8.6 空间直线、平面的垂直 练习 高中数学人教A版（2019）必修第二册

8.6空间直线、平面的垂直练习1.已知两条直线m,n及平面,则下列推理正确的是()A., B.,C., D.,2.如图,锐二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知,,,则锐二面角的平面角的余弦值是()A. B. C. D.3.在长方体中,已知与平面ABCD和平面所成的角均为,则()A. B.AB与平面所成的角为C. D.与平面所成的角为4.如图所示，圆柱的轴截面是正方形ABCD，母线，若点E是母线BC的中点，F是的中点，则下列说法正确的是()A. B.点F到平面ABCD的距离为2C. D.BF与平面ABCD所成的角的大小为5.如图,在圆锥PO中,轴截面PAB的顶角,设D是母线PA的中点,C在底面圆周上,且,则异面直线CD与PB所成角的大小为()A.15° B.30° C.45° D.60°6.如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为()A.23 B.24 C.26 D.277.正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是()A. B.三棱锥的体积为定值C.二面角的大小为定值 D.异面直线AE，BF所成角为定值8.如图,已知菱形ABCD中,,,E为边BC的中点,将沿AE翻折成（点位于平面ABCD上方）,连接和,F为的中点,则在翻折过程中,下列说法正确的是()①平面平面②与的夹角为定值③三棱锥体积最大值为④点F的轨迹的长度为A.①② B.①②③ C.①②④ D.②③④9.（多选）如图,已知圆锥的轴截面PAB为正三角形,底面圆O的直径为2．E为线段PB的中点,C是圆O上异于A,B的一点,D为弦AC的中点,则()A.平面EOC B.平面平面PDOC.线段PD长度的取值范围为 D.三棱锥体积的最大值是10.（多选）如图,在正方体中,动点E在线段上,则()A.直线与BC所成的角为B.对任意的点E,都有平面ACEC.存在点E,使得平面平面D.存在点E,使得平面平面CDE11.如图,在三棱锥中,底面ABC,,则这个三棱锥的四个面中,是直角三角形的个数有_____个.12.如图,在二面角中,,,,且,垂足分别为A,B,已知,,则二面角所成平面角为___________．13.如图，在正四棱台中，，.若该四棱台的体积为，则_________.14.如图,在三棱锥中,平面平面ABC,,都是等腰直角三角形,,,M,N分别为VA,VB的中点．（1）求证：平面CMN;（2）求证：平面VBC．15.如图，在三棱柱中，平面，.（1）证明：平面平面；（2）设，，求四棱锥的高.

答案以及解析1.答案：D解析：对于A,例如在正方体中平面ABCD,平面ABCD,但是与相交,故A错误;对于B,根据线面平行的判定定理,需要,,,故当时,不能得到,故B错误,对于C,例如在正方体中,,平面ABCD,但是不能得到平面ABCD,故C错误,对于D,根据线面委直的定义即可判断,,故D正确,故选:D2.答案：B解析:过点B作,且,连接DE,CE,因为,所以,因为,,所以是二面角的平面角,且平面DBE,所以,所以,因为,,所以,所以.故选:B.3.答案：D解析：如图所示：不妨设,,依题以及长方体的结构特征可知,与平面ABCD所成角为,与平面所成角为,所以,即,,解得.对于A,,,,A错误;对于B,过B作于E,易知平面,所以AB与平面所成角为,因为,所以,B错误;对于C,,,,C错误;对于D,与平面所成角为,,而,所以.D正确.故选：D.4.答案：B解析：如图所示，设O是AB的中点，连接OE，OF，在正方形ABCD中，，可得，在中，可得，则EF与AC不平行，选项A错误；因为F是的中点，所以平面ABCD，所以点F到平面ABCD的距离为2，选项B正确；是BF与平面ABCD所成的角，因为，且，所以，选项D错误；BF与AB不垂直，因此也推不出，选项C错误.故选B.5.答案：C解析：因为D是AP的中点,O是AB的中点,所以,所以异面直线CD与PB所成的角即为（或其补角）.易知.因为,,PC,平面POC,所以平面POC.因为平面POC,所以.又,,OP,平面PAB,所以平面PAB,而平面PAB,所以.因为,,所以为等边三角形,所以,所以.故选：C.6.答案：D解析：该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，因为，，所以，，因为重叠后的底面为正方形，所以，在直棱柱中，平面BHC，则，由可得平面，设重叠后的EG与交点为I，则，，则该几何体的体积为.故选：D.7.答案：D解析：因为，，，所以平面，又因为平面，所以，故A正确；因为为定值，A到平面的距离为，所以为定值，故B正确；因为二面角就是二面角，所以其为定值，故C正确；连接，当时，取，F为，如下图所示：因为，所以异面直线AE，BF所成角为，.当时，取，E为，如下图所示：因为，，所以四边形是平行四边形，所以，所以异面直线AE，BF所成角为，，由此可知：异面直线AE，BF所成的角不是定值，故D错误.故选D.8.答案：C解析：对于①：由,,E为边BC的中点知且,易知,,而,EC,面,故面,又面,所以面面,故①正确;对于②：若是的中点,又F为的中点,则且,而且,所以且,即为平行四边形,故,所以与的夹角为或其补角,若G为AB中点,即,由①分析易知,故与CF的夹角为,故②正确;对于③：由上分析知：翻折过程中当面ABCD时,最大,此时,故③错误;对于④：由②分析知：且,故F的轨迹与G到的轨迹相同,由①知：B到的轨迹为以E为圆心,为半径的半圆,而G为AB中点,故G到的轨迹为以AE中点为圆心,为半径的半圆,所以F的轨迹长度为,故④正确.故选：C.9.答案：ABC解析：由题意可知为边长为2的等边三角形,,由于E为线段PB的中点,O为线段AB的中点,所以,而平面EOC,平面EOC,故平面EOC,A正确,由于AB是直径,所以,O,D分别为中点,所以,,又平面ABC,平面ABC,所以,,PO,平面POD,故平面POD,平面PAC,所以平面平面PDO,B正确,由于平面ABC,平面ABC,所以,故由于,所以,C正确,,当且仅当时取等号,故体积最大值为,故D错误,故选：ABC.10.答案：BC解析：因为,所以即为直线与所成的角,,故错误;因为⊥平面ABCD,平面ABCD,所以⊥,又因为,,所以平面,故平面ACE,故正确;当点在处时,平面平面,所以存在点E,使得平面平面,故C正确.如图,过点E作,则MN为平面ABE与平面CDE的交线,正方体中,平面,所以平面,所以,,所以即为平面ABE与平面CDE所成的夹角,方法一:因为点N一定在以BC为直径的圆外,所以,所以不存在点E,使得平面平面CDE,故D错误.方法二:设正方体的棱长为1,,则,,所以,当时,取得最大值,,此时为锐角,故D错误.故选:BC11.答案：4解析:由于平面ABC,所以,,,所以三角形PAB和三角形PAC是直角三角形.由于,所以,三角形ABC是直角三角形.由于,所以平面PAC,所以,所以三角形PBC是直角三角形.所以三棱锥四个面中,是直角三角形的个数有4个.故答案为:412.答案：解析：在面内,作,过B作交CE于E,连接DE,如下图示,由,则为二面角的平面角,且,又易知ABEC为正方形,即,,面,则面,面,所以,中,故,在中,则,由图知：,可得.故答案为：.13.答案：解析：如图，连接，交于点，连接AC，BD交于点O，连接，则，底面，.过作于点E，则，底面ABCD.该四棱台的体积，.又，，，.14.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：（1）M,N分别为VA,VB的中点,,平面CMN,平面CMN,平面CMN．（2）和均是等腰直角三角形,,,M,N分别为VA,VB的中点．,,平面平面ABC,平面平面,平面ABC,平面ABC,．,平面VB