3个男生1个女生，若从中派出两人参加决赛，用列表法或画树状图法求恰好抽到的学生为一个男生和一个女生的概率．21．如图，在中，是边上的高，且．（1）求的大小；（2）若，，求的余弦值．22．近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况．参赛者答对题数答错题数得分A1B4C7DE0（1）填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分；（2）参赛者得分，他答对了几道题？（3）参赛者说他得分，你认为可能吗？请通过计算说明．23．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕，然后再把纸片展平；第二步：如图2，将图1的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好落在上的点处，得到折痕交于点M，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，求证：四边形是正方形．（2）如图2，若，求的面积．24．已知抛物线上有且只有三个点到轴的距离为．（1）求，应满足的关系式；（2）该抛物线上任意两点，，当时，总有．①求抛物线的解析式；②当点，在第一象限时，射线，分别交直线于，两点，若，两点的横坐标之积为8，求证：直线过定点．25．求同存异是一种积极向上的生活态度，是我们在人际交往中追求的理想状态．通过认同和尊重不同个体和群体的相似点和差异，我们可以建立真诚的关系，从而达到共同成长和繁荣的目的．数学中的相等、互补等也体现了“求同存异四边形”的思想，因此我们定义：把有一组邻边相等，并且对角也互补的四边形叫作“求同存异四边形”；例：如图1，四边形中，，，则四边形叫作“求同存异四边形”．（1）①在以下四种图形中，一定是“求同存异四边形”的是______；A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形②“求同存异四边形”中，若，则______；（2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，若垂直平分，且，求证：四边形是“求同存异四边形”；（3）如图3，在中，为直径，A，C分别为上的两个动点，使得四边形为“求同存异四边形”，对角线，交于点，若，，，求关于的函数解析式．并写出自变量的取值范围．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：的绝对值是2024．故答案为：B．【分析】根据负数的绝对值是它的相反数求解即可。2．【答案】B【解析】【解答】解：，移项，得，故A错误；，移项，得，故B正确；，移项，得，故C错误；，移项，得，故D错误．故答案为：B．【分析】根据移项法则，对四个选项逐一分析作出判断即可．3．【答案】C【解析】【解答】解：A，与在被截线BC，EF之间，且在截线AB同侧，是同旁内角，原说法正确，不符合题意；B，与有公共顶点，两边互为反向延长线是对顶角，原说法正确，不符合题意；C，与不满足"两直线之间，截线两旁"的内错角位置关系不是内错角，原说法错误，符合题意；D，与在被截线AB，DE同侧，截线EF同旁是同位角，原说法正确，不符合题意.故选：C．【分析】本题考查同位角，内错角，同旁内角，对顶角的定义，需依据各角的位置特征(如"同旁内角在两线之间且截线同侧""内错角在两线之间且截线两旁""两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角""有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角"等)逐一判断，考查几何直观素养，核心是对三线八角中角的位置关系的理解．4．【答案】D【解析】【解答】从全校4000名学生中随机抽取了200名学生进行调查，根据样本容量的定义，这里的样本容量就是抽取的学生数量200.故选：D.【分析】本题考查统计中总体，个体，样本，样本容量的概念.样本容量是指样本中包含的个体的数目，且没有单位.解题关键在于明确从总体中抽取的用于调查的个体数量就是样本容量，据此对题目进行分析判断.5．【答案】A【解析】【解答】解：依题意，y

因为

所以

根据等式性质，对应一次项系数相等，即故选：A.【分析】本题考查多项式乘多项式的运算及等式的性质.需要先将左边的(x+2)(x-3)按照多项式乘法法则展开，然后与右边的对比对应项的系数，从而求出a的值.6．【答案】A【解析】【解答】解：由于，则，所以用十六进制表示为，故答案为：A．

【分析】先转化为十进制求出E与F的乘积，然后将结果转化成十六进制解题．7．【答案】B【解析】【解答】解：如图，连接，

∵正六边形内接于

又∵

是等边三角形

∵的周长是，圆周长

即正六边形的边长是故选：B.【分析】本题考查圆内接正六边形的性质以及等边三角形的判定与性质.连接、，由正六边形内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得，即可得出结果.关键在于利用正六边形内接于圆时，每条边所对圆心角为，结合圆的半径与正六边形边长的关系(圆内接正六边形的边长等于圆的半径)，通过圆的周长求出半径，进而得到正六边形边长.涉及圆的周长公式，正多边形与圆的位置关系等知识，核心是对正六边形和圆性质的理解运用.8．【答案】C【解析】【解答】解：设，则根据折叠的性质，得

∵

∴

∴

设

在直角三角形中，根据勾股定理，得

解得

故选：C.【分析】本题考查矩形折叠问题，涉及矩形性质，平行线性质，等腰三角形判定及勾股定理.利用折叠性质得角相等，结合矩形对边平行推出等腰三角形，设未知数后在直角三角形中用勾股定理列方程求解，关键是梳理折叠前后角与边的关系，构建直角三角形模型.9．【答案】B【解析】【解答】解：∵抛物线，∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，，抛物线经过点，，，点B离对称轴最近，其次是点C，点A离对称轴最远，，故答案为：B．【分析】根据“当时，抛物线上的点离对称轴越近，则对应的函数值越小，反之越大”，根据这一特点即可作出选择．10．【答案】C【解析】【解答】解：作轴，轴，则：，∵正方形，∴，∴，

在△AEB和△BFC中

∴（AAS），∴，∵，，∴，∴，∴设，

则：，∴，设，则：，∴，∴，∵点、在反比例函数图象上，∴，∴，∴，∴（负值舍去）；当时，，∴，∴，即：，设直线的解析式为直线，则：，解得：，∴；故答案为：C．

【分析】过A作轴，过C作轴，由题意，用角角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，由等角的余角相等可得，于是可得，设，则：，设，则：，根据点在反比例函数上可将A、C两点代入反比例函数的解析式可得关于ma的方程组，解方程组可求出的值，则可得点、的坐标，然后用待定系数法可求解.11．【答案】【解析】【解答】解：由一个角的度数是，则余角的度数为：.故答案：．【分析】此题考查了余角的定义与计算，根据两个角的和为，这两个角互为余角，即可求得答案．12．【答案】5【解析】【解答】解：因为

所以

又a，b为两个连续的整数，

所以，故故填：5.【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法确定的范围，从而找出连续整数a，b，再计算a+b.关键是通过比较平方数确定介于哪两个整数之间.13．【答案】100【解析】【解答】解：商品每件标价为150元按标价打8折后售价为：(元/件)设该商品每件的进价为x元由题意得：解得：答：该商品每件的进价为100元．故答案为：100【分析】根据利润率(售价进价)进价，先利用售价标价折数10求出售价，进而代入利润率公式列出关于进价的方程即得．14．【答案】【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：，∴＝，

∴AC＝BC，

∵堤高BC＝6米，∴AC＝BC＝（米）．故答案为：米．【分析】根据迎水坡AB的坡比列出比例式求解，可求得AC的长．15．【答案】【解析】【解答】解：∵是的平分线，∴垂直平分，∴．过点B作于点Q，交于点P，如图所示．则此时取最小值，最小值为的长，∵∴．故答案为：9.6．

【分析】根据三线合一得到垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，这时取最小值，最小值为的长，利用面积法解答即可．16．【答案】【解析】【解答】解：，解不等式得，解不等式得，关于的不等式组恰有三个整数解故答案为：.

【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，需先分别解两个不等式，确定解集范围再根据恰有三个整数解(0，1，2)推导2a的边界，进而确定a的取值范围，考查运算能力与逻辑推理素养，核心是对不等式组解集和整数解关系的理解.17．【答案】解：．【解析】【分析】先化简二次根式，求出正切，零指数幂，绝对值，负整数指数幂，再计算二次根式的加减．18．【答案】（1）解：∵是方程的两根，∴，∴；（2）解：∵是方程的两根，∴，∴．【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系得到，再由计算求解即可；（2）根据根与系数的关系得到，再把所求式子去括号得到，据此计算求解即可．（1）解：∵是方程的两根，∴，∴；（2）解：∵是方程的两根，∴，∴．19．【答案】解：如图所示，延长交的延长线于点，∵，

∴四边形ABFE是矩形，

，∵在中，，∴，设，

则，∵在中，，∴，∵在中，，，，解得：，，，烈士纪念塔的高度约为．【解析】【分析】先证明四边形ABFE是矩形，再根据矩形的性质得出AB=EF=80m，然后解得到，设，则，解，得到，解，得到，则，解方程即可得到答案．20．【答案】（1）解：∵B等级的12人，占40%，

∴调查的总人数为：，

∴（人），∴所抽取的学生成绩为C等级的人数为7人．（2）解：∵共有30人，

∴中位数为第15，16的成绩，

∵D等级有1人，C等级有7人，B等级有12人，A等级有10人，

∴B等级中80分为第9位，81为第10位，……，第15位的成绩为84，第16位的成绩为86，

∴所抽取的学生成绩的中位数为；（3）解：列表如下：女男男男女（女男）（女男）（女男）男（男女）（男男）（男男）男（男女）（男男）（男男）男（男女）（男男）（男男）∴共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的学生为一个男生和一个女生的结果有6种，∴恰好抽到的学生为一个男生和一个女生的概率为．【解析】【分析】（1）先根据B等级的人数与所占百分比，可求出总人数，然后求出所抽取的学生成绩为C等级的人数；（2）根据中位数的定义求解；（3）列表法或画树状图法求出概率．（1）解：调查的总人数为：，（人），即所抽取的学生成绩为C等级的人数为7人．（2）解：所抽取的学生成绩的中位数为；（3）解：列表如下：女男男男女（女男）（女男）（女男）男（男女）（男男）（男男）男（男女）（男男）（男男）男（男女）（男男）（男男）∴共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的学生为一个男生和一个女生的结果有6种，∴恰好抽到的学生为一个男生和一个女生的概率为．21．【答案】（1）解：是边上的高，∴，∴，，，即；（2）解：由（1）证得，∴，又∵，，，，，，，，解得：或（负值舍去），．【解析】【分析】（1）先证明，根据相似三角形的性质可得到，再结合，可得到，从而有；（2）先证明，根据相似三角形的性质列出比例式，得到，从而可得关于AD的方程求出，进而求得，再根据余弦的定义求解．（1）解：是边上的高，∴，∴，，，即；（2）解：由（1）证得，∴，又∵，，，，，，，，解得：或（负值舍去），．22．【答案】（1）4，1（2）解：设参赛者答对了道题，由题意得：解得：，答：参赛者答对了道题；（3）解：参赛者不可能得分，理由：假设他得了分，设他答对道题，根据题意得：，解得，不是正整数，所以假设不成立，故参赛者不可能得分．【解析】【解答】解：（1）根据参赛者E的得分情况可知：每答对一道题得分；根据参赛者A的得分情况可知：每答错一道题得分；故答案为：4，1；【分析】（1）根据参赛者E的得分情况可求出每答对一道题所得分值，据此即可求解；（2）设参赛者答对了道题，由题意得：据此即可求解；（3）用反证法求解，假设他得了分，设他答对道题，根据题意列出关于m的方程求解，据此即可判断.（1）解：根据参赛者E的得分情况可知：每答对一道题得分；根据参赛者A的得分情况可知：每答错一道题得分；故答案为：4，1（2）解：设参赛者答对了道题，由题意得：解得：，答：参赛者答对了道题（3）解：参赛者不可能得分，理由：假设他得了分，设他答对道题，根据题意得：，解得，不是正整数，所以假设不成立，故参赛者不可能得分．23．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∵将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕，∴，∴，∴四边形是矩形，∵，∴矩形是正方形；（2）解：如图，连接，，设，由（1）知，，∵四边形是矩形，∴，由折叠知，，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，∴，∴．【解析】【分析】（1）先证明四边形是矩形，再根据，证得四边形是正方形；（2）连接，，由矩形的性质得到，由折叠的性质，证明，得到，设，由勾股定理列出关于x的方程求解，解得，再利用三角形面积公式即可求解．（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∵将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕，∴，∴，∴四边形是矩形，又∵，∴矩形是正方形；（2）解：如图，连接，，由（1）知，，∵四边形是矩形，∴，由折叠知，，∴，又∵，∴，∴，∴，设，∵，∴，∴，在中，由勾股定理，得，即，解得：，即，∴的面积=．24．【答案】解：（1）∵，

∴抛物线开口向上，当时，，

∴，∴，∴有两个实数根，

∴轴上方的抛物线上必有2个点到轴的距离为；∵抛物线上有且只有三个点到轴的距离为，∴轴下方的抛物线上只有1个点到轴的距离为，∴当时，，，∴；（2）①∵，

∴点，点需在抛物线的对称轴的同侧，设该抛物线的对称轴为直线，当时，总有，当，时，总有，∴抛物线的对称轴在直线左侧，即；当，时，总有，∴抛物线的对称轴在直线右侧，即；∴对称轴为直线，∴，∴，又，∴，∴，．∴抛物线的解析式为．②证明：设，，∴直线：，直线：，∴，，∴，设直线的解析式：，则，消，得：，由韦达定理得：，，∴，∴，∴直线解析式为，∴直线必过定点．【解析】【分析】（1）由题意知，抛物线的顶点到轴的距离为，即可求出；（2）①由时，总有，可知，在对称轴的同一侧，然后利用分类讨论的思想进