江苏扬州市2026届高三第一次调研测试数学试卷（含答案）

扬州市2026届高三第一次调研测试数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案杯号法黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题上指定位置上,在其他位置作答一律无效.3.本卷满分为150分,考试时间为120分钟,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={1,2,3,A.32B.16C.8D.42.若复数z满足1−iz=3−2iA.52B.−52C.3.x2+1A.20B.-20C.-12D.-84.若e1,e2是夹角为120∘的两个单位向量,则a=2A.−217B.217C.5.用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字),在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是()A.518B.49C.56.已知数列an为等差数列，a2，a7，为函数fx=A.1B.3C.5D.37.已知函数fx=cos3x−cos2x,x∈0,π，若fx有两个零点A.14B.−14C.8.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，过点F且斜率为kk≠0的直线l交双曲线于A、A.1,233B.1二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.一组数据x1,x2,x3,⋯,x10满足A.极差变大B.平均数变大C.方差变小D.第25百分位数变小10.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，各棱长均为A.ADB.BC1⊥C.VD.三棱柱ABC−A1B11.已知logab>0a>0且a≠1A.lnb<C.ba−三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知圆柱Γ1与圆锥Γ2的高的比为3,底面半径的比为22,若圆锥Γ2的体积为1,则圆柱13.已知抛物线x2=2y上距离点A0,a14.定义:x是不大于x的最大整数，{x}是不小于x的最小整数，设函数.fx={xx}在定义域[0,n)n∈N∗上值域为四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图,P为圆锥的顶点,O为圆锥底面的圆心,AB为底面直径,四边形POBC是梯形,且PC//OB,PC=1(1)若点M在线段AD上，且AM=3MD，求证:PM∥平面(2)当直线PD与平面PAB所成的角为30∘时，求二面角A−16.近年来某App用户保持连续增长,若李明收集了2020~2024年的年份代码xx=1,2,3,4,5与该年份代码x12345App在线用户数y(单位:万)80150210260300(1)求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱:(2)从2020~2024年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望EX注:样本相关系数r=i=1nxi−xyi−yi=117.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a(1)求tanC+(2)若△ABC的面积为c26，求(3)若b=2，当角A最大时，求△18.已知函数fx=x2+(1)求a与b的关系式；(2)求出fx(3)设a>0,gx=a2ex−2,若存在19.过双曲线x2a2−y2b2=1a>(1)求双曲线方程；(2)过点Bm,0m>a的直线与双曲线右支交于P、Q两点，连接AP、AQ,直线x=(i)若m=2，求n(ii)求n的最小值.1.C由B=x∣log2x−1≤2={x∣1<x≤5故选:C2.C若复数z满足1−i则z=故复数z的虚部为123.B因x2则x−1x6由6−2r=0解得r=3,所以故选:B4.A因为e1,e2是夹角为所以e1设θ为a,bcos故选:A.5.C将3个偶数排成一排有A33种,再将3个奇数分两种情况插空有2所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数有2A3任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻,分两种情况讨论:当个位是偶数:2在个位,则1在十位,此时有A222不在个位:将4或6放在个位,百位或万位上放2,在2的两侧选一个位置放1,最后剩余的2个位置放其它两个奇数,此时有C21所以个位是偶数共有20种;同理,个位是奇数也有20种,则任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻数有40种,所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下,1和2相邻的概率是4072故选:C由fx=12x令f′x=0,得x2−3x+1因为a2,a7为函数a2,a7是方程a2+a7=3,因为故选:B.7.B易知fx令fx=0,则sin5x2sinx2=可得5x2=kπ或因此x=25kπ又因为x∈0,π所以cos=故选:B.8.A设双曲线的右焦点为Fc,0,A联立方程x2a2−y2b2=则可得b2则AB=设线段AB的中点Mx0x即M−且k≠0,线段AB的中垂线的斜率为则线段AB的中垂线所在直线方程为y+令y=0,则b2kcb即D−k2c3由题意可得:AB≥3DF,即整理得2a≥3c,则注意到双曲线的离心率e>∴双曲线的离心率取值范围是1,故选:A.9.C由于xi故x2A选项,原来的极差为x10−x1=18,去掉x1,B选项，原来的平均数为x1+去掉x1,x10后的平均数为xC选项,原来的方差为x1−x1−92+x2−x1−D选项,10×25%=2.5,从小到大排列,选第3个数作为第25百分位数,即x3,8×25%=2,故从小到大排列,选择第2个和第3个数作为第25百分位数,即x3+x42,由于故选:C10.AD对于A,因为多面体ABC−A1B1C1为正三棱柱,则因AD⊂平面ABC,故C又因正三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长均为1,D因CC1∩BC=C,CC1,BC⊂又C1D⊂平面BCC1B1对于B,假设BC1⊥平面AB1C,AC⊂又AC⊥CC1,所以AC⊥平面BCC1B1,又BC⊂平面这与△ABC为等边三角形矛盾，故B对于C,因为△AB1A1的面积与△AB故三棱锥D−AB1A1即VD又S△ABD对于D,设O1为△A1B1C1的外心,O2为△ABC则O1O2与两底面垂直,因故OA=OB=OC=OA1=O又AO2=23即外接球的半径R=216,故ABC−A1故选:AD.11.ACD由logab>0,可知a>又aeb<bea，因a,b同正，两边同除以令fx=exx所以当x∈0,1时，f′x<0，当x∈1,+∞时,f′x>当0<a<10<b<1当a>1b>1且a>b时,令px=xex当x∈1,+∞时,p′x<又a>b>1，所以aea所以lnbea<ln令gx=lnxx所以当x∈0,e时,g′x>当x∈e,+∞时,g′x<0因为a+1>b+1>2即lna+1a+1>ln令hx=x−1记φx=xlnx所以φx>φ1=0,则h′x>0所以ha>hb,即a−所以lnba−1>lnab−1令tx则t′令mx=xlnx,x∈1,+∞,则m所以x+1lnx+1所以lnalna+1>lnblnb故选:ACD.12.3设圆柱Γ1的高为H,底面半径为R,则其体积V1=πR2H,设圆锥Γ2则其体积V2=13π所以V1答案为:313.0设Px,y为抛物线则PA=因为a>所以对称轴a−又由于y≥0,且PA最小时,所以−1所以0<a≤1.14.2n15.(1)解法一:取线段OB的中点N,连接MN,因为PC//OB,PC=12OB，所以因此四边形PCBN是平行四边形,所以PN//又CB⊂平面CDB,PN⊄平面CDB,所以PN//因为AN=3NB,AM=又BD⊂平面CDB,MN⊄平面CDB,所以MN//而PN∩MN=N,所以平面PMN//平面CDB又PM⊂平面PMN,所以PM//平面解法二:在线段BD上取点E,使得BE=3DE,连接又AM=3MD,所以ME//AB又PC//AB，且PC=14AB，所以所以四边形PCEM是平行四边形,所以PM//又CE⊂平面CDB,PM⊄平面CDB,所以PM//(2)由圆锥的对称性不妨取点D为如图所示位置，在圆锥底面内过点D作DF⊥AB于点F,连接因为平面PAB⊥平面ABD,平面PAB∩平面ABD=AB,所以DF⊥所以∠DPF就是直线PD与平面PAB所成的角,所以∠因为PD=PB所以DF=连接OD,则OF=OD2−DF2=1以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则A2于是AP=设平面APD的法向量为n1=x1,y1,z取x1=2,可得设平面PDB的法向量为n2=x2,y2,z取x2=2,可得所以cosn故二面角A−PD−B16.(1)x=则i由i同理i=则i=则r由r接近1且为正,故变量x与y之间有很强的线性正相关关系;(2)X的可能取值为80、150、210，PPP故X的分布列为:X80150210P3531则E17.(1)tan(2)B(3)3(1)∵a+2bcosC=0,由正弦定理可得:sinA+2sin(2)方法1:S△ABC=12ac结合正弦定理得,3sin即3sin则tanC所以−3tanB=3解得tanB=1,又所以B=方法2:同方法1可得3sin由(1)可得sinA=−2sinB即tanC=−6sin2所以tanB=2sin2所以B=(3)方法1:∵a+∴2∴cosA当且仅当c=3b时等号成立,此时A取到最大值∵b=2,∴当A方法2:由(1)知tanC+3tanB所以tan≤223tanB⋅1tanB=3此时A=B=π618.(1)因为fx=x2+因为函数fx=x2+所以f′2=0(不写b=a(2)f′①当a=−2时，f′x=−x−22ex②当a<−2时,令f′x=0得xx−∞,2(2,-a)−−f-0+0-满足x=2是函数f③当a>−2时,令f′x=0得xx−∞,−−(-a,2)22-0+0-f1Z1满足x=2是函数f所以b=所以当a<−2时,函数fx的单调递增区间为2,−a,单调递减区间为−∞,当a>−2时,函数fx的单调递增区间为单调递减区间为−∞,−a和2(3)由(1)(2)知，fx=且a>0时,fx在0,2又因为f0所以fx在0,3上的最大值为f2又当a>0时,函数gx=a2所以gx在0,3上的最大值为g3=因为存在x1,x2∈0即存在x1,x2∈0即−a−a2e<2e2所以实数a的取值范围为0,19.(1)x(2)(i)n=7(1)解:双曲线x2a2−y2b2=1双曲线上一点x0,y0即b2c2=1所以双曲线方程为x2(2)解:(