自动控制原理-三-时域分析法课件

第三章

时域分析法

2002-09-231.主要内容3.1时域分析基础3.2一、二阶系统分析与计算3.3

高阶系统动态响应及简化分析3.4控制系统的稳定性分析及其代数判据3.5稳态误差分析计算2002-09-232.3.1时域分析基础1.时域分析：根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。时域分析法是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。在已知系统传递函数的情况下，先求得拉氏变换下的Y(s)，再反变换求y（t）一般较方便。2002-09-233.2.典型实验信号及其选择：就是典型输入信号，一般为阶跃信号，斜坡信号，抛物线信号，正弦信号，脉冲信号等典型测试信号。选择什么样的测试信号与系统特性及具体需要有关。如对于突变系统，一般取阶跃信号来测试；对于渐变信号一般取斜坡信号测试；对于宇宙飞船等航空航天系统，则一般取抛物线信号。本章研究的动稳态特性，都是在给定输入下研究的。2002-09-234.3.典型时间响应：初状态为零的系统，在典型输入作用下的输出，称为典型时间响应。单位阶跃响应

系统在单位阶跃输入[r(t)=1(t)]作用下的响应，常用h(t)表示。2002-09-235.单位斜坡响应系统在单位斜坡输入[r(t)=t·1(t)]作用下的响应，常用ct（t）表示。2002-09-236.单位脉冲响应2002-09-237.定义：系统在单位脉冲输入r(t)=δ(t)作用下的响应，常用k(t)表示。2002-09-238.三种响应之间的关系相应的时域表达式为2002-09-239.4.阶跃响应的动态性能指标2002-09-2310.1.峰值时间tp：指h(t)曲线中超过其稳态值而达到第一个峰值所需的时间。2.超调量

％：指h(t)中对稳态值的最大超出量与稳态值之比。3.调节时间ts：指响应曲线中，h(t)进入稳态值附近5%h()或2%h()误差带，而不再超出的最小时间。4.上升时间tr：响应曲线从0开始第一次到达稳态值所经历的时间。5.振荡次数，振荡周期，衰减率………2002-09-2311.3－2一、二阶系统分析与计算1.一阶系统的数学模型及单位阶跃响应微分方程：动态结构图：2002-09-2312.传递函数：一阶系统单位阶跃响应输入：输出：2002-09-2313.初始斜率：2002-09-2314.性能指标1.平稳性

：非周期、无振荡，

＝02.快速性ts：3.准确性ess：2002-09-2315.例3-1

一阶系统如图所示，试求：当KH＝0.1时，求系统单位阶跃响应的调节时间ts，放大倍数K，稳态误差ess。如果要求ts＝0.1s，试问系统的反馈系数KH应调整为何值？讨论KH的大小对系统性能的影响及KH与ess的关系。2002-09-2316.二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统二阶系统的微分方程的一般式为二阶系统的反馈结构图2002-09-2317.二阶系统的传递函数开环传递函数：闭环传递函数：2002-09-2318.二阶系统的特征方程为：解方程求得特征根：s1,s2完全取决于ξ，n两个参数。当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：2002-09-2319.2002-09-2320.2002-09-2321.2002-09-2322.二阶系统单位阶跃响应2002-09-2323.过阻尼系统分析衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度慢衰减项前的系数一个大，一个小二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和超调，但又不同于一阶系统离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小，有时甚至可以忽略不计。过阻尼系统单位阶跃响应2002-09-2324.与一阶系统阶跃响应的比较二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析2002-09-2325.2002-09-2326.2.欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应2002-09-2327.二阶欠阻尼系统的输出拉氏逆变换得：2002-09-2328.二阶欠阻尼系统输出分析二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量组成。稳态分量值等于1，暂态分量为衰减过程，振荡频率为ωd。下图为二阶系统单位阶跃响应的通用曲线。2002-09-2329.下面根据上图来分析系统的结构参数、对阶跃响应的影响。平稳性（％）结论：越大，ωd越小，幅值也越小，响应的振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之，越小，ωd越大，振荡越严重，平稳性越差。2002-09-2330.当＝0时，为零阻尼响应，具有频率为的不衰减（等幅）振荡。阻尼比和超调量的关系曲线如下图所示2002-09-2331.在一定的情况下，越大，振荡频率也越高，响应平稳性也越差。结论：对于二阶欠阻尼系统而言，大，

小，系统响应的平稳性好。2002-09-2332.快速性从图中看出，对于5％误差带，当时，调节时间最短，即快速性最好。同时，其超调量<5％，平稳性也较好，故称为最佳阻尼比。总结：

越大，调节时间越短；当一定时，越大，快速性越好。

2002-09-2333.稳态精度从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零，而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应稳态误差为零。2002-09-2334.欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标2002-09-2335.根据极值定理有：取n=1得:2002-09-2336.2002-09-2337.写出调节时间的表达式相当困难。在分析设计系统时，经常采用下列近似公式。2002-09-2338.三、二阶系统举例例3-2设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入为单位阶跃时，试计算放大器增益KA＝200，1500，13.5时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间tp，调节时间ts和超调量，并分析比较之。输入：单位阶跃函数：2002-09-2339.系统的闭环传递函数当KA＝200时与标准的二阶系统传递函数对照得2002-09-2340.2002-09-2341.当KA＝1500时2002-09-2342.当KA＝13.5时2002-09-2343.系统在单位阶跃作用下的响应曲线2002-09-2344.3.3高阶系统动态响应及简化分析定义：用高阶微分方程描述的系统称为高阶系统；一般把3阶及3阶以上的系统成为高阶系统。高阶系统闭环传递函数其中，q为一阶惯性环节的个数；r为二阶振荡环节个数，系统阶数设为n，则n=q+2r。1.高阶系统的单位阶跃响应2002-09-2345.假设输入信号为单位阶跃信号，则系统响应：欠阻尼时(0<ξ<1),上式可以按部分分式展开：展开式系数a，ai，bk，ck可由待定系数法或留数法求出。2002-09-2346.对上式求拉氏反变换，可求得时域响应：上式右边，第一项为单位阶跃响应的稳态分量；第二项为非周期过程动态分量；第三、四项为衰减振荡的动态分量。**考虑下，若系统负阻尼或极点在复平面的右半部分，则系统响应如何？2002-09-2347.2.高阶系统简化分析若有极点离虚轴较远这些极点到虚轴的距离是其余极点到虚轴距离的5倍以上，也即这些极点的实部的绝对值很大，此时c(t)中第二项对应的部分衰减和快，对系统影响较小，因此这部分极点的作用可以忽略掉。2002-09-2348.若有极点与零点相距很近这些极点到零点的距离是其余极点到该零点距离的1/5以下，此时，每一对这样的极零点构成偶极子，极零点的作用对消。2002-09-2349.闭环主导极点如果高阶系统的某个极点距离虚轴最近（是其它极点到虚轴距离的1/5以下），且附近没有任何零点，则该极点对系统响应起主导作用，称为系统的闭环主导极点。2002-09-2350.3.4系统稳定性分析主要内容：线性定常系统稳定的概念系统稳定的条件和稳定性的代数判定方法。2002-09-2351.一、系统稳定的概念稳定性是指当扰动作用消失后，系统由初始偏差状态恢复到原平衡状态的能力。若系统能恢复到平衡状态，就称该系统是稳定的，若系统在扰动作用消失后不能恢复平衡状态，且偏差越来越大，则称系统是不稳定的。2002-09-2352.二、稳定性的数学条件设系统的微分方程（或增量化线性方程）为：对上式进行拉氏变换得：

化简整理：2002-09-2353.其中：D(s)为系统闭环特征式，也称输出端算子式；M(s)称为输入端算子式。R(s)为输入，C(s)为输出，M0(s)是与系统的初始状态有关的多项式，M0(s)=M02(s)-M01(s)

。整理上式：假定：将C(s)等式右边的两项分别展成部分分式，可得：2002-09-2354.再进行拉氏逆变换，得：2002-09-2355.系统去掉扰动后的恢复能力，应由瞬态分量决定。此时，系统的输入为零。故稳定性定义可转化为：2002-09-2356.特征根的性质对系统稳定性的影响当si为实根时，即si＝

i式中：Ai，Ci均为常值，因此，系统的稳定性仅取决于特征根si的性质，设2002-09-2357.2002-09-2358.当si为共轭复根时，即si，i+1＝

i±

jωi2002-09-2359.综上所述，系统稳定的充分必要条件是：系统的特征方程的所有根都具有负实部，或者说都位于s平面的虚轴之左。（顶顶重要）！！！注：拉氏变换性质中的终值定理的适用条件：sE(s)在s平面的右半平面解析，就是上面稳定条件的另一种表示，即特征方程的所有根si位于s平面的虚轴之左。2002-09-2360.三、稳定性判据本节主要讲下代数判据，代数判据的形式很多，有劳斯判据（Routh），赫尔维茨（Hurwitz)稳定判据，林纳德奇帕特（Lienard-Chipard)判据，劳斯-侯维智稳定判据等。由前面的讲述可知，判定系统稳定的最直接方法是求出系统的闭环特征根，根据特征根的位置判断，但有时候这种计算不方便。代数判据的目的是不直接求特征根，通过间接的方法判断系统稳定性。主要学习一下劳斯判据2002-09-2361.系统特征方程的一般形式为：可以由1+G0（s）=0求出，其中G0（s）=G（s）+H（s）为系统的开环传递函数

。劳斯稳定判据判稳的必要条件（即首先满足的条件）：系统特征方程的系数均大于0或小于0.**若有以下情况：系数符号不同；缺项（有的幂次项没有），则直接断定系统不稳定。满足必要条件的前提下，在用劳斯判据2002-09-2362.劳斯判据：若劳斯行列表第一列的元素均大于0，则系统稳定（有全零行时，即使第一列元素全大于0，系统也是临界稳定的，在此，临界稳定我们认为也是不稳定的）。劳斯行列表的计算系统闭环特征方程：2002-09-2363.则劳斯行列表如下计算：2002-09-2364.如果第一列中出现一个小于零的值，系统就不稳定。第一列中数据符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目，即系统中不稳定根的个数。例3-32002-09-2365.结论：系统不稳定；系统特征方程有两个正实部的根。2002-09-2366.劳斯表判据的特殊情况在劳思表的某一行中，第一列项为零。在劳思的某一行中，所有元素均为零。

在这两种情况下，都要进行一些数学处理，原则是不影响劳斯判据的结果。例3-42002-09-2367.第一列元素出现了无穷大的情况。为避免这种情况，根据摄动法原理，可以将0元素用无穷小正数ε代替。2002-09-2368.第三个元素小于0，因此系统不稳定2002-09-2369.例3-52002-09-2370.2002-09-2371.2002-09-2372.2002-09-2373.2002-09-2374.2002-09-2375.例3-6欲使如图所示系统稳定，试确定K的取值范围。2002-09-2376.例3-7欲使如图所示系统的特征根位于距虚轴一个单位以左的区域，试确定K的取值范围。2002-09-2377.