2025-2026学年下学期湖南省长沙市长沙一中高三数学3月月考七试卷（含解析）

高三数学注意事项:1.答卷前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时.选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合U=R,AA.−12,+∞B.−12.已知a,b是两个不共线的向量,向量b−ta,1A.13B.32C.43.已知等差数列an的前n项和为Sn,其中an=19−2n,则A.8B.9C.10D.114.已知直线l1:ax+2y−a+1=A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件已知函数fx=log2x2−ax在区间A.−∞,1B.(−∞,1]C.i.已知PM=12A.45B.34C.2在平面直角坐标系xOy中,A−2,0,B2,0,直线AMA.3B.6C.451知函数fx=21−x,0≤x≤2,12fx−2,二、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分)9.已知z1=A.z1=C.z1c10.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施.上面挂在轮边缘的是供乘客搭乘的座舱.某地一摩天轮与地面的垂直高度(最高处与地面的距离为)208米，直径为193米、人口在最底部.座天轮逆时针方向匀速转动。30分钟转一圈，假设该摩天轮共有36个座舱，且每两个座舱间隔相等,则下列说法正确的是A.若摩天轮的转速减半、则其旋转一圈的时间是原来的一半B.乘客从人口进入座舱，摩天轮开始转动后，乘客距离水平地面的高度h(米)与时间t(分钟)的函数解析式为hC:乘客从人口进入座舱，摩天轮转动10分钟后，乘客距离地面的高度为163.25米D.游客乙在游客甲后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，两人距离地面的高度差的最大值为96.5米11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CDA.若P为线段BC1上一点,则三棱锥DB.若该正方体表面上的动点T满足D1T=2，则动点TC.若P为侧面BCC1B1的中心，则过点E且与DPD.若该正方体的内切球表面上的动点Q满足BQ//平面ACD1,则线段BQ三、填空题(本大题共3个小题,每小题5分,共15分)12.设随机变量X∼N0,σ2,且13.过点0,−2与圆x2+y2−4x−4.设bi>0i=1,2,⋯,n,则称nb1b2⋯bn为b1,b2,⋯,bn这四、解答题(本大题共5个小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180(1)证明:BC(2)已知AC=2，△ABC的外接圆半径为1，求16.(本小题满分15分)如图1,在正方形ABCD中,AB=5,E为BC的中点,过点B作AE的垂线,与AE,CD分别交于点O,F,把四边形ABFD沿BF折起,使得AO⊥平面BCF,点A,D图1图2(1)设A1G=12GC，M是线段BF(不含端点)上一动点，是否存在点M，使得BC⊥MG(2)求平面A1BC与平面D17.(本小题满分15分)如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为2(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与椭圆C分别交于M，N两点，且总有A2B2平分∠MA218.(本小题满分17分)已知函数fx(1)当α=12时，讨论(2)当α=3时,若曲线y=fx恰有两条过点−1(3)设p,q为非负实数，s,t为正实数，若s+19.(本小题满分17分)DM训练机器人玩传球游戏.现有编号为1,2,⋯,nn∈N∗,n≥3的n位球员围成一个圆,机器人DM居于圆心位置，传球规则如下:球由DM传给球员，任何球员接球都直接传回DM为一次传球.DM传球给目标球员顺序依次为1→2→3→⋯→n.每次传球时，DM只从尚未接球的球员中随机选择一人，若选中当前目标球员(如当前应传至k号，则k(1)当n=5(i)求DM第3次恰好成功完成给2号球员传球的概率；(ii)设X为完成全部传球所需总次数，求X的分布列及数学期望EX(2)设Xn为完成全部传球所需总次数，若EX+Y=高三数学参考答案一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)题号12345678答案CDBCBAAD1.C因为∁UA=x∣2.D由题得−t12=13.BSn=12a1+ann4.C当a=−2时,直线l1:2x−2y−3=0,l2:3x−3y−2=0,此时l1//l2,故“a=−2”是“l1//l2”的充分条件;5.B由题可知,a2≤1且1×1−a6.A由全概率公式知PM=PNPM∣7.A设Mx,yx≠±2,则kAM=yx+2,kBM=yx−2,由题意得yx+2−yx−2=8.D当0≤x≤1时,fx=2−2x,当1<x≤2时,fx=2x−2,当2<x≤3时,0<x−2≤1,fx−2=2−2x−2=−2x+6,所以若函数gx=fx−kx有4个零点,即y=f当直线y=kx过点A4,1时,k=14;当直线y=由图可知,y=fx与y=kx有4个交点时,有二、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,至少有两项符合题目要求,若全部选对得6分,部分选对得部分分,选错或不选得0分.)题号91011答案ABCBDACD9.ABC因为z1=2+i,z2=1−2i,所以z1+z2因为z1所以z1z2=z1因为z1=2−i,zz1z2=2−i1−故选ABC.10.BD对于A，若摩天轮的转速减半，则其旋转一圈的时间是原来的2倍，故A错误；对于B,设函数解析式为ht=Asinωt+φ+B,A>0,ω>0,φ<π,则A+B=208且−A+B=208−193=15,解得A=96.5,B=111.5,摩天轮转动的周期为30分钟,由于2πω=T,则ω=2πT=π15,所以ht=96.5sinπ15t+φ+111.5,令t=0,则有96.5sinφ+111.5=15,解得φ=−π2,所以11.ACD若P为BC1上一点,因为BC1//AD1,易证BC1//平面AD1E,所以点P到平面AD1E的距离不变，又△AD1E的面积固定不变，所以三棱锥P−AD1E，即三棱锥D1−PAE的体积为定值，故A正确；因为该正方体的棱长为若P为BCC1B1的中心,即为BC1的中点,取CC1的中点N,连接PN,DN,AE,D1E,AD1,如图1,则D1E⊥ DN,PN//BC.易证BC⊥D1E,所以PN⊥D1E,又DN∩PN=N,DN,PN⊂平面DPN,所以D1E⊥在正方体中,平面A1BC1//平面ACD1,因为点Q满足BQ//平面ACD1,所以点Q在平面A1BC1上.又因为点Q在正方体的内切球表面上,所以点Q的轨迹为正三角形A1B故选ACD.图1图2三、填空题(本大题共3个小题,每小题5分,共15分)12.0.83由题意知,PX则PX13.302因为圆x2+y2−4x−1=0,即x−22+y2=5,可得圆心C2,0,半径r=514.4050若删除的是1，则剩下的n个数的几何平均数最大，最大值为n2若删除的是2n,则剩下的n最小值为n2则2n−12<22025<2n+12四、解答题(本大题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(1)设∠BAC因为∠ABC+∠ADC=180在△ABC中,由正弦定理得,AC在△ACD中,由正弦定理得,AC所以BC=CD(2)因为△ABC的外接圆半径为在△ABC中，ACsin∠ABC=2，∴sin∠ABC=22当∠ABC=45∘时，设则在△ABC中,AB=2sinπ4+θ∴S∴当4θ=π2,即θ=π8当∠ABC=135∘时，将∠ABC=45∘故△ABC面积的最大值为1216.(1)存在点M，且当BMMF=32由题意，知OE,OF,OA1两两垂直，所以以点O为原点，分别以OE,OF,OA1为x因为AB=所以可求得AO=所以A10,0,因为点M在线段BF上,所以可设M0因为A1G=12GC所以MG=假设存在点M,使得BC⊥MG,则所以13+23−2t=0所以BM=所以存在点M，且当BMMF=32时，(2)由(1)得A10,0,2，B0,−1,0，所以BA1设平面A1BC的法向量为n=x取z1=1,得y1=−2,x1=4设平面D1CF的法向量为m=x取z2=1,得y2=−2,x2=−1,则m=−1,−2,1则cosθ所以平面A1BC与平面D1CF所成角的余弦值为17.(1)由题意得e=S四边形A1B1∴椭圆C的标准方程为x24(2)令kA2由A2B2平分∠MA2得到tanα+β2=k故有k1+k21−设l:联立x2+2y2于是有x1+又k1k代入①式化简得，m=−6k−2则直线l:即可证直线l恒过定点6,−218.(1)当α=12时，函数fx的定义域为0,+∞当b≤0时,f′x>0,所以f当b>0时,令f′x>0,解得x∈0,1令f′x<0,解得x∈14b2,+∞,所以(2)设切点为x0,x03−所以切线方程为y−因为切线过点−1,0,所以整理得2x因为曲线y=fx有两条过点所以关于x0的方程2x03令gx=2x3+3x因为g′令g′x>0,解得x∈−∞,−1∪0,+∞令g′x<0,解得x∈−1,0又g−可知b∈1(3)不妨设0≤p当p=0时,左边=0,右边=qt,所以左边当0<p=q时,左边=p,右边=p当0<p<q时,因为s,t为正实数,要证psqt≤ps+qt,即证即证pq令α=b=s因为0<s<1,所以s−1<0,所以所以当0<x<1时,xs−1>1,所以f′因为0<p<q所以fpq<f1=0,所以综上可知,ps19.(1)(i)设事件B:“DM第3次恰好成功完成给2号球员传球”，事件Ai:“DM第i次完成给1号球员传球i由题知,前2次机器人DM一定会成功传球给1号球员,否则第3次传球给2号球员也算传球失败,如果第1次机器人DM成功传球给1号球员，PA1如果第2次机器人DM成功传球给1号球员，PA