湖南岳阳市平江县颐华高级中学2025-2026学年高三下学期入学考试数学试题（高复部）（含解析）

平江颐华学校(高复部)2026年春季开学测试试卷·数学一、单项选择题(每小题5分)1.设集合A={−1,0,A.{0}B.{0,2.若a<b<A.−1aC.−1a3.如图,在长方体ABCD−A1B1C1D1中,AB=3,BC=CC1=4,E为棱BA.5B.25C.424.已知函数fx=2sinωx+φω>0,φ<π2在0A.−π6B.π6C.5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=π3,D是A.1,2B.(2,6.已知数列an满足a1>0,且an+1=A.a1B.C.a10D.7.如图所示的矩形ABCD中,E,F满足BE=EC,CF=2FD,G为EFA.12B.23C.8.已知函数fx与f′x的图象如图所示,则不等式fA.0B.1,43C.二、多项选择题(每小题6分)9.i是虚数单位,下列说法中正确的有()A.若复数z满足z⋅z=0B.若复数z1,z2满足zC.若复数z=a+aia∈D.若复数z满足z2=3+4i10.下列命题中,不正确的是()A.如果a>b>0B.如果a>b,cC.如果−1<a<D.如果a>b>011.已知fx=lnA.fx在x=1处的切线方程为y=C.fx的极大值为1eD.fx三、填空题(每小题5分)12.已知OA=1,OB=3,OA⋅OB=0∣,点C在∠AOB13.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若α∈π6,π314.已知y=sinx和y=cosx的图像的连续的三个交点A、B、C构成三角形四、解答题15.已知向量m=cos2x,3(1)求函数fx的最大值，及取得最大值时x(2)设A,B,C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=16.在递增的等差数列an中,a(1)求an(2)求数列an⋅2an的前n17.如图所示,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N,K分别为AB,PC,PA的中点,平面(1)判断直线l与BC的位置关系并证明；(2)求证:MN//平面PAD(3)直线PB上是否存在点H，使得平面NKH//平面ABCD？若存在，求出点H的位置，并加以证明;若不存在,18.如图,G为△OAB的中线OM的中点,过点G的直线分别交OA,OB两边于点P,Q,记OA(1)试用向量a,b表示OG(2)判断x+y(3)设△OPQ的面积为S，△OAB的面积为T，求S19.已知函数fx(1)当a=1时，求曲线fx在点(2)求函数fx(3)若y=fx在x=1时取得极值，设gx=fx−1x，当1.C∵A∴A故选:C.2.D因为a<b<0,所以−1a因为a<b<0,所以ab>b因为a<b<0,所以1b<1a<0因为a<b<0,所以a2>故选:D.3.B如下图所示:作CF⊥BE交BB1于点F，易知四边形BC利用三角形相似可知△BCF∼△B1BE，即可得BFBC由勾股定理可知CF=利用正方体性质可知DC⊥平面BCC1B1,BE⊂又CF⊥BE,CF∩可知BE⊥平面DCF由DP⊥BE可知DP⊂平面DCF，又P为四边形BCC1B1内(含边界)的一个动点，所以动点P的轨迹为平面DCF与四边形BCC1B1的交线,即为故选:B4.C因为函数fx在0,π3上单调递增,在可知:x=π3对应最大值,也即由f0+fπ6=0,且所以由对称性可知:fπ所以T4所以T=π,即所以2π3+φ=π取k=0可得:所以ωφ=故选:C5.C因为D是AB上靠近A的三等分点,所以c=所以3a+在△BCD中,由余弦定理得B即BD2+BC即BD+BC≤2,当且仅当又在△BCD中,BD因此1<BD+BC≤所以3a+2c的取值范围为故选:C.6.A:a1>0∴又∵∴∴此数列为递减数列,最大项为a1故选A.7.A因为G为EF的中点,BE=所以AG=因为AG=λAB+μ所以λμ=故选:A8.A若图中实线部分曲线为函数y=fx的图象,则虚线部分曲线为导函数y=f′x的图象,由导函数y=f′x的图象可知,函数但函数y=fx在区间若图中实线部分曲线为导函数y=f则函数y=fx在区间0,4上的减区间为0,由图象可知,不等式fx>f′x故选:A.9.ADA选项,设z=a+bia则z⋅z=a2+b2=0B选项，若z1=1,z2=i，满足zC选项，若复数z=a+aia∈R表示纯虚数，需要实部为0，即a=0D选项，设z=a+bia,所以a2−b2=32ab=4,解得a=2b=所以其对应的点分别为2,1或−2,−1,所以对应点的在第一象限或第三象限;10.ACA:由a>b>0,则0<1B:由c<d,则−c>−d,又a>C:由题设−3<−b<−2,又−1D:ma由a>b>0,c<d<所以ma−c−mb故选:AC.11.ACf′x=1−ln∴fx的图象在点1,0即y=1⋅x−1在0,e上,f′x>0,fx单调递增,在e,+∞fx的极大值也是最大值为fe=lnee=因为在0,e上,fx单调递增,在e,+∞上,f故选:AC.12.3.方法一:cos∠AOC又OA⋅OC2将②③代入①得:mm2+3n2点C在∠AOB内,所以m方法二:以直线OA,OB分别为x则A1设OC=又OC=得32λ,12解得mn故答案为:3.13.−由题意,得β=π−α+2kπ,k∈Z,所以cosβ=cosπ−所以当α=π6,即β=5π6+2kπ,故答案为:−314.2由题意正余弦函数的图象可得:y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、 B、C构成三角形△ABC∵底边长为一个周期T=2π，高为2∴△ABC的面积1故答案为2π15.(1)最大值为12+32,取得最大值时x取值的集合为(1)由题意可得:f=cos=可知当2x+π6=2kπ,k∈Z,即x=kπ−π12,k∈Z时,函数fx取到最大值(2)因为fC=32cos2x且C∈0,π2,则2C+π6∈又因为cosB=35,所以cosA16.(1)a(2)T(1)设an的公差为dd>0，因为数列所以a5+a6=a3+a所以d=a8−a(2)由(1)可得an⋅则Tn8T①-②得−=则Tn17.(1)l//依题意,BC//AD,AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD又平面PAD∩平面PBC=l,BC⊂平面(2)取PD中点F，连接AF,FN，在△PCD在□ABCD中,AM//CD,AM=12CD因此AF//NM,AF⊂平面PAD所以MN//平面PAD(3)当H为PB中点时,平面KNH//平面证明如下:取PB的中点为H,连接KH,在△PBC中,HN//BC,HN⊄平面则HN//平面ABCD,同理可证,KH//平面又KH,HN⊂平面所以平面KNH//平面ABCD18.(1)OG(2)是,x+yxy(1)∵G为OM的中点，M为AB∴OG(2)∵P,G,Q三点共线，∴OG=1−λOP+λOQ，又OP=xOA,OQ=yOB，∴OG=(3)ST=由(2)知y=x4x−1则S令t=4x−1,t∈1因为当t∈13,1时,函数ft单调递减,当t且f13=13,f3=故ST19.解:(1)当a=1时,f所以曲线fx在点1,f1(2)由fx=alnx①若a>0，当x∈0,1a时，f′x<当x∈1a,+∞时,f′x>0,所以所以,当x=1a时,fx有