第八章线性代数基础

高等数学第八章知识归纳——————————————【囊萤映雪•濂萤引学】线性代数总体知识点回顾总结掌握：二、三阶行列式的计算及计算简单的n阶行列式；矩阵概念；矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律；求矩阵的秩；矩阵的初等变换；矩阵求逆的方法；齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件，用行初等变换求线性方程组通解的方法；矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值与特征向量.熟悉：单位矩阵，对角矩阵，上、下三角矩阵和对称矩阵；逆矩阵的概念和逆矩阵存在的条件；会用克拉默法则判别线性方程组的解的情况和求二、三元线性方程组的解；矩阵的秩的概念，会根据矩阵的秩判别线性方程组的解的情况.了解：行列式的定义和性质；对称矩阵和正交矩阵概念；线性代数在医学上的应用.一、基础知识回顾第一节行列式（一）行列式定义与性质1．n阶行列式的定义a2．行列式的性质（1）行列式与它的转置行列式相等．（2）互换行列式的两行（列），行列式变号．（3）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数，等于用这个数乘以此行列式．（4）行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。（5）如果行列式的某一行（列）元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.（6）把行列式的某一行（列）各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变.（7）如果行列式中有一行（列）元素全是零，则此行列式等于零．3．行列式按行（列）展开定理（1）行列式等于它的任一行（列）的各元素与其相对应的代数余子式乘积之和．（2）行列式某一行（列）元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零．（二）行列式的计算（1）利用行列式的性质计算：利用行列式的性质把行列式化为上（下）三角形行列式，然后计算主对角线上元素的积，便得到行列式的值.（2）将行列式进行降阶计算：用代数余子式按行（列）展开，逐次降阶的方法计算行列式．此方法适用于行列式的阶数较小时，或含有0元素较多的行列式．（3）结合使用行列式性质和展开式定理计算：在实际计算中，为了简化行列式的计算步骤，常把行列式的性质和行列式按行（列）展开降阶结合使用.本节小结：学习本节内容要正确理解n阶行列式的定义，熟记行列式的性质，利用行列式的性质计算行列式是行列式计算中重要的和常用的方法，必须掌握.行列式的性质不仅要熟记，还要会灵活运用.第二节矩阵（一）矩阵的运算1．矩阵的加法两个矩阵的对应元素相加．注：（1）矩阵的加法满足交换率和结合律．（2）只有当两个矩阵是同型矩阵时才能相加．（3）两个矩阵相加与两个行列式相加有不同的规定，矩阵相加是两个矩阵的所有对应元素都得相加，而两个行列式的相加只是一行（或一列）对应元素相加.2．矩阵的减法一个矩阵减法另一个矩阵，实际上就是这个矩阵加上另一个矩阵的负矩阵．3．数与矩阵相乘数乘以矩阵的每一个元素，且数与矩阵相乘满足结合律和分配律．注：矩阵的数乘与行列式的数乘规定是不同的，矩阵的数乘是矩阵的所有元素均乘数；行列式的数乘是一行（或一列）元素乘数.4．矩阵的乘法积矩阵的每一个元素等于左矩阵对应的行元素与右矩阵对应的列元素乘积之和.注：（1）只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘．（2）矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律和消去律．所以，在矩阵乘法中必须注意矩阵相乘的条件和顺序.（二）矩阵的逆1．逆矩阵的定义对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B，使AB=BA=I，则说矩阵A是可逆的，B=A-1.2．逆矩阵的性质（1）若AB=I(或BA=I)，则B=A-1（2）如果矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是唯一的．（3）方阵A逆矩阵存在的充分必要条件是A为非奇异矩阵，且A-1=1/A（4）若A可逆，则A-1亦可逆，且(A-1)-1=A.（5）若A可逆，数，则λA可逆，且（λA)-1=1/λA-1（6）若A，B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且(AB)-1=B-1A-1（7）若A可逆，则AT亦可逆，且(AT)-1=(A-1)T.3．逆矩阵的运算（1）用伴随矩阵求逆矩阵：即A-1=1但对于较高阶的矩阵，用伴随矩阵求逆矩阵计算量较大.（2）利用矩阵的初等行变换求逆矩阵：即构造nx2n矩阵(I)nx2n，对这个矩阵施以若干次初等行变换，将它的左半部分A化成单位矩阵后，同时右半部分I就化成A-1，即(I)nx2n→(IIA-1)nx2n注：利用矩阵的初等变换是求逆矩阵常用的方法，较为简便.但在运用初等变换求逆矩阵的运算中或者全部实施初等行变换，或者全部实施初等列变换，不可以既有行变换又有列变换.（三）矩阵的秩1．矩阵的秩定义设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有大于r阶的子式（如果存在的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A）.即A的秩就是A中不等于0的子式的最高阶数．2．矩阵的秩求法把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩.这是求矩阵秩常用的方法.本节小结：学习本节内容要正确理解逆矩阵和矩阵秩的概念，熟记逆矩阵的性质.利用矩阵的初等行变换求逆矩阵是本节的重点.第三节线性方程组（一）线性方程组有解的条件设n元线性方程组的系数矩阵为A，增广矩阵为B，则1．一般n元线性方程组有解的充要条件（1）当R(A)=R(B)=n时方程组有唯一解；（2）当R(A)=R(B)<n时方程组有无穷多解；（3）当R(A)<R(B)时方程组无解.2．n元齐次线性方程组有解的充要条件（1）当R(A)=n时，方程组有唯一零解；（2）当R(A)<n时，方程组有非零解.（二）线性方程组求解方法与步骤1．利用克莱姆法则求解线性方程组若线性方程组中变量的个数和方程的个数相同（即m=n），且系数行列式IDI≠0，则方程组有唯一解x1其中Dj(j=1,2,···,n)是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式.2．利用逆矩阵求解线性方程组在矩阵方程AX=B中，若m=n，且I≠0，则先求A，然后X=A-1B为所求线性方程组的解.注：以上两种方法只有当线性方程组所含的方程的个数等于未知量的个数，且方程组的系数行列式不等于零时，才可考虑使用.3．一般线性方程组的解法步骤（1）对于非齐次线性方程组，把它的增广矩阵B化成行阶梯形矩阵，从中可同时看出）和R(B).若R(A)<R(B)，则方程组无解.（2）若R(A)=R(B)，则进一步把B化成行最简形矩阵.而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵A化成行最简形矩阵.（3）若R(A)=R(B)=n，方程组有唯一解，由B（或A）的行最简形矩阵，即可写出唯一解.（4）若R(A)=R(B)=r<n，则方程组有无穷多解，把行最简形矩阵中r个非零行的非零首元所对应的未知量取作非自由未知量，其余n-r个未知量取作自由未知量，并令自由未知量分别等于k1…kn由B（或A）的行最简形矩阵，即可写出含n-r个参数的通解.学习本节内容要理解克莱姆法则和线性方程组有解的判定条件，重点掌握一般线性方程组的解法步骤.第四节矩阵的特征值与特征向量(属于n维向量内容)矩阵特征值和特征向量的定义设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量X使关系式AX=λX成立，那么，数λ称为方阵A的特征值，非零向量X称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量.2．矩阵特征值和特征向量的关系（1）n阶矩阵A在复数范围内有n个特征值，每个特征值具有的特征向量不是唯一的．（2）矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征向量只能属于一个特征值，不同的特征值对应的特征向量也不相等.（3）对应于同一特征值的特征向量的线性组合，还是A的特征向量；但不是同一特征值的特征向量的线性组合，不再是矩阵A的特征向量.3．矩阵特征值和特征向量的求解步骤（1）写出矩阵A的特征多项式IλI-（2）解特征方程λI-Al=0，求出特征值λ.（3）把每一个特征值λ=λ;代入(λ,I-A)X=0，求出该方程的非零解X=P，那么便是A的对应于特征值λ；的特征向量.学习本节内容要正确理解矩阵特征值和特征向量的定义及其关系，本节的重点是矩阵特征值和特征向量的求解方法.题目提醒：解题做题的时候一些必要的认为学生知晓的术语并不会说明，比如I为单位矩阵。本章节编写的时候，可能会出现一些与数学习惯不同的地方或者数学符号的用法，目的在于避免学生在使用时产生歧义，各位同学可以自行辨别，均发生在简单明了的地方，不会有大的错误。知识点区分、深入理解：矩阵和行列式的区别和联系1、矩阵与行列式的区别矩阵是一个表格，行数和列数可以不一样；而行列式是一个代数和，当元素是数时，它是数，且行数必须等于列数。两个矩阵相等是指对应元素都相等；两个行列式相等不要求对应元素都相等，甚至阶数也可以不一样，只要最后代数和的结果一样就行了。两矩阵相加是将各对应元素相加；两行列式相加，是将运算结果相加。（易错点）数乘矩阵是指该数乘以矩阵的每一个元素；而数乘行列式，只能用此数乘行列式的某一行或列，提公因数也是这样的。矩阵经初等变换，其秩不变；行列式经初等变换，其值可能改变。2、矩阵与行列式的联系初等变换的方式相同，都有三种变换；当A与B是同阶方阵时，有|A·B|=｜A｜·｜B｜，等等。行列式与矩阵的联系是矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积。行列式与矩阵的联系是矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积。3、矩阵和行列式简要介绍矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。综合例题例1计算行列式解这个行列式把后n-1行同时加到第1行，其和x+(n-1)a，提出公因式x+(n-1)a，然后各行减去第一行的a倍.例2设P-1AP=B，其中P=-1-411，B=-1解直接演算可解得BK=-1^K002^K,故B备注：上述两道题目均是以行列式的性质为考察的基准点所出的题目，第一题是行列式的行列简单变换，第二题是稍微复杂一些的幂的形式。例3设A为n阶方阵满足A2-A-2I=0，证明A和A+2I均可逆，并求它们的逆矩阵.解由A2-A-2I=0易得：(A-I)A=2I即(1/2)(A-I)A=I，所以A有逆A-1=1/2(A-1)类似可求得(A+2I)(A-3I)=-4I，即(A+2I)-1=(-1/4)(A-3I)备注：此题目中单位矩阵只需要用符号表示即可，解题作答时，题目中全用符号（或者结果重要部分属于未知），我们作答的结果就采用符号。备注：一定要注意矩阵和行列式做初等变化的不同！！！每年都有大量学生出错，本章节有对行列式和矩阵的区别和联系的详细说明，具体位置在章节知识点回顾正下方!!!!分章节练习题目：

备注：第五题是求逆矩阵的典型方法之一，要确保学习此类题目时过程的完整性和对方法的深度掌握。 V小结：行列式和矩阵，二者相互联系却又有所区分，以上题目把行列式和矩阵题目总结在一起，同学们要用心体会。这些题目用的最多的便是初等变换和线性变换，也就是行列式和矩阵的基本性质，所以基本性质一定要牢记。

备注：线性方程组题目可以看作是行列式和矩阵的一个具体应用

备注：第四部分——特征根和特征量同学们按照自己老师的要求按需学习 PS：本资料均为学长学姐依照往年期末考试题、课后题、老师讲课内容所进行的总结和勾画，非老师勾画的重点，仅供同学复习时参考。本资料依照医用高等数学编撰，与大学文科数学内容分布不同，请依照课本进度使用。关于我们：学生服务部是宗濂书院致力于学生学习和权益服务的部门。濂学习项目从2023年八月开始，第一阶段计划为大一学生构建学习资料库，之后逐渐将