2025-2026学年北京166中九年级（下）开学数学试卷(含答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年北京166中九年级（下）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.大兴国际机场，成为北京建设国际化大都市的重要标志.全球唯一一座“双进双出“的航站楼，世界施工技术难度最高的航站楼，走进航站楼内部，室内色调主要以白色为主，为了让阳光洒满整个机场，航站楼一共使用了12800块玻璃，白天室内几乎不需要照明灯光.将12800用科学记数法表示为(

)A.1.28×102 B.1.28×103 C.2.实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是(

)A.a B.b C.c D.d3.一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为(

)A.16 B.13 C.124.剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为(

)A. B.

C. D.5.如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4//l1，若∠1=124∘，A.26∘ B.36∘ C.46∘6.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为(

)A.0.5km

B.0.6km

C.0.9km

D.1.2km7.下面是小彤设计的“作△ABC中BC边上的高”的尺规作图方法.①如图，以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E；

②连接AE交BC于点D.

所以线段AD是△ABC中BC边上的高.

上述方法通过判定BC垂直平分线段AE，得到线段AD是△ABC中BC边上的高.其中，判定BC垂直平分线段AE的依据是(

)A.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合

B.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线是这条线段的垂直平分线

C.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

D.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上8.在正方形ABCD中，点P在边BC上运动，连接AP，过点P作PQ⊥AP，PQ=AP，连接AQ，CQ.以下结论正确的是(

)A.点P与点B重合时，线段CQ的长取得最大值

B.点P与边BC的中点重合时，线段CQ的长取得最大值

C.点P与点C重合时，线段CQ的长取得最大值

D.点P运动的过程中，线段CQ的长不发生变化

二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。9.函数y=x−3中，自变量x的取值范围是

.10.如图是某几何体的三视图，该几何体是___

___.

11.分解因式：5x2−10x+5=______12.关于x的一元二次方程ax2+bx+14=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a、b的值：a=

13.如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______.

14.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．

《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”

译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”

设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为______.

15.如图，在▱ABCD中，E为AB延长线上一点，F为AD上一点，∠DEF=∠C，若DE=4，AF=73，则DF的长是

.16.如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序

.

三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题5分)

计算：2sin18.(本小题5分)

解不等式组：4x−5>x+13x−419.(本小题5分)

已知a2+2b2−1=0，求代数式20.(本小题5分)

如果m+n=1，求代数式(2m+nm2−mn21.(本小题5分)

关于x的一元二次方程x2−mx+2m−4=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程有一个根小于1，求m的取值范围.22.(本小题6分)

如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF.

(1)求证：四边形AEFD是矩形；

(2)连接OE，若AD=10，EC=4，求OE的长度．23.(本小题6分)

在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y=8x的一个交点为P(2,m)，与x轴、y轴分别交于点A，B.

(1)求m的值；

(2)若PA=2AB，求k的值．24.(本小题6分)

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，BC，D是AB上的一点，过点D作AB的垂线，与线段BC交于点E，点F在线段DE的延长线上，且满足FC=FE.

(1)求直线CF与⊙O的公共点个数；

(2)当点E恰为BC中点时，若⊙O的半径为5，tanA=43，求线段CF的长25.(本小题6分)

为了增强学生体质，某校九年级举办了小型运动会.其中男子立定跳远项目初赛成绩前10名的学生直接进入决赛.现将进入决赛的10名学生的立定跳远成绩(单位：厘米)，数据整理如下：

a.10名学生立定跳远成绩：244，243，241，240，240，238，238，238，237，236

b.10名学生立定跳远成绩的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数239.5mn(1)写出表中m，n的值；

(2)现有甲、乙、丙三名未进入决赛的学生，要通过复活赛进入决赛.在复活赛中每人要进行5次测试，每人的5次测试成绩同时满足以下两个条件方可进入决赛：

i.平均成绩高于已进入决赛的10名学生中一半学生的成绩；

ⅱ.成绩最稳定.

①若甲学生前4次复活赛测试成绩为236，238，240，237，要满足条件i，则第5次测试成绩至少为______(结果取整数)；

②若甲、乙、丙三名学生的5次复活赛测试成绩如表：第一次第二次第三次第四次第五次甲236238240237237乙237239240244235丙237242237239240则可以进入决赛的学生为______(填“甲”“乙”或“丙”).26.(本小题6分)

在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2−4ax+3a(a≠0)的图象与x轴交于点A，B(A在B的左侧)，与y轴交于点C.

(1)直接写出点C的坐标(用含有a的代数式表示)；

(2)记△ABC的面积为S，判断说法：“当a>0时，S与a满足正比例函数关系”的正误，并说明理由；

(3)已知点P(a,0)，Q(0,a−3)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求27.(本小题6分)

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40∘，作射线CM，∠ACM=80∘.D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF.

(1)依题意补全图形；

(2)判断AB与DF的数量关系并证明；

(3)平面内一点G，使得DG=DC，FG=FB，求∠CDG28.(本小题7分)

在平面直角坐标系xOy中，对于图形G及过定点P(3,0)的直线l，有如下定义：过图形G上任意一点Q作QH⊥l于点H，若QH+PH有最大值，那么称这个最大值为图形G关于直线l的最佳射影距离，记作d(G,l)，此时点Q称为图形G关于直线l的最佳射影点．

(1)如图1，已知A(2,2)，B(3,3)，写出线段AB关于x轴的最佳射影距离d(AB,x轴)=______；

(2)已知点C(3,2)，⊙C的半径为2，求⊙C关于x轴的最佳射影距离d(⊙C,x轴)，并写出此时⊙C关于x轴的最佳射影点Q的坐标；

(3)直接写出点D(0,3)关于直线l的最佳射影距离d(点D，l)的最大值．

參考答案1.C

2.D

3.B

4.D

5.B

6.D

7.D

8.C

9.x≥3

10.圆柱

11.5(x−1)12.4213.360∘14.5x+2y=102x+5y=815.3

16.丙、丁、甲、乙(答案不唯一).

17.318.解：解不等式4x−5>x+1，得：x>2，

解不等式3x−42<x，得：x<4，

则不等式组的解集为19.解：原式=a2−2ab+b2+2ab+b2

=a2+2b20.3.

解：(2m+nm2−mn+1m)⋅(m2−n2)

=[2m+nm(m−n)+m−nm(m−n)]⋅(m+n)(m−n)

=3mm(m−n).(m+n)(m−n)

=3mm(m−n).(m−n)

=3.

21.(1)证明：∵a=1，b=−m，c=2m−4，

∴△=b222.(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD//BC且AD=BC，

∵BE=CF，

∴BC=EF，

∴AD=EF，

∵AD//EF，

∴四边形AEFD是平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴∠AEF=90∘，

∴四边形AEFD是矩形；

(2)解：∵四边形ABCD是菱形，AD=10，

∴AD=AB=BC=10，

∵EC=4，

∴BE=10−4=6，

在Rt△ABE中，AE=AB2−BE2=102−62=8，23.解：∵y=8x经过P(2,m)，

∴2m=8，

解得：m=4；

(2)点P(2,4)在y=kx+b上，

∴4=2k+b，

∴b=4−2k，

∵直线y=kx+b=kx+4−2k(k≠0)与x轴、y轴分别交于点A，B，

∴A(2−4k,0)，B(0,4−2k)，

作PC⊥x轴于点C，分两种情况讨论：

如图1，点A在x轴负半轴，点B在y轴正半轴时，

∵PA=2AB，

∴AB=PB，则OA=OC，

∴4k−2=2，

解得k=1；

如图2，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴时，

∵PA=2AB，

∴PC=2OB，

∴4=2(2k−4)，

解得k=3.24.解：(1)连接OC，

∵OB=OC，

∴∠B=∠OCB，

∵CF=EF，

∴∠FCE=∠FEC，

∵∠BED=∠FEC，

∴∠BED=∠FCE，

∵DF⊥AB，

∴∠BDE=90∘，

∴∠B+∠BED=90∘，

∴∠OCB+∠FCE=90∘，

∴∠OCF=90∘，

∴CF是⊙O的切线，

∴直线CF与⊙O的公共点个数有1个；

(2)∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90∘，

∵⊙O的半径为5，

∴AB=10，

∵tanA=BCAC=43，

∴设BC=4x，AC=3x，

∴AB=5x=10，

∴x=2，

∴BC=8，AC=6，

∵点E为BC中点，

∴CE=BE=4，

∵∠ACB=∠BDE=90∘，∠B=∠B，

∴△BDE∽△BCA，

∴DEAC=BEAB，

∴DE6=410，

∴DE=125，

过F作FH⊥CE于25.解：(1)将10名学生立定跳远成绩从大到小排列为244，243，241，240，240，238，238，238，237，236，

其中，第5个数据为240，第6个数据为238，所以这组数据的中位数为(240+238)÷2=239，即m=239；

从这组数据可以看出，238出现的次数最多，所以这组数据的众数为238，即n=238；

(2)①244；②丙．

(1)见答案；

(2)①根据条件i.可知，甲的跳远成绩平均数应大于等于239，

故设第五成绩为x厘米，

(236+238+240+237+x)÷5≥239，

x≥244，

所以第5次测试成绩至少为244厘米；

②甲：(236+238+240+237+237)÷5=237.6(厘米)，

乙：(237+239+240+244+235)÷5=239(厘米)，

丙：(237+242+237+239+240)÷5=239(厘米)，

所以，乙和丙的成绩较高，

据此进一步比较两者的数据稳定性，

其中乙的数据大约分布在235∼244，丙的数据大约分布在237∼242，

可以看出，丙的数据比乙的数据波动较小，具有更好的稳定性，

所以，可以进入决赛的学生为丙．

故答案为：①244；②丙．26.解：(1)∵抛物线y=ax2−4ax+3a与y轴交于点C，

∴C的坐标为(0,3a)；

(2)当y=0时．即ax2−4ax+3a=0，

解得：x1=1，x2=3，

∴抛物线与x轴的交点坐标为A(1,0)，B(3,0)，

∴AB=2，

∴S△ABC=12AB⋅OC=12×2×3a|=3|a|，

∴当a>0时，S△ABC=3a，

∴当a>0时，S与a满足正比例函数关系，故正确；

(3)当a<0时，抛物线过点Q(0,a−3)时，a=−32，

∴P(−32,0)，

此时，抛物线与线段PQ有一个公共点．

当27.解：(1)如图所示：

(2)AB=DF，理由如下：

∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

∵C关于点E的对称点为F，

∴CE=EF，

又∵∠AEC=∠FED，

∴△AEC≌△DEF(SAS)，

∴AC=DF，

∵AB=AC，

∴AB=DF；

(3)如图2，连接AF，

∵AE=DE，CE=EF，

∴四边形ACDF是平行四边形，

∴∠ACM+∠CAF=180∘，AF=CD，DF=AC=AB，

∴∠CAF=100∘=∠