教学材料《概率论》-第四章

第一节数学期望惠更斯是一位名声和牛顿相当的科学家，他在１６５７年出版的论著«论赌博中的计算»是一本概率论著作，标志着概率论的诞生.他在这本论著中首先引进“期望”这个术语，提出了１４条命题，解决了一些当时感兴趣的博弈问题.下面列举其中的前３条命题，来看惠更斯提出的期望的概念.第一条命题是:如果某人在赌博中以相等的概率获得赌金ａ和ｂ，则他的期望第二条命题是:如果某人在赌博中以相等的概率获得赌金ａ，ｂ，ｃ，则他的期望下一页返回第一节数学期望

第三条命题是:如果某人在赌博中分别以概率ｐ和ｑ(ｐ≥０，ｑ≥０，ｐ＋ｑ＝１)获得赌金ａ和ｂ，则他的期望是ｐａ＋ｑｂ.可见，“期望”是指对事物提前勾画出的一种标准，达到这个标准就是达到了期望值.接下来我们看一个身边的例子:某班共有学生３０人，在一次考试中(５分制)，有１２人的成绩为３分，１５人的成绩为４分，３人的成绩为５分，则该班级学生的平均成绩为从计算中可以看到，平均成绩并不是３，４，５这三个分数的简单的算术平均:上一页下一页返回第一节数学期望

而是以取得这些值的人数与班级总人数的比值(即频率)为权重的加权平均.若以ｘｋ表示得分，ｆｋ表示得分ｘｋ出现的频率，并以概率ｐｋ代替频率ｆｋ，则平均成绩概括它是对该班级学生真实学习水平的综合评价，我们称之为该班级学生成绩的期望.更一般地，下面给出随机变量数学期望的概念.上一页下一页返回第一节数学期望

一、数学期望的定义定义４.１设离散型随机变量Ｘ的分布律为若把随机变量看作数轴上的随机点，则数学期望可看作随机变量取值的“中心”.上一页下一页返回第一节数学期望

【例４－１】甲、乙射手进行射击比赛，以Ｘ１，Ｘ２分别表示二人射中的环数.已知它们的分布律分别如表４.１(ａ)、表４.１(ｂ)所示.试问:哪名射手的技术更好些?解:甲、乙射手命中环数Ｘ１，Ｘ２的数学期望分别为Ｅ(Ｘ１)＝８×０.３＋９×０.１＋１０×０.６＝９.３；Ｅ(Ｘ２)＝８×０.２＋９×０.５＋１０×０.３＝９.１.可见Ｅ(Ｘ１)>Ｅ(Ｘ２)，即甲的射击技术较乙好些.上一页下一页返回第一节数学期望

【例４－２】某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时从摇箱摇出的球的可能颜色为红、黄、蓝、白、黑五种，其对应的奖金额分别为１００００元、１０００元、１００元、１０元、１元.假定摇箱内装有很多球，其中红、黄、蓝、白、黑的比例分别为０.０１％，０.１５％，１.３４％，１０％，８８.５％，求每次摇奖摇出的奖金额Ｘ的数学期望.解每次摇奖摇出的奖金额Ｘ是一个随机变量，易知它的分布律如表４.２所示.因此，Ｅ(Ｘ)＝１００００×００００１＋１０００×０００１５＋１００×００１３４＋１０×０１＋１×０８８５＝５７２５.可见，平均起来每次摇奖的奖金额不足６元.这个值对商店做计划预算是很重要的.上一页下一页返回第一节数学期望

【例４－３】按规定，某车站每天８点至９点，９点至１０点都有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立.其分布律如表４.３所示.一旅客８:２０到车站，求他候车时间的数学期望.解设旅客候车时间为Ｘ分钟，易知Ｘ的分布律如表４.４所示.在表４.４中ｐｋ的求法如下，例如其中Ａ为事件“第一班车在８:１０到站”，Ｂ为事件“第二班车在９:３０到站”，于是候车时间的数学期望为上一页下一页返回第一节数学期望

【例４－４】有两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命(以小时计)Ｘｋ(ｋ＝１，２)服从同一指数分布，其概率密度为其中θ>０.若将这两个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命(以小时计)Ｎ的数学期望.解Ｘｋ

(ｋ＝１，２)的分布函数为由于当两个电子装置中有一个损坏时，整机就停止工作，因此这时整机寿命为上一页下一页返回第一节数学期望

由于Ｘ１，Ｘ２相互独立，于是Ｎ＝ｍｉｎ{Ｘ１，Ｘ２}的分布函数为上一页下一页返回第一节数学期望

【例４－５】某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式.记使用寿命为Ｘ(以年计)，规定:设寿命Ｘ服从指数分布，其概率密度为试求该商店一台这种家用电器收费Ｙ的数学期望.上一页下一页返回第一节数学期望

一台家用电器收费Ｙ的分布律如表４.５所示.得Ｅ(Ｙ)＝２７３２.１５，即平均一台收费２７３２.１５元.上一页下一页返回第一节数学期望

二、随机变量函数的数学期望在实际问题与理论研究中，我们常常需要考虑随机变量函数的数学期望.设已知随机变量Ｘ的分布，Ｙ＝ｇ(Ｘ)，欲求Ｅ(Ｙ)，即求Ｅ[ｇ(Ｘ)].理论上，我们可以通过Ｘ的分布，求出其函数ｇ(Ｘ)的分布，再按定义求出ｇ(Ｘ)的数学期望Ｅ[ｇ(Ｘ)]，但这种求法一般比较复杂.下面介绍有关计算随机变量函数的数学期望的定理.定理４.１设Ｙ是随机变量Ｘ的函数Ｙ＝ｇ(Ｘ)(ｇ是连续函数)，且Ｅ(Ｙ)存在，于是:(１)若Ｘ是离散型随机变量，它的分布律为Ｐ{Ｘ＝ｘｋ

}＝ｐｋ，ｋ＝１，２，，则Ｙ的数学期望为上一页下一页返回第一节数学期望

(２)若Ｘ是连续型随机变量，其概率密度为ｆ(ｘ)，则Ｙ的数学期望为定理４.１的重要意义在于，当我们求Ｅ(Ｙ)时，不必求出Ｙ的分布而只需依据Ｘ的分布就可以了.定理４.１的证明超出了本教材的范围，这里不予以证明.【例４－６】设随机变量Ｘ的分布律如表４.６所示，求Ｅ(Ｘ２)，Ｅ(－２Ｘ＋１).上一页下一页返回第一节数学期望

【例４－７】对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间[ａ，ｂ]上，求球体积的数学期望.解设随机变量Ｘ表示球的直径，Ｙ表示球的体积，依题意，Ｘ的概率密度为上一页下一页返回第一节数学期望

【例４－８】设国际市场每年对我国某种出口商品的需求量Ｘ(单位:吨)服从区间[２０００，４０００]上的均匀分布.若售出这种商品１吨，可挣得外汇３万元，但如果销售不出而囤积于仓库，则每吨需保管费１万元.问:应预备多少吨这种商品，才能使国家的收益最大?解设预备这种商品ｙ吨(２０００≤ｙ≤４０００)，则收益(万元)为上一页下一页返回第一节数学期望

当ｙ＝３５００吨时，上式达到最大值.所以预备３５００吨此种商品能使国家的收益最大，最大收益为８２５０万元.定理４.１可推广到两个或两个以上随机变量的函数情形.定理４.２设Ｚ是二维随机变量Ｘ，Ｙ的函数，Ｚ＝ｇ(Ｘ，Ｙ)(ｇ是连续函数)，且Ｅ(Ｚ)存在.(１)若(Ｘ，Ｙ)是二维离散型随机变量，其分布律为Ｐ{Ｘ＝ｘｉ，Ｙ＝ｙｊ}＝ｐｉｊ(ｉ，ｊ＝１，２，)，则Ｚ的数学期望为上一页下一页返回第一节数学期望

【例４－９】设二维随机变量(Ｘ，Ｙ)在区域Ａ上服从均匀分布，其中Ａ为由ｘ轴、ｙ轴及直线所围成的三角区域，求Ｅ(Ｘ)，Ｅ(Ｙ)，Ｅ(ＸＹ).解因为(Ｘ，Ｙ)在Ａ内服从均匀分布，所以其概率密度为上一页下一页返回第一节数学期望

三、数学期望的性质下面讨论数学期望的几条重要性质.定理４.３设随机变量Ｘ，Ｙ的数学期望Ｅ(Ｘ)，Ｅ(Ｙ)存在.(１)Ｅ(ｃ)＝ｃ，其中ｃ是常数；(２)Ｅ(ｃＸ)＝ｃＥ(Ｘ)，其中ｃ是任意常数；(３)Ｅ(Ｘ±Ｙ)＝Ｅ(Ｘ)±Ｅ(Ｙ)；(４)若Ｘ，Ｙ是相互独立的，则有Ｅ(ＸＹ)＝Ｅ(Ｘ)Ｅ(Ｙ).证仅就连续型的情况我们来证明性质(３)、性质(４)，离散型情况和其他性质的证明留给读者.(３)设二维随机变量(Ｘ，Ｙ)的概率密度为ｆ(ｘ，ｙ)，其边缘概率密度为ｆＸ

(ｘ)，ｆＹ(ｙ)，则上一页下一页返回第一节数学期望

性质(３)可推广到任意有限个随机变量之和的情形；性质(４)可推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情形.上一页下一页返回第一节数学期望

【例４－１０】设一电路中电流Ｉ(单位:安)与电阻Ｒ(单位:欧)是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为上一页下一页返回第一节数学期望

【例４－１１】一民航班车上共有２０名旅客，自机场开出，旅客有１０个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以Ｘ表示停车的次数，求Ｅ(Ｘ)(设每位旅客在各车站下车是等可能的).解引入随机变量上一页下一页返回第一节数学期望

本例中将随机变量Ｘ分解为多个随机变量之和Ｘ＝Σｎｉ＝１Ｘｉ，这种处理方法具有一定的普遍意义，我们称之为随机变量的分解法.分解法将复杂的问题进行分解处理，是概率统计中经常采用的一种方法.四、常用分布的数学期望１.０－１分布设Ｘ的分布律如表４.８所示，则Ｘ的数学期望为Ｅ(Ｘ)＝０×(１－ｐ)＋１×ｐ＝ｐ.上一页下一页返回第一节数学期望

２.二项分布ｂ(ｎ，ｐ)设Ｘ服从二项分布，其分布律为上一页下一页返回第一节数学期望

若利用数学期望的性质，将二项分布表示为ｎ个相互独立的０－１分布的和，计算过程将简单得多.事实上，若设Ｘ表示在ｎ次独立重复试验中事件Ａ发生的次数，Ｘｉ

(ｉ＝１，２，，ｎ)表示Ａ在第ｉ次试验中出现的次数，则有显然，这里Ｘｉ(ｉ＝１，２，，ｎ)服从两点分布，其分布律如表４.９所示，所以Ｅ(Ｘｉ)＝ｐ，ｉ＝１，２，，ｎ.由定理４.３的性质(３)有上一页下一页返回第一节数学期望

３.泊松分布Ｐ(λ)设Ｘ服从泊松分布，其分布律为上一页下一页返回第一节数学期望

４.均匀分布Ｕ(ａ，ｂ)设Ｘ服从(ａ，ｂ)内的均匀分布，其概率密度为上一页下一页返回第一节数学期望

５.指数分布设Ｘ服从参数为θ的指数分布，其概率密度为上一页下一页返回第一节数学期望

６.正态分布Ｎ(μ，σ２)设Ｘ服从参数为μ，σ２的正态分布，其概率密度为ｆ(ｘ)＝１２πσｅ－(ｘ－μ)２２σ２，则Ｘ的数学期望为上一页返回第二节方差随机变量的数学期望反映随机变量取值平均的大小，但是期望值相同的两个随机变量的取值情况可能会有很大的差异，进一步考虑随机变量的其他数字特征，如随机变量的取值对其期望的偏离程度，即稳定性的好坏.那么，如何来刻画随机变量的取值与其中心的偏离程度呢?本节介绍随机变量的另一个重要数学特征———方差.例如，有Ａ、Ｂ两名射手，他们每次射击命中的环数分别为Ｘ，Ｙ.Ｘ，Ｙ的分布律如表４.１０(ａ)、表４.１０(ｂ)所示.下一页返回第二节方差由于Ｅ(Ｘ)＝Ｅ(Ｙ)＝９(环)，可见从均值的角度是分不出谁的射击技术更高的，故还需考虑其他的因素.通常的想法是:在射击的平均环数相等的条件下，进一步衡量谁的射击技术更稳定些，也就是看谁命中的环数比较集中于平均值的附近.通常人们会采用命中的环数Ｘ与它的平均值Ｅ(Ｘ)之间的离差｜Ｘ－Ｅ(Ｘ)｜的均值Ｅ[｜Ｘ－Ｅ(Ｘ)｜]来度量，Ｅ[｜Ｘ－Ｅ(Ｘ)｜]越小，表明Ｘ的值越集中于Ｅ(Ｘ)的附近，即技术稳定；Ｅ[｜Ｘ－Ｅ(Ｘ)｜]越大，表明Ｘ的值越分散，技术越不稳定.但由于Ｅ[｜Ｘ－Ｅ(Ｘ)｜]带有绝对值，运算不便，故通常采用Ｘ与Ｅ(Ｘ)的离差｜Ｘ－Ｅ(Ｘ)｜平方平均值Ｅ{[Ｘ－Ｅ(Ｘ)]２}来度量随机变量Ｘ取值的分散程度.此例中，由于上一页下一页返回第二节方差一、方差的定义定义４.２设Ｘ是一个随机变量，若Ｅ{[Ｘ－Ｅ(Ｘ)]２}存在，则称Ｅ{[Ｘ－Ｅ(Ｘ)]２}为Ｘ的方差，记为Ｄ(Ｘ)，即称Ｄ(Ｘ)为随机变量Ｘ的标准差或均方差，记为σ(Ｘ).根据定义可知，随机变量Ｘ的方差反映了随机变量的取值与其数学期望的偏离程度.若Ｘ取值比较集中，则Ｄ(Ｘ)较小；反之，若Ｘ取值比较分散，则Ｄ(Ｘ)较大.由于方差是随机变量Ｘ的函数ｇ(Ｘ)＝[Ｘ－Ｅ(Ｘ)]２的数学期望，因此若离散型随机变量Ｘ的分布律为Ｐ{Ｘ＝ｘｋ}＝ｐｋ，ｋ＝１，２，，则上一页下一页返回第二节方差由此可见，方差Ｄ(Ｘ)是一个常数，它由随机变量的分布唯一确定.根据数学期望的性质可得【例４－１２】设有甲、乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行检验，结果如表４.１１(ａ)、表４.１１(ｂ)所示.其中Ｘ，Ｙ分别表示甲、乙两种棉花的纤维的长度(单位:毫米)，求Ｄ(Ｘ)与Ｄ(Ｙ)，且评定它们的质量.上一页下一页返回第二节方差因为Ｄ(Ｘ)<Ｄ(Ｙ)，所以甲种棉花纤维长度的方差小些，说明其纤维比较均匀，故甲种棉花质量较好.上一页下一页返回第二节方差【例４－１３】设随机变量Ｘ的概率密度为上一页下一页返回第二节方差二、方差的性质由方差的定义可以得到方差的一些性质.设随机变量Ｘ与Ｙ的方差存在，则(１)设ｃ为常数，则Ｄ(ｃ)＝０.(２)设ｃ为常数，则Ｄ(ｃＸ)＝ｃ２Ｄ(Ｘ).(３)Ｄ(Ｘ±Ｙ)＝Ｄ(Ｘ)＋Ｄ(Ｙ)±２Ｅ{[Ｘ－Ｅ(Ｘ)][Ｙ－Ｅ(Ｙ)]}.特别地，若Ｘ，Ｙ相互独立，则Ｄ(Ｘ±Ｙ)＝Ｄ(Ｘ)＋Ｄ(Ｙ).(４)对任意的常数ｃ≠Ｅ(Ｘ)，有Ｄ(Ｘ)<Ｅ[(Ｘ－ｃ)２].证仅证性质(３)、性质(４).上一页下一页返回第二节方差当Ｘ与Ｙ相互独立时，Ｘ－Ｅ(Ｘ)与Ｙ－Ｅ(Ｙ)也相互独立，由数学期望的性质有上一页下一页返回第二节方差【例４－１４】

上一页下一页返回第二节方差【例４－１５】

上一页下一页返回第二节方差三、常用分布的方差１.０－１分布设Ｘ服从参数为ｐ的０－１分布，其分布律如表４.８所示，由例４１４知，Ｄ(Ｘ)＝ｐ(１－ｐ).２.二项分布设Ｘ服从参数为ｎ，ｐ的二项分布，由例４.１４知，Ｄ(Ｘ)＝ｎｐ(１－ｐ).３.泊松分布设Ｘ服从参数为λ的泊松分布，由上一节知Ｅ(Ｘ)＝λ，又上一页下一页返回第二节方差从而有４.均匀分布Ｕ(ａ，ｂ)上一页下一页返回第二节方差５.指数分布上一页下一页返回第二节方差由此可知，正态分布的概率密度中的两个参数μ和σ分别是该分布的数学期望和均方差，因而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定.再者，由上一章第五节例３.１７之后的讨论可知，若Ｘｉ~Ｎ(μｉ，σ２ｉ)，ｉ＝１，２，，ｎ，且它们相互独立，则它们的线性组合ｃ１Ｘ１

＋ｃ２Ｘ２

＋＋ｃｎＸｎ

(ｃ１，ｃ２，，ｃｎ

是不全为零的常数)仍然服从正态分布.于是由数学期望和方差的性质可知这是一个重要的结果.上一页下一页返回第二节方差【例４－１６】设活塞的直径(单位:厘米)Ｘ~Ｎ(２２.４０，０.０３２)，气缸的直径Ｙ~Ｎ(２２.５０，０.０４２)，Ｘ，Ｙ相互独立，任取一只活塞，任取一只气缸，求活塞能装入气缸的概率.解按题意需求Ｐ{Ｘ<Ｙ}＝Ｐ{Ｘ－Ｙ<０}.令Ｚ＝Ｘ－Ｙ，则上一页返回第三节协方差及相关系数对于二维随机变量(Ｘ，Ｙ)，数学期望Ｅ(Ｘ)，Ｅ(Ｙ)只反映了Ｘ和Ｙ各自的平均值，而Ｄ(Ｘ)，Ｄ(Ｙ)反映的是Ｘ和Ｙ各自偏离平均值的程度，它们都没有反映Ｘ与Ｙ之间的关系.在一些实际问题中，还要考虑多个随机变量之间的关联程度.例如，人的年龄与身高，某种产品的产量与价格等.为了研究随机变量Ｘ，Ｙ的关系，引入协方差和相关系数的概念.定义４.３设(Ｘ，Ｙ)为二维随机变量，称下一页返回第三节协方差及相关系数故方差Ｄ(Ｘ)，Ｄ(Ｙ)是协方差的特例由上述定义及方差的性质可得上一页下一页返回第三节协方差及相关系数【例４－１７】设(Ｘ，Ｙ)的分布律如表４.１２所示.上一页下一页返回第三节协方差及相关系数【例４－１８】设(Ｘ，Ｙ)的概率密度为上一页下一页返回第三节协方差及相关系数协方差具有下列性质:(１)若Ｘ与Ｙ相互独立，则Ｃｏｖ(Ｘ，Ｙ)＝０；(２)Ｃｏｖ(Ｘ，Ｙ)＝Ｃｏｖ(Ｙ，Ｘ)；(３)Ｃｏｖ(ａＸ，ｂＹ)＝ａｂＣｏｖ(Ｘ，Ｙ)；(４)Ｃｏｖ(Ｘ１＋Ｘ２，Ｙ)＝Ｃｏｖ(Ｘ１，Ｙ)＋Ｃｏｖ(Ｘ２，Ｙ).证仅证性质(４)，其余留给读者.下面给出相关系数ρＸＹ的几条重要性质，并说明ρＸＹ的含义.上一页下一页返回第三节协方差及相关系数定理４.４设Ｄ(Ｘ)>０，Ｄ(Ｙ)>０，ρＸＹ为(Ｘ，Ｙ)的相关系数，则(１)如果Ｘ，Ｙ相互独立，则ρＸＹ＝０；(２)｜ρＸＹ｜≤１；(３)｜ρＸＹ｜＝１的充要条件是存在常数ａ，ｂ，使Ｐ{Ｙ＝ａＸ＋ｂ}＝１(ａ≠０).上一页下一页返回第三节协方差及相关系数上一页下一页返回第三节协方差及相关系数性质(３)的证明较复杂，从略.当｜ρＸＹ｜＝１时，称Ｘ与Ｙ完全线性相关.当ρＸＹ＝０时，称Ｘ与Ｙ不相关.由性质(１)可知，当Ｘ与Ｙ相互独立时，ρＸＹ＝０，即Ｘ与Ｙ不相关；反之不一定成立，即Ｘ与Ｙ不相关，Ｘ与Ｙ却不一定相互独立.【例４－１９】设Ｘ服从[０，２π]上的均匀分布，Ｙ＝ｃｏｓＸ，Ｚ＝ｃｏｓ(Ｘ＋ａ)，这里ａ∈[０，２π]是常数，求ρＹＺ.上一页下一页返回第三节协方差及相关系数①当ａ＝０时，ρＹＺ＝１，Ｙ＝Ｚ，存在线性关系；②当ａ＝π时，ρＹＺ＝－１，Ｙ＝－Ｚ，存在线性关系；③当ａ＝π２或３π２时，ρＹＺ＝０，Ｙ与Ｚ不相关，但这时却有Ｙ２＋Ｚ２＝１，因此，Ｙ与Ｚ不独立.这个例子说明，当两个随机变量不相关时，它们并不一定相互独立，它们之间还可能存在其他的函数关系.定理４.４告诉我们，相关系数ρＸＹ描述了随机变量Ｘ，Ｙ的线性相关程度，｜ρＸＹ｜越接近１，Ｘ与Ｙ之间越接近线性关系.当｜ρＸＹ｜＝１时，Ｘ与Ｙ之间依概率１线性相关.因此，当Ｘ与Ｙ的相关系数等于零时，只能说明Ｘ与Ｙ存在线性关系的概率为零.不过，下例表明当(Ｘ，Ｙ)是二维正态随机变量时，Ｘ与Ｙ不相关与Ｘ和Ｙ相互独立是等价的.上一页下一页返回第三节协方差及相关系数【例４－２０】设(Ｘ，Ｙ)服从二维正态分布，它的概率密度为上一页下一页返回第三节协方差及相关系数这说明二维正态随机变量(Ｘ，Ｙ)的概率密度中的参数ρ就是Ｘ和Ｙ的相关系数，从而二维正态随机变量(Ｘ，Ｙ)的分布完全可由Ｘ，Ｙ各自的数学期望、方差以及它们的相关系数来确定.由上一章讨论可知，若(Ｘ，Ｙ)服从二维正态分布，那么Ｘ和Ｙ相互独立的充要条件是ρ＝０，即Ｘ与Ｙ不相关.因此，对于二维正态随机变量(Ｘ，Ｙ)来说，Ｘ和Ｙ不相关与Ｘ和Ｙ相互独立是等价的.上一页返回第四节矩、协方差矩阵数学期望、方差、协方差是随机变量最常用的数字特征，它们都是特殊的矩.矩是更广泛的数字特征.定义４.４设Ｘ和Ｙ是随机变量，若存在，则称它为Ｘ的ｋ阶原点矩，简称ｋ阶矩，记为μｋ＝Ｅ(Ｘｋ

)，ｋ＝１，２，.存在，则称它为Ｘ的ｋ阶中心矩.存在，则称它为Ｘ和Ｙ的ｋ＋ｌ阶混合矩.下一页返回第四节矩、协方差矩阵存在，则