数学直角三角形（2）课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章三角形的证明及其应用3直角三角形（第2课时）

问题1：我们从边和角的角度认识三角形，转化为从图形全等的角度探索一般三角形全等的条件，其中经历了怎样的研究过程呢？探索发现猜想证明概念性质判定应用丰富的情境三角形三角形的基本要素及重要线段边、角三角形的全等三角形的高线、中线、角平分线角边三角形内角和定理与直角三角形有关的定理与等腰三角形有关的定理与等边三角形有关的定理归纳互逆命题及其真假一般到特殊回顾过程建结构，触发问题引思考问题2：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？

如果其中一组等边的对角都是直角呢？请你画一画，并与同伴进行交流。回顾过程建结构，触发问题引思考【尝试·交流】

已知斜边和一条直角边，如何作出这个直角三角形呢？（1）假设满足条件的直角三角形已经作出，你能画出这个直角三角形的草图吗？（2）你是按照怎样的步骤画这个草图的？先画一画，再用尺规试一试，并与同伴进行交流。作图交流积经验，探索证明促能力

如图1，已知线段a，c（a＜c），用尺规作Rt△ABC，使∠C＝90°，AB＝c，BC＝a。作图交流积经验，探索证明促能力ac图1【尝试·交流】“已知直角三角形的斜边和一条直角边，用尺规作这个三角形”的作法。1.作射线

CN。2.过点

C作射线

CN的垂线

CM。3.在射线

CM上截取CB＝a。4.以点

B为圆心，以线段

c的长为半径作弧，交射线

CN于点

A。5.连接

AB。△ABC就是所要作的直角三角形。作图交流积经验，探索证明促能力【尝试·交流】请按照给出的作法作出相应的图形：作图交流积经验，探索证明促能力作法图形1.作射线

CN。2.过点

C作射线

CN的垂线

CM。3.在射线

CM上截取

CB＝a。4.以点

B为圆心，以线段

c的长为半径作弧，交射线

CN于点A。5.连接AB。△ABC就是所要作的直角三角形。【尝试·交流】请与小组同伴交流你的作图步骤，再利用尺规完成作图。梳理上述作图过程，请你总结“已知直角三角形的斜边和一条直角边，用尺规作这个三角形”的方法和步骤。作图交流积经验，探索证明促能力【尝试·交流】

把你作的三角形与同伴作的三角形进行比较，它们一定全等吗？

可以发现：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。请你尝试证明这一结论。操作发现新结论，推理论证提能力已知：如图2，在△ABC和△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AB＝A'B'，AC＝A'C′。

求证：△ABC

≌△A'B'C'。图2操作发现新结论，推理论证提能力

证明：在△ABC中，

∵∠C＝90°，

∴BC

2＝AB2－AC2(勾股定理)。

同理，B

′C

′

2＝A′

B′

2－A′C′

2。

∵AB＝A′

B′，AC＝A′C′，

∴BC＝B′C′。

∴△ABC≌△A′B′C′

(SSS)。图2定理

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”。操作发现新结论，推理论证提能力

如图3，在

Rt△ABC

和

Rt△A′

B′C′

中，∠C＝∠C′＝90°。

∵AB＝A′B′

，AC＝A′C′

(已知)。

符号语言：

∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′

(HL)。图3方法总结提思维，知识迁移搭框架问题1：你能说出证明两个直角三角形全等的其他判定条件吗？问题2：你是怎样找到问题1中的判定条件的？问题3：你是经历了怎样的研究过程得到“斜边、直角边”定理的？接下来，你会研究与三角形相关的哪些定理？这些定理的得到一般会经历怎样的过程？归纳探索发现猜想证明概念性质判定应用丰富的情境三角形三角形的全等三角形的基本要素及重要线段边、角与直角三角形有关的定理角边三角形内角和定理与等腰三角形有关的定理与等边三角形有关的定理三角形的高线、中线、角平分线互逆命题及其真假一般到特殊方法总结提思维，知识迁移搭框架图4

例如图4，有两个长度相等的梯子，左边梯子竖直方向的高度

AC

与右边梯子水平方向的长度

DF

相等，两个梯子的倾斜角∠CBA

和∠EFD

的大小有什么关系？

解：根据题意，可知

∠BAC＝∠EDF＝90°，

BC＝EF，AC＝DF，

∴Rt△BAC≌

Rt△EDF

(HL)。

∴∠CBA＝∠FED(全等三角形的对应角相等)。

∵∠FED＋∠EFD＝90°(直角三角形的两个锐角互余)，

∴∠CBA＋∠EFD＝90°。实际应用激兴趣，随堂练习固新知1.判断下列命题的真假，并说明理由：（1）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；（2）斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等；（3）两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；（4）一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等。典例分析助规范，随堂练习固新知随堂练习2.如图5，已知：AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：BD＝AC。典例分析助规范，随堂练习固新知随堂练习图5

1.教科书习题1.3第3，4，5，6