2026年国际数学奥林匹克中国国家集训队测试一第一天试题+答案_第1页
2026年国际数学奥林匹克中国国家集训队测试一第一天试题+答案_第2页
2026年国际数学奥林匹克中国国家集训队测试一第一天试题+答案_第3页
2026年国际数学奥林匹克中国国家集训队测试一第一天试题+答案_第4页
2026年国际数学奥林匹克中国国家集训队测试一第一天试题+答案_第5页
全文预览已结束

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

2026年国际数学奥林匹克中国国家集训队测试一第一天试题题1．设Fn为Fibonacci数列，其中F0=0初始时，黑板上写有数对0,0．一次操作擦去黑板上原有的数对x,y，然后写上x+Fk,y+Fk+1或x−Fk,题2．给定圆Ω，Ω上的两点A,B，以及满足∠ACB=90∘且AC<BC的点C．设AB的中点为M,P是优弧AB上的动点，使得∠CMP>90∘．设点题3．设整数n>k>1,zn并求等号成立的条件．2026年国际数学奥林匹克中国国家集训队测试一第一天试题解答题1．设Fn为Fibonacci数列，其中F0=0初始时，黑板上写有数对0,0．一次操作擦去黑板上原有的数对x,y，然后写上x+Fk,y+Fk+1或x−Fk,证明：记ϕ=1+52,ψ=1−52．Fibonacci根据规则，每次操作可以对黑板上的数对加上或减去Fk,Fk+1，而根据上述观察，每次操作也可以对黑板上的数对加上或减去Fk,−Fk−1．引理：任意正整数p可以表示为不超过log2p+1证明：设Ln=Fn+Fn+2，则L0=1,归纳证明，p=1,2时显然．对于正整数p≥3，设下标k满足Lk≤p<Lk+1，于是由引理，可以通过不超过2次操作，将0,0变为p,题2．给定圆Ω，Ω上的两点A,B，以及满足∠ACB=90∘且AC<BC的点C．设AB的中点为M,P是优弧AB上的动点，使得∠CMP>90∘．设点证明：设直线BC再次交圆Ω于点K，则K为定点．我们证明K满足条件．设直线CQ与AB交于点E．因为CQ∥MP，故∠CB设∠AKC=∠APB=α，2PA因此CB设直线CM与PQ交于点R（图中未画出），则由∠RPM=∠QPM=∠MCP可知MCCQ由于MB=MC，这意味着CBCE=CQCK∠=题3．设整数n>k>1,zn并求等号成立的条件．证明：设D={z∈ℂ:z引理：设z1,z2,…,1等号成立当且仅当z1,z2,…,证明：对每个1≤i≤n，固定zjj≠i，考虑函数fzi=1−z1z2⋯znn−z1−⋯−zn=1−azib−zi．由于Reb=n−j≠i​Rezj≥1，因此b−zi在我们用归纳法证明引理，n=1时结论平凡．注意若引理对n≥2成立，取zn=1可知引理对n−1也成立由前述的观察，不妨设所有zi的模长均为1．对k=1,2,…,n，取模长为1的复数wk及实数ck∈−1,11由归纳假设，n−i=1nciwi≥1−c4=由归纳假设，等号成立要求是c1w1,…,cnwn中至少有n−1个等于1．不妨设c2w2=⋯=cnwn=1，由于z2k−1+z2k=2ckwk=2，因此z3回到原题．我们归纳证明题目中的不等式成立，且等号成立当且仅当z1,…,zn中至少有n−1个等于1．假设结论对n−1,k成立（其中设fz=z−z1⋯z−zn，并设f′z=nz−w1⋯1对w1,…,wn代换为zi，n两边乘以nn−由归纳假设（当k=n−1时利用引理），等号成立要求w1,…,wn−1中至少有n−2个等于1．由于n≥3

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 考试试卷

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论