数学线段的垂直平分线（2）课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章

三角形的证明及其应用4

线段的垂直平分线（第2课时）1.说一说线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。2.如何用尺规作线段的垂直平分线？依据是什么？3.关于线段的垂直平分线，你还记得哪些应用或结论？∵直线MN是线段AB的垂直平分线，且点P是直线MN上一点，∴

PA＝PB

。∵PA＝PB，∴点P在线段AB

的垂直平分线上。情境引入，提出问题PQ图1图3图2（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？已知：如图4，线段a，h。求作：△ABC，使BC＝a，BC边上的高为h。【结论】如图5，因高的位置不确定，可画无数个。ha活动探究，形成结论【尝试·交流】图4图5（2）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能画出满足条件的等腰三角形吗？能画几个？已知：如图6，线段a，h。求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h。【结论】如图7，因高的位置确定，可画两个，且全等。（等腰三角形底边上的高必在

上）活动探究，形成结论ha图6图7【尝试·交流】已知：如图8，线段a，h。用尺规求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h。（3）对于（2），你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？活动探究，形成结论梳理上述作图过程，请你总结“已知底边和底边上的高，用尺规作这个等腰三角形”的方法和步骤。ha图8【尝试·交流】作法图形1.作线段BC，使BC＝a。2.作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D。3.在l上截取DA＝h。4.连接AB，AC。△ABC就是所要作的等腰三角形。活动探究，形成结论已知：如图8，线段a，h。用尺规求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h。ha图8【尝试·交流】

活动主题：用尺规过一点

P作已知直线

l的垂线

m。①如图9，点P在直线l上（已知）分类讨论②如图10，点P在直线l外（未知）活动探究，形成结论【思考·交流】图9图10作法图形1.任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁。2.以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧，交直线l于点A和点B。3.作线段AB的垂直平分线m。直线

m就是所要作的直线。活动探究，形成结论活动主题：用尺规过一点

P作已知直线

l的垂线

m。【思考·交流】图10随堂练习尺规作图：

如图11，已知△ABC，作BC边上的高AD。【要求】1.自主作图；2.同伴口述作法。策略迁移，解决问题图11例2

已知：如图12，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E。求证：边AC的垂直平分线经过点P。策略迁移，解决问题图12

证明：如图13，连接PA，PB，PC。

∵点P在边AB的垂直平分线上，

∴PA＝PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)。同理，PB＝PC。∴PA＝PB＝PC。

∴点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，即边AC的垂直平分线经过点P。图13你有什么发现？请分享。【结论】三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的

距离相等。课堂小结

在本节课的学习中，你收获了什么？还想到了什么？线段的垂直平分线基础知识基本技能基本思想活动经验<必做题——基础夯实>1.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（

）。A．三条高的交点

B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点

D．三条边的垂直平分线的交点2.如图15，点D是AC边的垂直平分线与BC边的交点，作DE⊥AB于点E，若∠BAC＝68°，∠C＝36°，则∠ADE的度数为（

）。A．56°

B．58°

C．60°

D．62°图15作业布置3.在以线段AB为底边的所有等腰三角形中，它们顶角顶点位置的共同特征是__________。4.如图16，已知O为△ABC三条边垂直平分线的交点，且∠A＝52°，则∠BOC的度数为__________。

图16作业布置5.如图17，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，完成下列尺规作图：（1）作AC边上的高BD；（2）作△ACE，使△ACE≌△ABD，且点E在AB边上。图17作业布置6.如图18，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB

的垂直平分线交BC

于点E，AC

的垂直平分线交BC

于点F。（1）若BC＝2，求△AEF

的周长；（2）若∠BAC＝α，则∠EAF＝

。（用含α

的代数式表示）

图18作业布置<选做题——综合提升>1.如图19，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F。点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点。若BC＝4，△ABC的面积为15，则MC＋MD的最小值为_________。作业布置图122.如图20，某市三个城镇中心

A，B，C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇中心A为出发点设计了三种连接方案：（1）AB＋BC；（2）AD＋BC（D为BC的中点）；（3）OA＋OB＋OC（O为△ABC三边的垂直平分线的交点）。要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？作业布置（1）（2）（3）图20<实践题——操作与探究>1.某市打算修建一个大型体育中心。在选址过程中，有人建议该体育中心所在位置到该市的三个城镇中