三道有关近似值计算习题及答案详解一

三道有关近似值计算习题及答案详解一主要内容：1.eq\r(225.57)的近似值计算2.切线法计算8x^3-42x^2+39=0在(-1.7,0)上的近似解误差不超过0.001。3.√65.7801的近似计算1.eq\r(225.57)的近似值计算主要内容：通过线性穿插法、无穷小代换法，介绍计算eq\r(225.57)近似值的主要步骤。线性穿插法：设eq\r(225.57)=x，列三组数如下：eq\r(225)=15eq\r(225.57)=xeq\r(256)=16，eq\f(225.57-225,256-225.57)=eq\f(x-15,16-x),(225.57-225)(16-x)=(x-15)(256-225.57)0.57(16-x)=30.43(x-15)30.43x+0.57x=0.57*16+15*30.4331x=465.57x≈15.0184。无穷小代换法eq\r(225.57)=eq\r(225+0.57),=eq\r(225(1+eq\f(0.57,m))),=eq\r(225)*eq\r(1+eq\f(0.57,225)),≈15*(1+eq\f(0.57,450)),≈15.0190，即：eq\r(225.57)≈15.0190。用到的公式为：eq\r(1+x)≈1+eq\f(x,2)（x为无穷小）。2.切线法计算8x^3-42x^2+39=0在(-1.7,0)上的近似解误差不超过0.001。主要内容：根据微积分知识，一阶导数和二阶导数，以及函数的切线与x轴交点的横坐标关系方程，介绍用切线法计算方程8x^3-42x^2+39=0在(-1.7,0)上的近似解误差不超过0.001的主要步骤。主要过程：※.判断方程根的情况设f(x)=8x^3-42x^2+39，当x=-1.7时,f(-1.7)=8*(-1.7)^3-42*(-1.7)^2+39=-121.7＜0，当x=0时,f(0)=8*0-42*0+39=39＞0，可知在区间(-1,0)上必有实数根，下面讨论根的唯一性：对x求导有：f'(x)=12*2x^2-6*14x=6x(2*2x-14)，在区间(-1.7,0)上，对于f'(x)=6x(2*2x-14)>0，则f(x)为增函数,故方程8x^3-42x^2+39=0在(-1.7,0)上有唯一实数解。※.切线法近似计算根据切线与x轴交点的横坐标xi的关系有：xi=-1.7-f(-1.7)/f'(-1.7)，以下连续用该方程进行计算，则有：x1=-1.7-f(-1.7)/f'(-1.7)=-1.7--121.7/212.16=-1.126,x2=-1.126-f(-1.126)/f'(-1.126)=-1.126--25.672/125.013=-0.921,x3=-0.921-f(-0.921)/f'(-0.921)=-0.921--2.876/97.722=-0.892,x4=-0.892-f(-0.892)/f'(-0.892)=-0.892--0.096/94.024=-0.891,x5=-0.891-f(-0.891)/f'(-0.891)=-0.891--0.002/93.897=-0.891,x6=-0.891-f(-0.891)/f'(-0.891)=-0.891--0.002/93.897=-0.891,x7=-0.891-f(-0.891)/f'(-0.891)=-0.891-0.002/93.897=-0.891,至此，可知可以以x=-0.892或者x=-0.891为方程根的近似值，其误差不超过0.001。3.√65.7801的近似计算主要内容：本文通过微分法、无穷小替换法、泰勒展开法，介绍计算√65.7801近似值的主要思路和步骤。主要公式：1.y=√x=x^(1/2),dy/dx=1/2√x=(1/2)x^(-1/2)。2.当x趋近于0时，有(1+x)^n≈1+nx。※.微分法计算∵y=√x，∴dy=dx/2√x,对于本题，则有：△y≈(1/2√x)△x，此时有：√65.7801≈√81+△y=9+(1/2√81)△x。对于本题有：△x=65.7801-81=-15.2199,代入上式：√65.7801≈9-(1/2√81)*15.2199=9-15.2199/(2*9)=8.154450。即为此时用微分法计算出的近似值。※.无穷小替换法当x趋近于0时，有lim(x→0)(1+x)^n=lim(x→0)1+nx,则二者近似相等，即(1+x)^n≈1+nx。对于本题，变形如下：√65.7801=√(81-15.2199)=√[81(1-15.2199/81)]=√81*√[(1-15.2199/81)]≈9*(1-15.2199/162)=8.154450。※：泰勒公式计算根据泰勒幂级数展开，有：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)2/2!+f'''(x0)(x-x0)3/3!+……,对于本题，x=65.7801，x0=81，x-x0=-15.2199,且：f'(x0)=1/(2√81)=1/18;f''(x0)=-1/