四道有关近似值计算习题及答案详解一

四道有关近似值计算习题及答案详解一1.eq\r(49.97)的近似值计算2.计算0.93^2.91近似值的方法。3.切线法计算8x^3-42x^2+41=0在(-1.7,0)上的近似解误差不超过0.001。4.√100.202的近似计算1.eq\r(49.97)的近似值计算主要内容：通过线性穿插法、无穷小代换法，介绍计算eq\r(49.97)近似值的主要步骤。线性穿插法：设eq\r(49.97)=x，列三组数如下：eq\r(49)=7eq\r(49.97)=xeq\r(64)=8，eq\f(49.97-49,64-49.97)=eq\f(x-7,8-x),(49.97-49)(8-x)=(x-7)(64-49.97)0.97(8-x)=14.03(x-7)14.03x+0.97x=0.97*8+7*14.0315x=105.97x≈7.0647。无穷小代换法eq\r(49.97)=eq\r(49+0.97),=eq\r(49(1+eq\f(0.97,m))),=eq\r(49)*eq\r(1+eq\f(0.97,49)),≈7*(1+eq\f(0.97,98)),≈7.0693，即：eq\r(49.97)≈7.0693。用到的公式为：eq\r(1+x)≈1+eq\f(x,2)（x为无穷小）。2.计算0.93^2.91近似值的方法。※.极限方法原理：当x→0时，有lim(x→0)(1+x)^a/(1+ax)=1，即此时有(1+x)^a～(1+ax)。此方法计算近似值实质是等价无穷替换。等价无穷小的定义：设当x趋近于x0时，f(x)和g(x)均为无穷小量。若lim(x→x0)f(x)/g(x)=1，则称f(x)和g(x)是等价无穷小量，记作:f(x)～g(x)(x→x0)。对于本题有：0.93^2.91≈(1-0.07)^2.91≈1-0.07*2.91≈1-0.07*2.91≈0.7963.即：0.93^2.91≈0.7963.※.全微分法本题涉及幂指函数z=xy，求全微分有：因为z=x^y=e^ylnx，所以dz=e^ylnx*(lnxdy+ydx/x)=xy*(lnxdy+ydx/x).对于本题，x=1,y=3.此时近似计算过程如下：0.93^2.91≈13+13*(ln1*0.09-3*0.07/1)≈13-13*0.21≈0.79。※.指数函数法0.93^2.91≈0.933+dy≈0.933+0.933*ln0.93*(2.91-3)≈0.933(1+0.0050)≈0.8083.3.切线法计算8x^3-42x^2+41=0在(-1.7,0)上的近似解误差不超过0.001。主要内容：根据微积分知识，一阶导数和二阶导数，以及函数的切线与x轴交点的横坐标关系方程，介绍用切线法计算方程8x^3-42x^2+41=0在(-1.7,0)上的近似解误差不超过0.001的主要步骤。主要过程：※.判断方程根的情况设f(x)=8x^3-42x^2+41，当x=-1.7时，f(-1.7)=8*(-1.7)^3-42*(-1.7)^2+41=-119.7＜0，当x=0时，f(0)=8*0-42*0+41=41＞0，可知在区间(-1,0)上必有实数根，下面讨论根的唯一性：对x求导有：f'(x)=12*2x^2-6*14x=6x(2*2x-14)，在区间(-1.7,0)上，对于f'(x)=6x(2*2x-14)>0，则f(x)为增函数,故方程8x^3-42x^2+41=0在(-1.7,0)上有唯一实数解。※.切线法近似计算根据切线与x轴交点的横坐标xi的关系有：xi=-1.7-f(-1.7)/f'(-1.7)，以下连续用该方程进行计算，则有：x1=-1.7-f(-1.7)/f'(-1.7)=-1.7--119.7/212.16=-1.136,x2=-1.136-f(-1.136)/f'(-1.136)=-1.136--24.929/126.396=-0.939,x3=-0.939-f(-0.939)/f'(-0.939)=-0.939--2.656/100.037=-0.912,x4=-0.912-f(-0.912)/f'(-0.912)=-0.912--0.002/96.570=-0.912,x5=-0.912-f(-0.912)/f'(-0.912)=-0.912--0.002/96.570=-0.912,x6=-0.912-f(-0.912)/f'(-0.912)=-0.912--0.002/96.570=-0.912,x7=-0.912-f(-0.912)/f'(-0.912)=-0.912–-0.002/96.570=-0.912,至此，可知可以以x=-0.912或者x=-0.912为方程根的近似值，其误差不超过0.001。4.√100.202的近似计算主要内容：本文通过微分法、无穷小替换法、泰勒展开法，介绍计算√100.202近似值的主要思路和步骤。主要公式：1.y=√x=x^(1/2),dy/dx=1/2√x=(1/2)x^(-1/2)。2.当x趋近于0时，有(1+x)^n≈1+nx。※.微分法计算∵y=√x，∴dy=dx/2√x,对于本题，则有：△y≈(1/2√x)△x，此时有：√100.202≈√100+△y=10+(1/2√100)△x。对于本题有：△x=100.202-100=0.202,代入上式：√100.202≈10+(1/2√100)*0.202=10+0.202/(2*10)=10.0101。即为此时用微分法计算出的近似值。※.无穷小替换法当x趋近于0时，有lim(x→0)(1+x)^n=lim(x→0)1+nx,则二者近似相等，即(1+x)^n≈1+nx。对于本题，变形如下：√100.202=√(100+0.202)=√[100(1+0.202/100)]=√100*√[(1+0.202/100)]≈10*(1+0.202/200)=10.0101。※：泰勒公式计算根据泰勒幂级数展开，有：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+f'''(x0)(x-x0)^3/3!+……,对于本题，x=100.202，x0=100，x-x0=0.202,且：f'(x0)=1