九年级数学下册《圆中有关计算》课前导学教案

九年级数学下册《圆中有关计算》课前导学教案

一、课程基本信息与设计理念

1.1课程定位与内容分析

本节课选自华东师大版义务教育教科书《数学》九年级下册第27章“圆”的第3节。本章是初中阶段“图形与几何”领域的核心内容，而本节“圆中的计算问题”则是将圆的定义、性质（垂径定理、圆心角与圆周角定理等）与代数工具相结合，解决实际度量问题的关键节点。主要内容包括：弧长的计算、扇形面积的计算、圆锥侧面展开图中相关量的计算，以及由圆构成的组合图形中阴影部分面积的求解策略。这些内容是小学阶段圆周长、面积计算的自然延伸和深化，也是高中阶段学习球、旋转体等立体几何与解析几何中圆方程应用的重要基础。

从数学知识体系看，本节内容体现了“度量几何”的核心思想，即通过公式将几何对象的“形”转化为可操作的“数”。从思想方法看，它强化了“转化与化归”、“数形结合”、“模型思想”和“整体与分割”等关键数学思想。学习本节，学生不仅需要掌握具体的计算公式，更需要理解公式的推导过程（从一般到特殊，从比例关系出发），并能在复杂的非标准图形中识别基本模型，灵活运用公式和策略解决问题。

1.2设计理念与指导思想

本设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，秉持以下核心理念：

1.核心素养导向：聚焦学生数学核心素养的发展，尤其是几何直观、运算能力、推理能力和模型观念。通过观察、操作、想象、推理和计算等系列活动，引导学生从“数”与“形”两个角度认识圆的相关量，建立图形与数量之间的关系。

2.结构化教学：将弧长公式、扇形面积公式、圆锥侧面积计算置于统一的“部分与整体之比”的框架下进行建构，帮助学生形成知识网络，理解知识之间的内在逻辑联系，避免碎片化记忆。

3.问题驱动与情境创设：以真实的、富有挑战性的问题情境（如设计扇形装饰、计算管道长度、制作圆锥形帽子等）贯穿始终，激发学生内在学习动机，体会数学的应用价值。

4.过程性探究与意义建构：强调公式的生成过程而非机械记忆。引导学生通过类比圆周长、圆面积公式的推导思路，自主或合作探究弧长、扇形面积与圆心角的关系，真正理解公式的数学本质。

5.跨学科视野与技术融合：适度联系物理（如旋转角度与路程）、工程（如钣金下料）、地理（如经纬度与距离）、艺术（如图案设计）等领域，展现数学的工具性。鼓励使用几何画板等动态数学软件进行可视化探索，验证猜想，加深理解。

6.差异化学习支持：设计分层探究任务和弹性作业，关注不同思维水平学生的需求，为所有学生提供参与和成功的机会。

1.3学情分析

九年级学生已具备以下知识和能力基础：

1.知识基础：熟练掌握圆的有关概念（半径、直径、弧、弦、圆心角、圆周角等）；理解并掌握了圆周长公式（C=2πr）和圆面积公式（S=πr²）；熟悉比例和百分比的相关计算；对旋转体（特别是圆锥）有初步的直观认识。

2.能力与经验：具备一定的空间想象能力和几何直观；经历了从具体情境中抽象出数学问题、建立数学模型的过程；积累了一些解决组合图形面积的经验（如割补法）。

3.可能存在的困难：

1.4.概念理解：对“弧长”是曲线长度、“扇形面积”是曲线边图形的面积缺乏深刻的度量感知；容易混淆弧长公式和扇形面积公式的结构。

2.5.公式推导：难以独立建立圆心角（n°）与弧长、扇形面积之间的比例关系。

3.6.应用转化：在复杂的不规则图形（尤其是阴影部分面积计算）中，难以识别和分离出基本的弧、扇形、三角形等图形，选择最优的“割补”、“等积变换”或“整体减空白”策略存在困难。

4.7.空间想象：将圆锥的侧面展开图（扇形）与立体图形（圆锥）中的母线、底面半径、高之间的关系进行互化时，需要较强的空间思维能力，这是部分学生的难点。

基于以上分析，本设计将通过“唤醒旧知—类比探究—公式建构—变式深化—综合应用”的路径，搭建学习支架，突破难点。

二、学习目标

依据课程标准、教材内容和学情，制定以下三维学习目标：

2.1知识与技能

1.理解弧长和扇形面积的概念，掌握弧长公式（l=nπr/180）和扇形面积公式（S=nπr²/360=(1/2)lr），并能运用公式进行准确计算。

2.了解圆锥的侧面展开图是扇形，能推导圆锥的侧面积公式（S_侧=πrl）和全面积公式（S_全=πrl+πr²），并能解决圆锥侧面展开图中的简单计算问题。

3.能综合运用圆、扇形、三角形等图形的性质与面积公式，通过割补、平移、旋转、等积变形等方法，解决较复杂的组合图形（尤其是阴影部分）的面积计算问题。

2.2过程与方法

1.经历探索弧长公式和扇形面积公式的过程，体会通过“部分与整体的比例关系”解决曲线图形度量问题的一般方法，发展类比、归纳和推理能力。

2.在探索圆锥侧面积公式的过程中，经历“立体—平面—立体”的转化过程，提升空间想象能力和模型转化能力。

3.在解决复杂阴影面积问题的过程中，通过观察、分解、尝试、验证等数学活动，积累解决几何计算问题的基本活动经验，形成解决问题的策略性知识。

2.3情感态度与价值观

1.通过参与公式的探索与发现，感受数学公式的简洁美、统一美和逻辑力量，增强学习数学的兴趣和自信心。

2.通过解决与实际生活、其他学科紧密联系的问题，认识数学的广泛应用价值，培养数学应用意识。

3.在小组合作探究和问题解决中，培养乐于思考、敢于质疑、严谨求实的科学态度和合作交流的精神。

三、教学重难点

1.教学重点：

1.2.弧长公式和扇形面积公式的推导与应用。

2.3.圆锥侧面积公式的推导与应用。

3.4.解决组合图形中阴影部分面积的基本思想方法（分割、补全、等积变换）。

5.教学难点：

1.6.理解弧长公式和扇形面积公式的推导原理，即理解公式中“n/360”的比例意义。

2.7.在复杂图形中灵活识别基本图形，并选择恰当的策略（如割、补、移、等积代换）进行面积计算。

3.8.建立圆锥及其侧面展开图（扇形）各元素（母线l、底面半径r、侧面展开图扇形圆心角n）之间的等量关系，并进行相互转化计算。

四、教学准备

1.教师准备：

1.2.多媒体课件（PPT或几何画板等），包含动态演示公式推导、图形变换的动画。

2.3.实物教具：不同大小的圆形纸片、可剪开的扇形纸片、圆锥模型（如纸质圆锥帽子）、剪刀、胶水。

3.4.分层导学案（含预习任务、课堂探究单、巩固练习、拓展延伸题）。

4.5.设计并打印课堂小组活动任务卡。

6.学生准备：

1.7.复习圆周长、圆面积公式，回顾比例相关知识。

2.8.准备圆规、直尺、量角器、剪刀、彩色笔等学习用具。

3.9.预习教材相关内容，完成导学案中的“课前预学”部分。

五、教学过程实施

第一课时：弧长与扇形面积

环节一：情境导入，提出问题（预计时间：8分钟）

【教师活动】

1.展示情境：播放一段短片或呈现一组图片，内容可包括：摩天轮上某个座舱的运行轨迹、钟表指针尖端划过的痕迹、扇形花园的栅栏与草坪、手工制作的扇形装饰画。

2.提出问题链：

1.3.（针对摩天轮）已知摩天轮半径为20米，当座舱从最低点旋转到与圆心连线成60°角的位置时，座舱经过了多长的路程？

2.4.（针对扇形花园）现要为一个圆心角为120°、半径为5米的扇形花园围上栅栏并铺设草皮，需要多长的栅栏？需要购买多少平方米的草皮？

5.揭示课题：引导学生发现这些问题都与“圆的一部分”有关，都需要计算“一段曲线的长度”和“一块由曲线围成的图形面积”。从而自然引出本节课的核心问题：如何计算弧长和扇形面积？

【学生活动】

观察情境，思考教师提出的问题，尝试用自己的语言描述“弧长”和“扇形面积”的含义，并与同伴交流初步的想法（如是否可以用圆周长的“一部分”来思考弧长）。

【设计意图】通过真实、生动的跨学科情境引入，迅速抓住学生注意力，让学生明确本节课要解决的实际问题是什么，体会学习的必要性。问题链的设计由浅入深，从具体情境中抽象出共同的数学模型。

环节二：合作探究，建构公式（预计时间：20分钟）

【活动一：探究弧长公式】

1.温故知新：

1.2.提问：圆的周长公式是什么？（C=2πr）这个公式是如何得到的？（与直径或半径的比值是常数π）

2.3.引导：圆的周长可以看作是圆心角为360°时所对应的“弧长”。

4.猜想与验证：

1.5.任务一：请同学们以小组为单位，利用手中的圆形纸片。

a)用量角器在圆上画出圆心角分别为90°、180°、270°的扇形。

b)用剪刀小心剪下这些扇形。

c)思考并讨论：这些扇形的弧长与整个圆的周长有什么关系？这个关系与圆心角的大小有什么关系？

2.6.学生动手操作、测量、计算（弧长可用软线贴合后测量长度，或利用比例估算）。

3.7.小组代表汇报发现：圆心角为90°的扇形弧长大约是圆周长的90/360=1/4；180°的约为1/2；270°的约为3/4。

4.8.归纳猜想：弧长l与圆心角n°成正比，即l/C=n/360。

9.推导公式：

1.10.基于猜想，师生共同完成逻辑推导：

∵圆心角为360°时，弧长l=C=2πr。

∴圆心角为1°时，弧长=2πr/360=πr/180。

∴圆心角为n°时，弧长l=(n/360)*2πr=nπr/180。

2.11.几何画板动态演示：拖动圆心角n的滑块，实时显示弧长l的变化及计算值，验证公式。

3.12.强调公式中n的意义（圆心角的度数，不带单位），以及公式的变形（如n=180l/πr）。

【活动二：类比探究扇形面积公式】

1.方法迁移：

1.2.提问：我们能否用类似研究弧长的方法来研究扇形面积？

2.3.引导学生类比：圆面积公式S_圆=πr²。扇形面积可以看作是圆面积的“一部分”。

4.自主探究：

1.5.任务二：请利用刚才剪下的扇形纸片，或者重新画图探究。

a)猜想：扇形面积S_扇与圆面积S_圆的比，与什么有关？

b)验证你的猜想。

c)尝试推导出扇形面积的计算公式。

2.6.学生小组合作，通过重叠、比较等方式，直观感受扇形面积与圆心角的比例关系。

7.公式生成与辨析：

1.8.学生展示推导过程：S_扇/S_圆=n/360→S_扇=(n/360)*πr²=nπr²/360。

2.9.深入探究：观察弧长公式l=nπr/180和扇形面积公式S=nπr²/360，你能发现它们之间有更简洁的关系吗？

3.10.引导学生将第一个公式变形为nπr=180l，代入第二个公式：

S=(nπr²)/360=(nπr*r)/360=(180l*r)/360=(1/2)lr。

4.11.公式意义建构：强调扇形面积的第二个公式S=(1/2)lr，在形式上类似于三角形面积公式（(1/2)×底×高）。可以直观理解为：把扇形看作是一个以弧长为“底”，以半径为“高”的“曲边三角形”。这体现了“化曲为直”的极限思想，是重要的数学直观。

5.12.对比两个公式的适用情境：已知圆心角和半径时用第一个；已知弧长和半径时用第二个。

【设计意图】本环节是本节课的核心。通过“操作感知—猜想验证—逻辑推导—公式辨析”的完整探究过程，让学生亲历公式的“再发现”，深刻理解其数学本质。类比方法的运用促进了知识迁移能力的提升。将扇形面积与三角形面积进行形式类比，是发展几何直观和数学洞察力的关键一步。小组合作与动手操作符合九年级学生的认知特点，能有效调动积极性。

环节三：典例精析，初步应用（预计时间：10分钟）

【例题1】（直接应用公式）

已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，求该扇形的弧长和面积。

（学生独立完成，教师板书规范步骤，强调代入公式时代号的准确性和计算的规范性。）

【例题2】（公式逆用与方程思想）

已知一个扇形的弧长为4πcm，面积为8πcm²，求这个扇形的半径和圆心角的度数。

1.引导分析：已知l和S，可选择哪个公式更方便？(S=(1/2)lr)

2.解法：由S=(1/2)lr，得8π=(1/2)*4π*r，解得r=4。再将r=4,l=4π代入l=nπr/180，解得n=180。

3.小结：当问题中涉及弧长、面积、半径、圆心角四个量中的两个求其他量时，需要灵活选择公式，常常需要建立方程（组）求解。

【设计意图】通过两个层次例题，巩固对公式的直接应用，并引入方程思想解决公式的逆用问题。例题2为后续解决圆锥侧面展开图问题埋下伏笔（已知扇形弧长等于底面圆周长）。

环节四：课堂小结与作业布置（预计时间：2分钟）

1.小结：引导学生从知识（两个公式及其关系）、方法（类比探究、比例思想、方程思想）、思想（化曲为直）三个层面回顾本节课收获。

2.作业布置（分层）：

1.3.基础巩固：教材课后练习第1、2、3题。（所有学生必做）

2.4.能力提升：一个扇形的圆心角是另一个扇形圆心角的2倍，而半径是另一个扇形半径的1/2，求这两个扇形的弧长比和面积比。（中等及以上学生选做）

3.5.实践探究（课前导学延续）：思考如何用今天所学的知识，解决导入中提出的“扇形花园”问题？并寻找生活中还有哪些地方用到了弧长或扇形面积的计算。（鼓励所有学生尝试）

第二课时：圆锥的侧面积与全面积

环节一：复习链接，导入新知（预计时间：5分钟）

1.复习提问：

1.2.弧长公式和扇形面积公式是什么？S=(1/2)lr这个公式有何几何意义？

2.3.我们学过哪些立体图形？圆柱的侧面展开图是什么？

4.实物观察，导入新课：

1.5.出示圆锥模型（如生日帽、漏斗）。

2.6.提问：这个几何体叫什么？它的侧面是一个曲面，我们能否也像研究圆柱一样，把它“展开”成一个平面图形来研究呢？如果能够展开，展开图会是什么形状？

3.7.让学生动手剪开自己准备的圆锥模型（沿一条母线剪开），观察展开后的形状。

4.8.结论：圆锥的侧面展开图是一个扇形。

【设计意图】从复习旧知到实物操作，建立新旧知识之间的联系。通过动手操作，将空间中的圆锥侧面转化为平面的扇形，为公式推导做好直观准备，有效突破空间想象的难点。

环节二：探索关系，推导公式（预计时间：15分钟）

【探究活动：圆锥与它的侧面展开图】

1.明确要素：

1.2.在黑板上画出圆锥及其侧面展开图（扇形）的对应关系图。

2.3.标出圆锥的要素：底面半径r，母线长l，高h。

3.4.标出扇形的要素：半径R，弧长L，圆心角n。

5.小组合作，寻找等量关系：

1.6.任务三：请对照你手中的圆锥模型和展开后的扇形纸片，以小组为单位讨论并回答：

a)扇形的半径R与圆锥的哪条线段相等？（母线l）

b)扇形的弧长L与圆锥底面圆的周长有什么关系？（相等）

c)你能用圆锥的r和l来表示这个扇形的圆心角n吗？

2.7.学生观察、测量、讨论。教师巡视指导。

8.关系梳理与公式推导：

1.9.根据小组汇报，明确核心等量关系：

(1)扇形半径R=圆锥母线长l。

(2)扇形弧长L=圆锥底面圆周长2πr。

2.10.推导侧面积公式：

1.3.11.思路1：圆锥的侧面积就是展开图扇形的面积。已知扇形半径R=l，弧长L=2πr。代入扇形面积公式S=(1/2)LR，得：

S_侧=(1/2)*2πr*l=πrl。

2.4.12.思路2：利用圆心角比例。由L=nπl/180且L=2πr，可得n=360r/l。再代入S=nπl²/360，同样得到S_侧=πrl。

3.5.13.强调公式：圆锥的侧面积公式S_侧=πrl（r是底面半径，l是母线长）。

6.14.推导全面积公式：

1.7.15.圆锥的全面积等于侧面积加上底面积。

2.8.16.S_全=S_侧+S_底=πrl+πr²=πr(l+r)。

9.17.探究圆心角n的计算公式：

1.10.18.由2πr=nπl/180，可得n=360r/l（度）或n=(r/l)*360°。

2.11.19.讨论：当n=360°时，侧面展开图是什么？（一个圆，此时圆锥退化为一个圆柱的侧面？不，此时圆锥不存在，因为母线需大于底面半径，n<360°）当n=180°时，侧面展开图是半圆。

【设计意图】本环节通过模型操作与逻辑推理相结合，让学生自己发现圆锥与其展开图各元素间的对应关系。推导过程提供了两种思路，展现数学思维的灵活性。特别强调侧面积公式与扇形面积第二公式的联系，强化知识的结构化。对圆心角n的讨论，加深了学生对圆锥与其展开图之间制约关系的理解。

环节三：应用公式，解决问题（预计时间：15分钟）

【例题3】（直接应用）

一个圆锥形冰淇淋纸筒，其底面半径为3cm，母线长为10cm。制作这样一个纸筒（接口忽略不计）需要多少平方厘米的纸板？

（学生口述，教师板书：S_全=πr(l+r)=π×3×(10+3)=39π≈122.46cm²。强调实际问题中需根据精度要求决定是否取近似值以及如何取近似值。）

【例题4】（关系转化与方程思想）

已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，且扇形的半径为12cm。求这个圆锥的底面半径和它的全面积。

1.引导分析：已知展开图（扇形）的半径（即圆锥母线l=12）和圆心角n=120°，求底面半径r。

2.解法：

1.3.求底面半径r：利用弧长相等。扇形弧长L=nπl/180=120×π×12/180=8π。这等于底面圆周长2πr，所以2πr=8π，解得r=4cm。

2.4.求全面积：S_全=πr(l+r)=π×4×(12+4)=64πcm²。

5.变式：如果已知条件是圆锥的高为h，而不是母线l，如何求侧面积？（需要先用勾股定理l²=r²+h²求出l）

【设计意图】例题3是公式的直接应用，巩固基础。例题4是本节难点，涉及圆锥、扇形各要素的相互转化，需要学生清晰梳理已知条件（属于扇形）与所求目标（属于圆锥）之间的桥梁（弧长相等），并利用方程求解。变式问题引出了圆锥中r,h,l的勾股关系，为处理更综合的问题做准备。

环节四：课堂小结与作业布置（预计时间：5分钟）

1.小结：引导学生总结圆锥侧面积、全面积公式，并回顾公式推导过程中体现的“立体图形平面化”的转化思想，以及r、l、n之间的数量关系。

2.作业布置（分层）：

1.3.基础巩固：教材课后练习中关于圆锥计算的题目。

2.4.能力提升：一个用芦苇席围成的圆锥形粮仓，已知其底面周长和高，求需要多少平方米的芦苇席。（综合运用周长求r，勾股定理求l）

3.5.项目式学习准备（跨学科）：查阅资料，了解“圆锥曲线”名称的由来（与古希腊用平面截圆锥面有关），思考这与我们今天学习的圆锥侧面展开有何不同？写一份简要的发现报告。

第三课时：圆中组合图形面积的计算（专题课）

环节一：方法梳理，策略导引（预计时间：10分钟）

【问题引领】在现实生活中，我们遇到的图形往往不是标准的扇形或圆形，而是由它们的一部分组合、重叠、拼接而成的复杂图形。例如，弯管处的截面、窗户上的装饰图案、广场上的几何地砖等。如何计算这些复杂图形（尤其是阴影部分）的面积？

【策略归纳】结合学生已有经验（小学求组合图形面积），师生共同归纳解决圆中阴影部分面积问题的常用策略：

1.公式法：对于规则部分（扇形、弓形、环形等）直接套用公式。

1.2.弓形面积：S_弓=S_扇-S_三角形（当圆心角n<180°）或S_弓=S_扇+S_三角形（当n>180°）。

2.3.环形面积：S_环=π(R²-r²)。

4.和差法（整体减空白）：将阴影部分看作几个规则图形面积的和或差。

1.5.例如：S_阴影=S_大扇形-S_小扇形-S_矩形。

6.割补法：

1.7.分割：将不规则图形分割成几个规则图形，分别计算再求和。

2.8.补全：将不规则图形补全成一个或几个规则图形，再用整体减去多余部分。

9.等积变换法：

1.10.平移：将部分图形平移，拼合成规则图形。

2.11.旋转：将部分图形绕某点旋转一定角度，构成规则图形。

3.12.对称：利用轴对称、中心对称，找到面积相等的部分进行代换。

13.容斥原理法：适用于图形有重叠部分的情况，A∪B的面积=A面积+B面积-A∩B的面积。

【设计意图】本环节旨在提升学生解决复杂问题的策略意识。不是急于做题，而是先“磨刀”——系统梳理方法工具箱。教师通过图示展示每种策略的典型图例，使学生形成清晰的策略图景。

环节二：典例剖析，策略应用（预计时间：25分钟）

（以下例题均配以几何画板动态演示图形的生成与分割过程）

【例题5】（和差法与公式法结合）

如图，在边长为2的正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以边长为半径画弧，交对角线BD于E、F两点，求阴影部分（类似于一片“叶子”形）的面积。

1.引导分析：阴影部分可以看作什么？(两个相同的扇形重叠了一部分)

2.解法探究：

1.3.思路一（和差法）：S_阴影=2×S_扇形(BAE)-S_菱形(？)或S_正方形？需要仔细分析重叠部分形状。

2.4.思路二（割补法，更优）：连接AF、CE。可以发现，阴影面积正好等于两个扇形（圆心角为45°）的面积之和减去正方形面积的一半（一个等腰直角三角形）。因为两个扇形覆盖的面积比正方形多出了一块阴影，而多出的部分正好等于阴影本身。

3.5.计算：S_扇(BAE)=(45/360)*π*2²=π/2。两个扇形面积为π。正方形的面积为4。阴影部分面积S=π-(1/2)*4=π-2。

6.关键点拨：识别出“两个扇形面积之和-正方形面积=阴影面积”这一关系，需要对图形有深刻的洞察力。可以通过假设阴影部分“移动”或“”来帮助理解。

【例题6】（等积变换——旋转法）

如图，以直角三角形ABC的直角顶点C为圆心，以CA为半径画圆，交斜边AB于点D。已知CA=3，CB=4，求阴影部分（弓形AD）的面积。

1.引导分析：弓形AD的面积=S_扇形(ACD)-S_△ACD。但△ACD的面积不易直接求。观察图形，你能发现什么特殊关系？（∠ACB=90°，CA=CD，△ACD是等腰三角形）

2.等积变换：将△ACD绕点C逆时针旋转，使CA边与CB边重合。因为CA=CB（半径相等吗？不，CB不一定等于CA。此处CA是半径，CB是直角边，不一定相等。此路不通）。换一种思路：连接CD。在Rt△ABC中，由勾股定理AB=5。能否求∠ACD？因为AC=AD（都是半径），△ACD是等腰三角形，但底角未知。

3.更直接的方法（和差法）：S_阴影=S_扇形(CAD)-S_△CAD。

1.4.求扇形圆心角∠ACD：在Rt△ABC中，sin∠ABC=AC/AB=3/5=0.6，∠ABC≈36.87°。由于CA=CD，∠CAD=∠CDA。又∠ACB=90°，∠BCD=90°-∠ABC≈53.13°。在△ACD中，∠ACD=180°-2∠CAD。而∠CAD=∠CAB？不。实际上，∠ACD是圆心角。观察发现，△BCD也是等腰三角形吗？(CD=CB?不，CD=CA=3,CB=4)。这个图形较为复杂，作为例题可能过难。

调整为一个更典型的旋转等积例题：

如图，正方形ABCD边长为2，以B为圆心，AB为半径画弧AC。以D为圆心，AD为半径画弧AC。求两弧之间的阴影部分（类似于一个“透镜”形）的面积。

1.5.解法（旋转法）：将左上角的阴影弓形AmC绕正方形中心旋转90°或180°，可以与另一部分阴影拼合。更巧妙的是：将弓形AmC绕点B逆时针旋转90°，可以与弓形AnC恰好拼成一个正方形减去一个四分之一圆。因此，S_阴影=2*[S_正方形(B某)-S_1/4圆]。但需仔细确定旋转后的位置。实际上，更通用的方法是：S_阴影=2*(S_扇形(BAC)-S_△BAC)=2*(π-2)=2π-4。

【例题7】（容斥原理与整体思想）

如图，三个半径均为r的等圆两两外切，求这三个圆所围成的中间阴影部分（曲边三角形）的面积。

1.引导分析：阴影部分=大等边三角形面积-三个扇形面积。

2.解法：

1.3.大等边三角形的边长=2r，其面积S_△=(√3/4)*(2r)²=√3r²。

2.4.每个扇形的圆心角是多少？由于三圆两两外切，连接三个圆心构成边长为2r的等边三角形，所以每个圆心处的夹角为60°。因此每个扇形面积S_扇=(60/360)*πr²=(1/6)πr²。

3.5.三个扇形总面积=3*(1/6)πr²=(1/2)πr²。

4.6.S_阴影=S_△-三个扇形面积=√3r²-(1/2)πr²=r²(√3-π/2)。

【设计意图】通过一组具有代表性的例题，分别展示和差法、等积变换法、容斥原理法的应用。教师在分析时，着重引导学生“读图”——观察图形结构，寻找图形间的特殊关系（相等、对称、旋转），从而选择最优策略。动态几何软件的演示可以帮助学生直观理解图形的割补与变换过程。

环节三：课堂练习，巩固提升（预计时间：8分钟）

【小组竞赛】分发任务卡，每组一题，限时5分钟分析讨论并给出关键思路。

1.如图，半圆O的直径为10，C、D是半圆弧的三等分点，求阴影部分（弦CD与弧CD围成的图形）的面积。

2.如图，将边长为a的正六边形各顶点与中心连接，并以各边为直径向外作半圆，求所有半圆在六边形外部的弓形面积之和。

3.如图，等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，分别以A、B为圆心，以1