人教版2024-2025年全国九年级数学2年中考真题汇编 3.4 二次函数 第2课时 二次函数性质的综合应用

试卷第=page11页，共=sectionpages33页3.4二次函数第2课时二次函数性质的综合应用一、选择题1．（2024·内蒙古赤峰）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=−x2+4上，点D在y轴上．若A，CA．m+n=1 B．m−n=1 C．mn=1 D．m二、解答题2．（2025·西藏）已知抛物线y=ax2+bx−4过点A−1,0，Bm,0，与y轴交于点C．点B是x轴正半轴上的动点，点F是抛物线在第四象限图象上的动点，连接BC，AF，且AF交y轴于点D(1)当m=3时，求抛物线的解析式；(2)如图1，在（1）的条件下，若∠CDE=∠CED，求直线AF的解析式；(3)要使得∠DCE=∠DEC成立，请探索m的取值范围（直接写出结果）；(4)如图2，∠DCE=∠DEC，当m为何值时，OD的长度等于1？3．（2025·江苏无锡）已知二次函数y=−12x2+mx+33mm≠0图象的顶点为A(1)若该函数图象经过点0,3，求点A(2)若m<3，点P2,y1和Q(3)若△ABC是等腰三角形，求m的值．4．（2025·青海西宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，以P为顶点的抛物线的解析式为y=ax2−4axa<0，点A的坐标是−1,0，以原点为中心，把点A顺时针旋转(1)直接写出A′(2)当3≤x≤5时，y有最大值为1−2a，求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点A′，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N5．（2025·江苏镇江）在平面直角坐标系中，过点T0,t作y轴的垂线与二次函数y=12x−h2+k（h、k为常数）的图像交于点E、F（点E在点F的左侧），点P在直线EF上，当点P满足(1)二次函数y=1①在t的不同取值2、92、5中，使该函数图像有T∼6生长点的t②已知Pm,n是该函数图像的T∼6生长点，猜想n(2)二次函数y=12x−h2+k（h、k为常数）的图像经过点6,16．（2025·海南）如图，抛物线y=ax2+bx+ca>0经过A4,0、B−2,6两点．点Px0,(1)若c=−4．①求抛物线的解析式；②求线段PQ长度的最大值；③若t≤x0≤t+1，求x0取何值时线段PQ的长度最大（可用含(2)若c≠−4，t≤x7．（2025·黑龙江大庆）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过坐标原点O及点A23,3，过点A作射线AM平行于y轴（点M在点A上方），点F坐标为0,1，连接AF并延长交抛物线于点E，射线AB平分∠FAM，过点A作AB的垂线(1)求二次函数的表达式；(2)判断直线l与二次函数y=ax(3)点Pm,0为x轴上的一个动点，且∠APE为钝角，请直接写出实数m8．（2025·甘肃甘南）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−5a≠0交x轴于A，C两点，交y轴于点(1)求此抛物线的表达式；(2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM周长最小，请求出点M的坐标；(3)连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标．9．（2025·宁夏）如图，抛物线y=ax2−2x+3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，顶点C(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，将直线AB沿y轴向上平移mm>0个单位长度，当它与抛物线有交点时，求m(3)如图2，抛物线的对称轴交直线AB于点D，交x轴于点E，连接AC．抛物线上是否存在点P（不与点C重合），使得S△PAD=S10．（2025·四川广元）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−4（a>0）与x轴交于点A和点B−4,0，与(1)求b与a的关系；(2)如图①，当a=12时，点P在抛物线上，S△PBC(3)如图②，若抛物线上一点Q关于直线BC的对称点是△AOC的外心M，求a的值．11．（2025·四川资阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左边），与y轴相交于点C0,−3，且抛物线的顶点坐标为1,−4(1)求抛物线的表达式；(2)P是抛物线上位于第四象限的一点，点D0,−1，连接BC,DP相交于点E，连接PB．若△CDE与△PBE的面积相等，求点P(3)M,N是抛物线上的两个动点，分别过点M,N作直线BC的垂线段，垂足分别为G,H．是否存在点M,N，使得以M,N,G,H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．12．（2025·青海）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3a≠0与x轴交于A，B两点，点B的坐标为(1)求抛物线的解析式；(2)①求点A的坐标；②当y<0时，根据图象直接写出x的取值范围________；(3)连接AC交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．13．（2025·吉林长春）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx经过点3,3．点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、m+1，已知点M1,1，作点A关于点M的对称点C，作点B关于点M的对称点(1)求该抛物线所对应的函数表达式；(2)当A,B两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点C的坐标；(3)设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两点）为图象G．当0<m<1时，若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为12．求m(4)连结OA、OB，当∠AOB=∠OAD+∠OBC时，直接写出m的取值范围（这里∠AOB、∠OAD、∠OBC均是大于0°且小于180°的角）．14．（2025·四川南充）抛物线y=ax2+2ax−154a≠0与x轴交于(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．(2)如图1，抛物线上两点Pm,y1，Qm+2,y(3)如图2，点M−1,−5，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足∠GMN=∠HMN．探究直线l是否过定点？若直线l15．（2025·黑龙江绥化）综合与探究如图，抛物线y=ax2+bx−5交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y=kx−5经过B、C两点，若点A1,0，B−5,0．点P

(1)求抛物线的函数解析式．(2)过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，当PE=3ED时，求P点坐标．(3)若点F是直线BC上的一个动点．请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2025·江苏苏州）如图，二次函数y=−x2+2x+3的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C(1)求直线BC对应函数的表达式；(2)试判断是否存在实数m使得y1+2y(3)已知P是二次函数y=−x2+2x+3图像上一点（不与点M，N重合），且点P的横坐标为1−m，作△MNP．若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE17．（2025·吉林）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+bx−1经过点2,−1．点P在此抛物线上，其横坐标为m，连接PO并延长至点Q，使OQ=2PO．当点P不在坐标轴上时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y(1)求此抛物线对应的函数解析式．(2)△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由．(3)当△PQM的边MQ经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标．(4)当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．18．（2025·北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+ca≠0经过点(1)求c的值，并用含a的式子表示b；(2)过点Pt,0作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y=ax于点N①若a=1，t=4，求MN的长；②已知在点P从点O运动到点B2a,0的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a19．（2025·黑龙江）如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B(1)求b与c的值．(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积与△ABC的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．20．（2025·浙江）已知抛物线y=x2−ax+5（a(1)求a的值．(2)过点A0,t与x轴平行的直线交抛物线于B,C两点，且点B为线段AC的中点，求t(3)设m<3<n，抛物线的一段y=x2−ax+5(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l1,21．（2025·河北）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c经过点A(0,3)，B(6,3)，顶点为P．抛物线y=a(x−3)2+d(a<0)经过点(1)求b，c的值及点P的坐标．(2)点D在L1上，到x轴的距离为234．判断L2能否经过点D(3)直线AE:y=kx+n(k>0)交L1于点E，点M在线段AE上，且点M的横坐标是点E①若点E与点P重合，点M恰好落在L2上，求a②若点M为直线AE与L2的唯一公共点，请直接写出k22．（2025·天津）已知抛物线y=ax2+bx+c(a(1)当a=−1，b=2，(2)点A(−1,0)和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点．①当a=−2时，若点D在抛物线上，∠CAD=90°，AC=AD，求点②若点Bm,0，∠CAB=2∠ABC，以AC为边的▱ACEF的顶点F在抛物线的对称轴l上，当CE+CF取得最小值为223．（2025·湖北）抛物线y=12x2−x+c与x轴相交于点A−1,0和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，(1)求c的值；(2)如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求PH(3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧MN（含端点M和N）．过M，N分别作x轴的垂线l1,l2，过抛物线弧MN的最高点和最低点分别作y轴的垂线l3,l4，直线l1,l①求f关于t的函数解析式；②过点P作PQ∥x轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧CQ的特征矩形的周长为g．若f+g=112，直接写出24．（2025·山东东营）已知抛物线与x轴交于A−1,0，B5,0两点，与y轴交于点(1)求出抛物线的解析式；(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．25．（2025·四川宜宾）如图，O是坐标原点，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C(1)求b、c的值；(2)点D为抛物线上第一象限内一点，连结BD，与直线AC交于点E，若DE：BE=1：(3)若F为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为Pm,nm>1，若P又在原抛物线上，新抛物线与直线x=1交于点N，连结FP、PN，26．（2025·四川德阳）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于点A−1,0，(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图2，连接BC，过点C作CD⊥BC与抛物线相交于另一点D．①求点D的坐标；②如图3，点E，F为线段BC上两个动点（点E在点F的右侧），且EF=2，连接OF，DE．求OF+DE27．（2025·四川自贡）如图，在△ABC中，D,E分别是AC,AB的中点，连接DE，CE,BD交于点G．

(1)若BD⊥CE，BD=1，CE=12，则四边形(2)若BD+CE=32，△ABC的最大面积为S．设BD=x，求S与x之间的函数关系式，并求(3)若（2）问中x取任意实数，将函数S的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数y的图象．直线y=k1x−k1交该图象于点F，H（F点在H点左边），过点H的直线l：y=k2x+b交该图象于另一点Q，过点28．（2025·甘肃）如图1，抛物线y=ax+52x−4a≠0分别与x轴，y轴交于A，B(1)求抛物线的表达式；(2)连接AB，过点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D，连接BD，求△BCD的面积；(3)点E为线段AB上一动点（点A除外），将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF．①当AE=2时，请在图2中画出线段OF后，求点F的坐标，并判断点F②如图3，点P是第四象限的一动点，∠OPA=90°，连接PF，当点E运动时，求PF的最小值．29．（2025·四川眉山）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c关于直线x=−3对称，与x轴交于A−1,0、B两点，与(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；(3)在线段OC上是否存在点Q，使2AQ+2CQ存在最小值？若存在，请直接写出点30．（2025·四川广安）如图，二次函数y=13x2+bx+c（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为9,0，点C(1)求抛物线的解析式．(2)若点P为抛物线上的一个动点，连接PC，当∠PCB=∠OBC时，求点P的坐标．(3)将抛物线沿射线CA的方向平移210个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E31．（2025·四川达州）如图，已知抛物线y=−x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为(3,0)，C的坐标为(0,3)(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC，过第四象限内抛物线上一点作BC的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F．①连接AF，当∠AFE=90°时，求Rt△AFE内切圆半径r与外接圆半径R②连接CA，CE，当点F在△AEC的内角平分线上，BC上的动点P满足MP+232．（2025·山东烟台）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OA=2，OB=6，D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E，垂足为点F(1)求抛物线的表达式；(2)设点D的横坐标为t，①用含有t的代数式表示线段DE的长度；②是否存在点D，使△CDE是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接OE，将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段OG，连接AG，请直接写出线段AG长度的最小值．33．（2025·上海）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c过A1,1，B3,1，与y(1)求b，c的值．(2)设抛物线y=ax2+mx+na≠1过点A，B，且与y轴交于点①求CDPQ②当四边形CDPQ是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值．34．（2025·四川遂宁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c（b、c为常数）的图像与x轴交于A−1,0、B两点，交y轴于点(1)求二次函数关系式．(2)连接AC、BC，抛物线上是否存在点P，使∠CBP+∠ACO=45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．(3)在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线AQ，使∠BAQ=2∠ACO，点M是线段AQ上的一动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，连结BM，求BM+MN的最小值．35．（2025·四川凉山）如图，二次函数y=ax2+bx+c(1)求抛物线的解析式；(2)点P在直线AC下方的抛物线上运动，求点P到直线AC的最大距离；(3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线QA，若射线QA绕点Q逆时针旋转90°与抛物线交于点D，是否存在点Q使AQ=QD？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．36．（2025·四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx过点−1,3，且对称轴为直线x=1，直线y=kx−k与抛物线交于A，B两点，与x(1)求抛物线的函数表达式；(2)当k=1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x=2交于点E．若抛物线y=(x−h)2−1与线段DE(3)过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．37．（2025·四川泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c经过点2,3，与x轴交于点A(1)求该抛物线的解析式；(2)点C, D在直线y=12x+12上，点E在x(3)设点Px1, y1在抛物线y=−x2+bx+c上，点Q38．（2025·重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B(6,0)两点，与y轴交于点C(1)求抛物线的表达式：(2)点P是射线BC下方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且DE=4，连接BD，PE．当PQOQ取得最大值时，求点P的坐标及BD+PE(3)在（2）中PQOQ取得最大值的条件下，将抛物线y=x2+bx+c沿射线BC方向平移22个单位长度得到抛物线y′，点M为点P的对应点，点N为抛物线y′39．（2024·江苏淮安）二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(1)c=________；(2)当a=1①若顶点P到x轴的距离为10，则b=________；②直线m过点0,2b且垂直于y轴，顶点P到直线m的距离为h，随着b的增大，h的值如何变化？请描述变化过程，并说明理由；(3)若二次函数图像交x轴于B，C两点，点B坐标为8,0，且△ABC的面积不小于20，求a的取值范围．40．（2024·黑龙江哈尔滨）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=12x2+bx+c经过点O0,0，与x轴正半轴交于点(1)求b、c的值；(2)如图1，点P为第二象限内抛物线上一点，连接PA，PO，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；(3)如图2，在（2）的条件下，t=−2，点D在OA上，DF⊥OA，交PA于点C，CF=CD，点E在第二象限，连接EC，EC⊥CD，连接ED，过点E作ED的垂线，交过点F且平行AC的直线于点G，连接DG交AC于点M，过点A作x轴的垂线，交EC的延长线于点B，交DG的延长线于点R，CM=23RB，连接RE并延长交抛物线于点N，RA=RN，点T在△ADM内，连接AT，CT，∠ATC=135°，DH⊥AT，交AT的长线于点H，HT=2DH41．（2024·青海西宁）如图，二次函数的图象与x轴交于点A−3，0，与y轴交于点B，顶点C(1)求二次函数的解析式．(2)判断△ABC的形状，并说明理由．(3)在直线AB上方的抛物线上是否存在一点P，使S△PAB=2S42．（2024·宁夏）抛物线y=ax2−32x−2与x轴交于A−1,0，B(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．设点D的横坐标为m，当PE=52BE(3)如图2点F1,0，连接CF并延长交直线PD于点M，点N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点H43．（2024·西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3a≠0与x轴交于A−1,0，B3,0两点，与(1)求抛物线的解析式；(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使PA−PD有最大值？若存在，求出PA−PD的最大值；若不存在，请说明理由；(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N．若tan∠MCN=2344．（2024·山东德州）已知抛物线y=x2−4mx+2m+1(1)如果该抛物线经过点4,3，求此抛物线的顶点坐标．(2)如果当2m−3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，求m的值．(3)点O0,0，点A1,0，如果该抛物线与线段OA（不含端点）恰有一个交点，求45．（2024·江苏徐州）如图，A、B为一次函数y=−x+5的图像与二次函数y=x2+bx+c的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y=x2+bx+c的图像上的动点，且位于直线(1)求b、c的值；(2)求△PAB的面积的最大值．46．（2024·山东淄博）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于Ax1,0，Bx2,0两点（点A在点B的左侧），其中x(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)已知直线l:y=3x+9与x，y轴分别相交于点D，E．①设直线BC与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得∠PBF=∠DFB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；②过抛物线上一点M作直线BC的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线MB，NC相交于点Q．连接QD，QE．求线段QD+QE的最小值．47．（2024·海南）如图1，抛物线y=−x2+bx+4经过点A−4,0、B1,0，交y(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P的坐标为−2,6时，求四边形AOCP的面积；(3)当∠PBA=45°时，求点P的坐标；(4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接AE、AF、EF，判断△AEF的形状，并说明理由．48．（2024·江苏镇江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=−49(x−1)2+4的图像与x轴交于A、B两点（点A(1)求A、B、C三点的坐标；(2)一个二次函数的图像经过B、C、M(t,4)三点，其中t≠1，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段OB上（与点O、B不重合）．①若D点的坐标为(3,0)，则t=_________；②求t的取值范围：③求OD⋅DB的最大值．49．（2024·山东济南）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1:y=x2+bx+c经过点A0,2,B(1)求抛物线C1的表达式及顶点D(2)如图1，连接AD，点E是拋物线C1对称轴右侧图象上一点，点F是拋物线C2上一点，若四边形ADFE是面积为12的平行四边形，求(3)如图2，连接BD,DQ，点M是抛物线C1对称轴左侧图像上的动点（不与点A重合），过点M作MN∥DQ交x轴于点N，连接BN,DN，求△BDN50．（2024·湖北）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+3与x轴交于点A−1,0和点B，与(1)求b的值；(2)如图，M是第一象限抛物线上的点，∠MAB=∠ACO，求点M的横坐标；(3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N．设L的顶点横坐标为n，NC的长为d．①求d关于n的函数解析式；②L与x轴围成的区域记为U，U与△ABC内部重合的区域（不含边界）记为W．当d随n的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围．51．（2024·山东东营）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(2,0)两点，与y轴交于点C

(1)求抛物线的表达式；(2)当点D在直线BC下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交BC于点E，设点D的横坐标为t，DE的长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；(3)连接AD，交BC于点F，求S△DEF52．（2024·江苏宿迁）如图①，已知抛物线y1=x2+bx+c与x轴交于两点O(0,0)、A(2,0)，将抛物线y1向右平移两个单位长度，得到抛物线y2，点P是抛物线y(1)求抛物线y2(2)设点P的横坐标为xP，点Q的横坐标为xQ，求(3)如图②，若抛物线y3=x2−8x+t与抛物线y1=x2+bx+c交于点C，过点C作直线MN，分别交抛物线y1和y3于点M、N（M、N均不与点53．（2024·江苏无锡）已知二次函数y=ax2+x+c的图象经过点A(1)求这个二次函数的表达式；(2)若点Cm+1,y1，Dm+2,y(3)点P，Q在直线AB上，点M在该二次函数图象上．问：在y轴上是否存在点N，使得以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点54．（2024·四川雅安）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于A1,0，B3,0(1)求二次函数的表达式；(2)如图①，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段PQ的长度最大时，求点Q的坐标；(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且∠CQD=2∠OCQ．在y轴上是否存在点E，使得△BDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E55．（2024·黑龙江大庆）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于A，B两点．A点坐标为(−1,0)，与y轴交于点C(0,3)，点M为抛物线顶点，点E

(1)求二次函数的表达式；(2)在直线BC上方的抛物线上存在点Q，使得∠QCB=2∠ABC，求点Q的坐标；(3)已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点．①若点F与点C重合，D(m,−12)，且m>1，求证：D，E，F三点共线；②若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．56．（2024·四川资阳）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB,PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点K．记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S2，求(3)如图2，连接AC，点E为线段AC的中点，过点E作EF⊥AC交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使∠QFE=2∠OCA？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．57．（2024·山东济宁）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过0,−3，−b,c两点，其中a(1)求a，c的值；(2)若该二次函数的最小值是−4，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE．是否存在点P，使S△PCES△CBE58．（2024·湖南长沙）已知四个不同的点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,(1)当A，B两点的坐标分别为−1,−4，3,4时，求代数式2024a+1012b+3(2)当A，B两点的坐标满足a2+2(y(3)当a>0时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：2a2+2(y1+y2)a+y12+y22=0，2a259．（2024·山东泰安）如图，抛物线C1:y=ax2+43x−4的图象经过点(1)求抛物线C1(2)将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D(3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，请求出点P60．（2024·内蒙古呼伦贝尔）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图像经过原点和点A4,0．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．61．（2024·广东广州）已知抛物线G:y=ax2−6ax−a3+2a2+1(a>0)过点Ax1,2和点Bx2,2，直线l:y=m2(1)求抛物线G的对称轴；(2)求m的值；(3)直线l绕点C以每秒3°的速度顺时针旋转t秒后(0≤t<45)得到直线l′，当l′∥AB时，直线l′交抛物线G于①求t的值；②设△AEF的面积为S，若对于任意的a>0，均有S≥k成立，求k的最大值及此时抛物线G的解析式．62．（2024·黑龙江牡丹江）如图，二次函数y=12x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为−1,0(1)求该二次函数的解析式；(2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△BCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为______．63．（2024·内蒙古包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−2x2+bx+c与x轴相交于A1,0，B两点（点A在点B左侧），顶点为(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，若C是y轴正半轴上一点，连接AC,CM．当点C的坐标为0,12时，求证：(3)如图2，连接BM，将△ABM沿x轴折叠，折叠后点M落在第四象限的点M′处，过点B的直线与线段AM′相交于点D，与y轴负半轴相交于点E．当BDDE=64．（2024·四川广元）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：y=−x2+bx+c经过点A−3,−1，与(1)求抛物线的函数表达式；(2)在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接OC交AB于点D，求CDOD的最大值及此时点C(3)作抛物线F关于直线y=−1上一点的对称图象F′，抛物线F与F′只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线AB上一点，H为抛物线F′对称轴上一点，若以B，E，G，H65．（2024·黑龙江大兴安岭地）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B

(1)求抛物线的解析式．(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由．66．（2024·广东深圳）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设BD的读数为x，CD读数为y，抛物线的顶点为C．(1)（Ⅰ）列表：①②③④⑤⑥x023456y012.2546.259（Ⅱ）描点：请将表格中的x,y描在图2中；（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax−h2+k的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为AB，竖直跨度为CD，且AB=m方案一：将二次函数y=ax−h2+k平移，使得顶点C与原点O①此时点B′②将点B′坐标代入y=ax2中，解得a=________；（用含m方案二：设C点坐标为h,k①此时点B的坐标为________；②将点B坐标代入y=ax−h2+k中解得a=________；（用含m(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系xOy中有A，B两点，AB=4，且AB∥x轴，二次函数C1:y1=2x+h2+k和C2:y2=ax+h267．（2024·黑龙江绥化）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=−x2+bx+c与直线相交于A，B两点，其中点A(1)求该抛物线的函数解析式．(2)过点B作BC∥x轴交抛物线于点C，连接AC，在抛物线上是否存在点P使tan∠BCP=(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1=a1x2+b1x+c1a1≠0，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D68．（2024·黑龙江齐齐哈尔）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=12x−2与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴的另一个交点为点B(−1，0)，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x(1)求抛物线的解析式；(2)点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；(3)当EF=AC时，求点P的坐标；(4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接NA，MP，则69．（2024·天津）已知抛物线y=ax2+bx+c a，b，c为常数，a>0的顶点为P(1)当a=1，c=−1时，求该抛物线顶点(2)当OM=OP=132时，求(3)若N是抛物线上的点，且点N在第四象限，∠MDN=90°，DM=DN，点E在线段MN上，点F在线段DN上，NE+NF=2DM，当DE+MF取得最小值为70．（2024·湖北）如图1，二次函数y=−x2+bx+3交x轴于A−1,0和B，交(1)求b的值．(2)M为函数图象上一点，满足∠MAB=∠ACO，求M点的横坐标．(3)如图2，将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为L,L与y轴交于点D，记DC=d，记L顶点横坐标为n．①求d与n的函数解析式．②记L与x轴围成的图象为U,U与△ABC重合部分（不计边界）记为W，若d随n增加而增加，且W内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出n的取值范围．71．（2024·福建）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(1)求二次函数的表达式；(2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标．72．（2024·四川眉山）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A−3,0和点B，与y轴交于点

(1)求该抛物线的解析式；(2)当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标；(3)在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．73．（2024·甘肃）如图1，抛物线y=ax−h2+k交x轴于O，A4,0两点，顶点为B2,2(1)求抛物线y=a(x−h)(2)过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长．(3)点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值．74．（2024·山东烟台）如图，抛物线y1=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OC=OA，AB=4，对称轴为直线l1:x=−1，将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2(1)分别求抛物线y1和y(2)如图1，点F的坐标为−6,0，动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接FM，DN．求(3)如图2，点H的坐标为0,−2，动点P在抛物线y2上，试探究是否存在点P，使∠PEH=2∠DHE？若存在，请直接写出所有符合条件的点P75．（2024·四川凉山）如图，抛物线y=−x2+bx+c与直线y=x+2相交于A−2，(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A,B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE=2ED时，求P点坐标；(3)抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．76．（2024·上海）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线y=13x2后得到的新抛物线经过(1)求平移后新抛物线的表达式；(2)直线x=m（m>0）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q．①如果PQ小于3，求m的取值范围；②记点P在原抛物线上的对应点为P′，如果四边形P′BPQ有一组对边平行，求点P的坐标．77．（2024·四川广安）如图，抛物线y=−23x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为(−1,0)

(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由．(3)点M为该抛物线上的点，当∠MCB=45°时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．78．（2024·江苏连云港）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx−1（a、b

(1)若抛物线与x轴交于A(−1,0)、B(4,0)两点，求抛物线对应的函数表达式；(2)如图，当b=1时，过点C(−1,a)、D(1,a+22)分别作y轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接MN、MD．求证：(3)当a=1，b≤−2时，过直线y=x−1(1≤x≤3)上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H．若GH的最大值为4，求b的值．79．（2024·山东）在平面直角坐标系xOy中，点P2,−3在二次函数y=ax2(1)求m的值；(2)若点Qm,−4在y=ax2(3)设y=ax2+bx−3的图像与x轴交点为x1,0，x80．（2024·四川南充）已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A

(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，抛物线与y轴交于点C，点P为线段OC上一点（不与端点重合），直线PA，PB分别交抛物线于点E，D，设△PAD面积为S1，△PBE面积为S2，求(3)如图2，点K是抛物线对称轴与x轴的交点，过点K的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M，N，过抛物线顶点G作直线l∥x轴，点Q是直线l上一动点．求81．（2024·四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y=ax2−2ax−3aa>0与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为(1)求线段AB的长；(2)当a=1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD(3)延长CD交x轴于点E，当AD=DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△A′EB′．将抛物线L平移得到抛物线L′，使得点A′，B82．（2024·四川泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A3,0，与y轴交于点(1)求该抛物线的解析式；(2)当−1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t−1，求t的值；(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．83．（2024·四川宜宾）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A−1,0和点B，与(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；(2)在y轴上是否存在一点M，使得△BDM的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点E在以点P3,0为圆心，1为半径的⊙P上，连接AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连接BF．求BF84．（2024·四川达州）如图1，抛物线y=ax2+kx−3与x轴交于点A−3,0和点B1,0，与y

(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC=2S(3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．85．（2024·重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A−1,0，B两点，交y轴于点(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D，作PE⊥BC于点E，求PD+5(3)将抛物线沿射线BC方向平移5个单位，在PD+52PE取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接AF交y轴于点M，点N为平移后的抛物线上一点，若∠NMF−∠ABC=45°86．（2024·四川自贡）如图，抛物线y=ax2−32x+c与x轴交于(1)求抛物线的解析式及P点坐标；(2)抛物线交y轴于点C，经过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D，求线段CD的长；(3)过点P的直线y=kx+n分别与抛物线、直线x=−1交于x轴下方的点M，N，直线NB交抛物线对称轴于点E，点P关于E的对称点为Q，MH⊥x轴于点H．请判断点H

参考答案与解析一、选择题1．（2024·内蒙古赤峰）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=−x2+4上，点D在y轴上．若A，CA．m+n=1 B．m−n=1 C．mn=1 D．m【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接AC、BD交于点E，过点A作MN⊥y轴于点M，过点B作BN⊥MN于点N，先证明△ANB≌△DMA(AAS)．可得AM=NB，DM=AN．点A、C的横坐标分别为m、n，可得A(m,−m2+4)，C(n,−n2+4)．E(m+n2，−m2−n2+82)，M(0,−m【详解】解：如图，连接AC、BD交于点E，过点A作MN⊥y轴于点M，过点B作BN⊥MN于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴AC、BD互相平分，AB=AD，∠BAD=90°，∴∠BAN+∠DAM=90°，∠DAM+∠ADM=90°，∴∠BAN=∠ADM．∵∠BNA=∠AMD=90°，BA=AD，∴△ANB≌△DMA(AAS∴AM=NB，DM=AN．∵点A、C的横坐标分别为m、n，∴A(m,−m2+4)∴E(m+n2，−m设D(0,b)，则B(m+n,−m2−∴BN=−n2+4−b，AM=m，AN=n又AM=NB，DM=AN，∴−n2+4−b=m∴b=−n∴n=m∴(m+n)(m−n)=m+n．∵点A、C在y轴的同侧，且点A在点C的右侧，∴m+n≠0．∴m−n=1．故选：B．二、解答题2．（2025·西藏）已知抛物线y=ax2+bx−4过点A−1,0，Bm,0，与y轴交于点C．点B是x轴正半轴上的动点，点F是抛物线在第四象限图象上的动点，连接BC，AF，且AF交y轴于点D(1)当m=3时，求抛物线的解析式；(2)如图1，在（1）的条件下，若∠CDE=∠CED，求直线AF的解析式；(3)要使得∠DCE=∠DEC成立，请探索m的取值范围（直接写出结果）；(4)如图2，∠DCE=∠DEC，当m为何值时，OD的长度等于1？【答案】(1)y=(2)y=−(3)m>4(4)m=4+4【分析】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，正切的定义，等腰三角形的性质与判定；（1）当m=3时，二次函数y=ax2+bx−4的图象与x轴交于A(−1,0),B(3,0)，设二次函数的交点式为y=a(x+1)(x−3)（2）根据解析式求得点C0,−4，进而勾股定理求得BC=5，作∠DCE的角平分线CG交x轴于点G，则∠OCG=∠BCG，AF⊥CG，进而得出∠OCG=∠OAD，根据角平分线的定义得出OCBC=OGBG=4（3）先找到临界值，当m=4时，OB=OC=4，此时得出F,B重合，根据题意可得F是第四象限的点，则当∠OCB>45°时，m>4即可求解；（4）根据题意得出△OAD是等腰直角三角形，进而根据已知得出∠OCB=∠DCE=∠DEC=67.5°，取H4,0得出△OCH是等腰直角三角形，进而求得HC=HB=42，即可得出【详解】（1）解：当m=3时，二次函数y=ax2+bx−4的图象与x∴设二次函数的交点式为y=a(x+1)(x−3)，∵y=a(x+1)(x−3)=ax2−2x−3∴−3a=−4，解得a=4∴函数的解析式为y=4（2）解：对于二次函数y=4令x=0，可得y=−4，则点C的坐标为(0,−4)，则OC=4∵∠CDE=∠CED，∴CD=CE，∵OB=3,OC=4∴BC=O如图，作∠DCE的角平分线CG交x轴于点G，则∠OCG=∠BCG，AF⊥CG∴∠OAD=90°−∠AGC=∠OCG=1设G到BC的距离为d，则d=OG，∵S△OCG∴OCBC∴OG=4∴tan∠OCG=∵∠OCG=∠OAD，∴tan∠OAD=∵A−1,0，则OA=1∴OD=1∴D0,−设直线AF的解析式为y=kx+bk≠0，代入A−1,0∴−k+b=0b=−解得：k=−1∴直线AF的解析式y=−1（3）解：当m=4时，OB=OC=4，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OCB=45°．∵∠DCE=∠DEC，∴∠CDE=90°，则D,O重合，F,B重合，又∵F是第四象限的点，∴当∠OCB>45°时，则∠CDF<90°，m>4．∴要使得∠DCE=∠DEC成立，m的取值范围为m>4；（4）解：∵OD=OA=1，∴△OAD是等腰直角三角形．∴∠CDE=∠ADO=45°．∴∠OCB=∠DCE=∠DEC=67.5°．在Rt△OBC中，∠OBC=22.5°如图所示，取H4,0∴OC=OH．∴△OCH是等腰直角三角形．∴∠OCH=45°．∴∠HCB=∠OBC=22.5°．∴HC=HB=42∴OB=OH+HB=4+42即m=4+423．（2025·江苏无锡）已知二次函数y=−12x2+mx+33mm≠0图象的顶点为A(1)若该函数图象经过点0,3，求点A(2)若m<3，点P2,y1和Q(3)若△ABC是等腰三角形，求m的值．【答案】(1)点A的横坐标为3(2)证明见解析(3)m=233或【分析】（1）把0,3代入y=−12（2）先求解y1=−2+2m+33m，y（3）先求解B0,33m，Am,m22+【详解】（1）解：∵二次函数y=−12x∴33解得：m=3，∴二次函数为y=−1∴xA∴点A的横坐标为3.（2）解：∵点P2,y1和Q∴y1=−2+2m+3∵m<3，y=−2m−3∴y1（3）解：在函数y=−1当x=0时，y=3∴B0,∵y=−12x2+mx+3∴Am,m2∴AB2=m2当AB=AC时，则m2解得：m=0（舍去），m=2当AB=BC时，则m2解得：m=0（舍去），m=±2当AC=BC时，则m2解得：m=0（舍去），m=233综上：m=233或m=−【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形定义，两点间的距离公式等，解题的关键是分类讨论思想的应用．4．（2025·青海西宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，以P为顶点的抛物线的解析式为y=ax2−4axa<0，点A的坐标是−1,0，以原点为中心，把点A顺时针旋转(1)直接写出A′(2)当3≤x≤5时，y有最大值为1−2a，求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点A′，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N【答案】(1)A′0,1(2)y=−(3)存在；2,1，−2,【分析】本题考查旋转的性质，二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：（1）根据旋转的性质，二次函数的对称轴公式进行计算即可；（2）根据二次函数的增减性，列出方程求出a的值即可；（3）分A′P为对角线，A′【详解】（1）解：∵点A的坐标是−1,0，∴OA=1，∵以原点为中心，把点A顺时针旋转90°，∴∠AOA此时点A′在y∴A′∵y=ax∴对称轴为直线x=−−4a（2）∵y=ax2−4ax∴当x>2时，y随x的增大而减小，∵3≤x≤5，∴当x=3，y有最大值为a×3∴a=−1，∴y=−x（3）存在；∵y=−x∴当x=2时，y=−2∴P2,4设M0,m，N由（1）知：A′当以点A′，P，M，N①当A′P为对角线时，则△AMP为以M为顶点的直角三角形，PN∥A′M∴PM⊥y轴，∴A′∴M0,4，N②当以A′M为对角线时，则：0+0=2+s1+m=4+t∴M0,t+3，N∵A′∴t+3−12=2+2∴N−2,③当以PM为对角线时，要满足A′，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足△A′PM是以综上：N2,1或N5．（2025·江苏镇江）在平面直角坐标系中，过点T0,t作y轴的垂线与二次函数y=12x−h2+k（h、k为常数）的图像交于点E、F（点E在点F的左侧），点P在直线EF上，当点P满足(1)二次函数y=1①在t的不同取值2、92、5中，使该函数图像有T∼6生长点的t②已知Pm,n是该函数图像的T∼6生长点，猜想n(2)二次函数y=12x−h2+k（h、k为常数）的图像经过点6,1【答案】(1)①2,92②猜想(2)y=12【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像和性质，新定义，是解题的关键：（1）①令y=12x2=t②点P在直线EF上，得到n=t，由①可知n≤92，再根据y=t与y=1（2）把6,1代入函数表达式，得到1=126−h2+k【详解】（1）解：①当y=12x∴E−∴EF=22t∴当t=2时，EF=4，此时在线段EF的延长线上或线段FE的延长线上，存在点P使PE+PF=6，满足题意；当t=92时，∴当点P在线段EF上时，PE+PF=EF=6，满足题意；当t=5时，EF=22×5∴直线EF上不存在点P使PE+PF=6，不满足题意；综上：使该函数图像有T∼6生长点的t的值是2,9②猜想0<n≤9∵点P在直线EF上，∴n=t，由（1）知：当t=92时，此时∴当t>92时，EF>6，此时直线EF上不存在点P使∴n≤9又∵过点T0,t作y轴的垂线与y=12而y=12x∴n>0；∴0<n≤9（2）∵二次函数y=12x−h2+k（h∴1=1∵P3,5是该函数图像的T∼6∴t=5，当y=12x−h∴x=h±2∴Eh−∴EF=22①当点P在线段EF上时，则：PE+PF=EF=22∴25−k解得k=1把k=12代入1=126−h当h=5时，E2,5当h=7时，E4,5,F10,5，此时点P∴y=1②当点P在点E的左侧时，则：PE=h−2∴PE+PF=h−2∴2h=12，∴h=6，把h=6，代入1=126−h此时E6−2∴y=1③当点P在点F的右侧时，则：PE=3−h+2∴PE+PF=3−h+2∴h=0，把h=0，代入1=126−h∴2此时E−211,5,F2综上：y=12x−56．（2025·海南）如图，抛物线y=ax2+bx+ca>0经过A4,0、B−2,6两点．点Px0,(1)若c=−4．①求抛物线的解析式；②求线段PQ长度的最大值；③若t≤x0≤t+1，求x0取何值时线段PQ的长度最大（可用含(2)若c≠−4，t≤x【答案】(1)①y=x(2)不发生变化，理由见解析【分析】本题主要考查二次函数的判定和性质，待定系数法确定函数解析式，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键．（1）①利用待定系数法代入计算求解即可；②设直线AB的解析式为y=kx+b，利用待定系数法确定函数解析式，然后结合图形得出PQ=−③根据二次函数的性质结合图象求解即可；（2）根据题意重新确定二次函数的解析式为y=ax2−(1+2a)x+4−8a【详解】（1）解：①∵c=−4，∴设抛物线的解析式为：y=ax∵抛物线y=ax2+bx+ca>0经过∴0=16a+4b−46=4a−2b−4，解得：a=1∴抛物线的解析式为：y=x②设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A、B代入得：0=4k+b6=−2k+b，解得：k=−1∴y=−x+4，∵点Px0,y0是线段AB上的动点，过点P∴Px0,−∴PQ=−由题意得：−2≤x∴当x0=1时，③∵PQ=−(x∴当t≥−2，t+1≤1时，即−2≤t≤0时，PQ的最大长度在x0当t<1，t+1>1时，即0<t<1时，PQ的最大长度在x0当t≥1，t+1≤4时，即1≤t≤3时，PQ的最大长度在x0（2）解：不发生变化，理由如下：∵抛物线y=ax2+bx+ca>0经过∴0=16a+4b+c6=4a−2b+c，解得：b=−1−2a∴抛物线的解析式为：y=ax∵点Px0,∴y0∵点Q在抛物线上，∴点Q的坐标为Qx∴PQ=−∵PQ解析式图形开口方向及对称轴同（1）中③的解析图象一致，∴问题（1）中③的结论未发生变化．7．（2025·黑龙江大庆）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过坐标原点O及点A23,3，过点A作射线AM平行于y轴（点M在点A上方），点F坐标为0,1，连接AF并延长交抛物线于点E，射线AB平分∠FAM，过点A作AB的垂线(1)求二次函数的表达式；(2)判断直线l与二次函数y=ax(3)点Pm,0为x轴上的一个动点，且∠APE为钝角，请直接写出实数m【答案】(1)y=(2)1个，理由见解析(3)当∠APE为钝角时，2【分析】本题考查了二次函数综合，一次函数与二次函数交点问题，直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；（1）根据二次函数的图象对称轴为y轴，过坐标原点O及点A2（2）设AB与y轴交于点G，过点A作AH⊥y轴于点H，先解Rt△HAF，进而得出△GFA是等边三角形，得出G0,5，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出T0,−3，求得直线TA（3）先求得直线TA的解析式为y=33x+1，联立二次函数解析式得出E−233,13，当以AE为直径的圆与x轴相交时，设交点为M,N，交点与A,E构成的三角形为直角三角形，当P在MN之间时，即P在圆内，此时【详解】（1）解：∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，过坐标原点∴12a+2∴a=∴二次函数解析式为：y=（2）解：如图，设AB与y轴交于点G，过点A作AH⊥y轴于点H，∵A23,3，点F∴AH=23，∴tan∠HFA=AHHF∴∠HFA=60°∵AM∥∴∠MAF=120°∵射线AB平分∠FAM，∴∠FAG=1∴∠GFA=∠FAG=60°，∴△GFA是等边三角形，∴∠TGA=60°，GF=AF=AG=4，∴G0,5又∵AB⊥AT，∴∠GTA=30°，∴GT=2GA=8，∴T0,5−8即T设直线TA的解析式为y=kx+bk≠0，代入T0,−3，∴23解得：k=3∴直线TA的解析式为y=3联立y=3消去y得，14∵Δ=∴直线l与二次函数y=ax2（3）解：设直线AE的解析式为y=k1x+b1∴23解得：k=3∴直线AE的解析式为y=3联立y=3解得：x=−23∴E如图，当以AE为直径的圆与x轴相交时，设交点为M,N，交点与A,E构成的三角形为直角三角形，当P在MN之间时，即P在圆内，此时∠APE>90°∵Pm,0，E−2∴AE=2当∠APE=90°时，PA∴2解得：m1∴当∠APE为钝角时，238．（2025·甘肃甘南）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−5a≠0交x轴于A，C两点，交y轴于点(1)求此抛物线的表达式；(2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM周长最小，请求出点M的坐标；(3)连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标．【答案】(1)y=(2)M(3)则点P的坐标为：−5+52【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质的综合，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．（1）根据二次函数解析式可求出OB=5=OC=5OA，可得点A,B,C的坐标，运用交点式即可求解二次函数解析式；（2）根据抛物线的解析式可得点A的对称点为点C，结合轴对称最短路径可得△ABM的周长=AB+AM+BM=AB+CM+BM=AB+BC为最小，根据点B,C的坐标可求出直线BC的解析式，由抛物线的对称轴为x=−2，代入直线BC的解析式即可求解；（3）根据平行四边形的判定和性质可得PQ=OB=5，设点Px,−x−5则Q【详解】（1）解：由抛物线的表达式y=ax2+bx−5∴OB=OC=5=5OA，∴OA=1，∴A1,0，B0,−5，设抛物线的表达式为：y=ax−1∴−5a=−5，∴a=1，故抛物线的表达式为：y=x（2）解：由（1）可知，抛物线的表达式为：y=x∴对称轴为直线x=−2，∴点A关于抛物线对称轴的对称点为点C，∴BC交抛物线的对称轴于点M，即为所求点的位置，即△ABM的周长=AB+AM+BM=AB+CM+BM=AB+BC为最小，已知B0,−5，C设直线BC的解析式为：y=kx+bk≠0∴b=−5−5k+b=0解得k=−1b=−5∴直线BC的解析式为：y=−x−5∵抛物线的对称轴为直线x=−2，∴当x=−2时，y=−x−5=−3，则点M−2,−3（3）解：由（1）和（2）可知，抛物线的解析式为y=x2+4x−5，直线BC∴如图所示，设点Px,−x−5，根据过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，四边形OBQP为平行四边形，则Q∴PQ=OB=5，∴PQ=−x−5∴x解得：x1=−5+∴当x=−5+52时，−x−5=−当x=−5−52时，∴点P的坐标为：−5+52,9．（2025·宁夏）如图，抛物线y=ax2−2x+3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，顶点C(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，将直线AB沿y轴向上平移mm>0个单位长度，当它与抛物线有交点时，求m(3)如图2，抛物线的对称轴交直线AB于点D，交x轴于点E，连接AC．抛物线上是否存在点P（不与点C重合），使得S△PAD=S【答案】(1)y=−(2)0<(3)存在点P，横坐标为−2,−3+172【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的计算以及面积相等的点的存在性问题．（1）利用顶点横坐标为−1和公式x=−b2a求出参数（2）先求点A和B的坐标，确定直线AB方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式≥0求m的范围；（3）先求对称轴与直线AB的交点D及顶点C,计算S△CAD；设点P坐标，利用面积公式S【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为−1，∴由顶点公式x=−b2a，其中b=−2,∴a=−1∴抛物线表达式为y=−x（2）当y=0时，−x2解得x=−3或x=1（舍去），故A−3,0当x=0时，y=3,故B0,3设直线AB的方程为y=kx+b,将点A−3,0与点B0,3∴直线AB的方程为y=x+3．向上平移m个单位后，直线方程为y=x+3+m．与抛物线y=−x2整理得：x抛物线与直线有交点时，Δ=解得m≤94，又∴m的取值范围为0<m≤9（3）抛物线对称轴为x=−1．直线AB:y=x+3,当x=−1时，y=2,故D−1,2顶点C:当x=−1,y=−−12−2×点A−3,0S设Px,y在抛物线上，y=−如图，情况1：过点C作AB的平行线，与抛物线交于点P，此时S△PAD因OA=OB，且PC∥AB，故可设直线PC的解析式为y=x+t，将点C−1,4代入求得t=5，即PC的解析式为y=x+5联立抛物线方程y=−x解得：x=−2y=3或x=−1∴点P坐标为−2,3.情况2：过点E作AB的平行线，交抛物线于点P1与P2，因∴直线PC向下平移到直线AB的距离等于直线AB向下平移到直线P1当y=x+t过点E时，代入−1,0∴解析式为y=x+1，联立y=−x整理得：x2解得：x=−3±即点P1的横坐标是−3−172，点P综上所述，存在点P,横坐标为−2,−3+10．（2025·四川广元）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−4（a>0）与x轴交于点A和点B−4,0，与(1)求b与a的关系；(2)如图①，当a=12时，点P在抛物线上，S△PBC(3)如图②，若抛物线上一点Q关于直线BC的对称点是△AOC的外心M，求a的值．【答案】(1)b=4a−1(2)P−2,−4或P−2+2(3)a=【分析】（1）将B−4,0代入y=a（2）先求得直线BC的解析式y=−x−4，当P在BC的下方时，如图，过点P作PQ⊥x轴，交BC于点Q，进而求得PQ的长，根据三角形的面积公式建立方程，即可求解；当P在BC上方时，过点M作BC的平行线交抛物线与点P1,P2，得出直线（3）根据题意先求得A1a,0，根据直角三角形的外心在斜边的中点上得出M12a,−2，设Qx,y，QM的中点为N，过点Q作TQ∥x轴交BC于点T，进而得出△NTM是等腰直角三角形，则T12a,y，根据中点坐标求得N，代入【详解】（1）解：将B−4,0代入y=a16a−4b−4=0∴4a−b−1=0即b=4a−1（2）解：∵a=∴b=4×∴抛物线解析式为y=当x=0时，y=−4∴C设直线BC的解析式为y=kx+bk≠0，代入B−4,0得−4k+b=0解得：k=−1∴y=−x−4当P在BC的下方时，如图，过点P作PQ⊥x轴，交BC于点Q，设Pm,1∴PQ=−m−4−∵B∴BO=4∵S∴1∴1解得：m=−2∴1∴P−2,−4，则∴PQ=−12×−22∴PC=PQ，∴△PCQ是等腰直角三角形∴∠PCQ=45°∴P到BC的距离为2如图，延长PQ交x轴于点M，则M∴△AQM是等腰直角三角形，且BM=2∴M到CB的距离为22∵S∴当P在BC上方时，点P在过点M与BC的平行线上，设过点M与BC的平行线交抛物线于点P1设直线BM的解析式为y=−x+t代入M∴0=2+t解得：t=−2∴y=−x−2联立y=解得：x=−2+22y=−2∴P−2+22综上所述，P−2,−4或P−2+2（3）抛物线方程为y=ax2+bx−4当x=0时，y=−4，则C故抛物线为：y=a设Ak,0当y=0时，a∵B(−4,0)∴x∴x即−4+k=−4a−1a∴A∵△AOC是直角三角形，∴△AOC的外接圆的圆心在AC上，且为AC的中点，∵C0,−4，∴△AOC的外接圆的圆心坐标为：1因为直线BC的解析式为y=−x−4如图，设Qx,y，QM的中点为N，过点Q作TQ∥x轴交∵OB=OC=4∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC=45°∴∠NTQ=∠OBC=45°∴△QTN是等腰直角三角形，∵Q,M关于BC对称，∴QM⊥NT,QN=NM∴NM=NT，∴△NTM是等腰直角三角形，∴T∵Qx,y，∴Nx+∵N在BC上，∴y−22∴y−2=−x+12a∵MT=QT∴−2−y=∴x−y=1联立①②得，x=−2∴Q(−2,−4−∵Q在抛物线上，代入抛物线方程：−4−解得：a=1−3∵a>0∴a=【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，三角形的外心的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等，熟练掌握以上知识是解题的关键．11．（2025·四川资阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左边），与y轴相交于点C0,−3，且抛物线的顶点坐标为1,−4(1)求抛物线的表达式；(2)P是抛物线上位于第四象限的一点，点D0,−1，连接BC,DP相交于点E，连接PB．若△CDE与△PBE的面积相等，求点P(3)M,N是抛物线上的两个动点，分别过点M,N作直线BC的垂线段，垂足分别为G,H．是否存在点M,N，使得以M,N,G,H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．【答案】(1)y(2)P(3)存在，正方形的边长为92或【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）作PF⊥x轴，垂足为点F，设Pm,m2−2m−3，则：OF=m,PF=−m2+2m+3，BF=3−m（3）存在点M，N使四边形MNHG为正方形，如图所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NE∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，设Mx1,y1,Nx2,y2，设直线MN解析式为y=−x+b，与二次函数解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系表示出NF2【详解】（1）解：∵抛物线与y轴相交于点C0,−3，且抛物线的顶点坐标为1,−4∴设抛物线的解析式为：y=ax−1把C0,−3代入，得：a∴a=1，∴y=x−1（2）当y=x2−2x−3=0∴B3,0∵C0,−3∴设直线BC的解析式为：y=kx−3，把B3,0代入，得：k=1∴y=x−3，作PF⊥x轴，垂足为点F，设Pm,m2∴BF=3−m，∵△CDE与△PBE的面积相等，∴S△CDE+S∵D0,−1∴OD=1，∴12解得：m=73或∴P7（3）存在点M，N使四边形MNHG为正方形，如图所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NE∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，MN∥BC，由（2）可知，直线BC的解析式为y=x−3，设Mx1,y1联立得：y=x−by=消去y得：x2∴NF∵△MNF为等腰直角三角形，∴MN∵Ex∴NE∴NH∵四边形MNHG为正方形，∴NH∴42−8b=1整理得：b2解得：b=−15或b=5，∵正方形边长为MN=42−8b∴MN=92或2．即正方形的边长为92或【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待