人教版2024-2025年九年级数学2年全国中考真题汇编 5.2 矩形、菱形与正方形 第2课时 菱形

试卷第=page11页，共=sectionpages33页5.2矩形、菱形与正方形第2课时菱形一、选择题1．（2025·四川内江）按如下步骤作四边形ABCD：（1）画∠EAF；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AE、AF于点B、D：（3）分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC、DC、BD．若∠A=40°，则∠BDC的度数是（

）A．64° B．66° C．68° D．70°2．（2024·四川自贡）如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交∠A两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，AM的长为半径画弧，两弧交于点B，连接MB，NB．若∠A=40°，则∠MBN=（

A．40° B．50° C．60° D．140°3．（2024·湖北武汉）小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A=44°，则∠CBD的大小是（

）

A．64° B．66° C．68° D．70°4．（2025·湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB=3，则四边形ABCD的周长为（

）A．6 B．9 C．12 D．185．（2024·四川攀枝花）如图，四边形ABCD是平行四边形，给出下列四个条件：①AB=BC；②AC=BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD．若添加其中一个条件，不能使四边形ABCD是菱形的为（

）A．① B．② C．③ D．④6．（2024·湖南）下列命题中，正确的是（

）A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等C．正五边形的外角和为720° D．直角三角形是轴对称图形7．（2024·甘肃临夏）如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为3,4，则顶点A的坐标为（

）A．−4,2 B．−3,4 C．−2,4 8．（2024·黑龙江绥化）如图，四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（

）A．245 B．6 C．485 9．（2025·江苏常州）如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=5．若∠ABD=30°，则AC的长是（

）A．4 B．5 C．6 D．1010．（2024·上海）四边形ABCD为矩形，过A、C作对角线BD的垂线，过B、D作对角线A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形11．（2024·内蒙古通辽）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（

）A．∠BAC=∠BCA B．∠ABD=∠CBDC．OA2+O12．（2024·黑龙江大兴安岭地）如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM=2，BD=8，则MN的长为（

）

A．5 B．455 C．3513．（2024·湖南长沙）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=30°，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点F．设DE=x，AF=y，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（

）A．y=9x B．y=12x C．14．（2024·辽宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线y=34x上，若点B的横坐标是8，则点CA．(−1,6) B．(−2,6) C．(−3,6) D．(−4,6)15．（2024·山东济宁）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE=3，则菱形的边长为（

）

A．6 B．8 C．10 D．1216．（2024·江苏无锡）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中点，则sin∠EBC的值为（

A．35 B．75 C．211417．（2024·四川攀枝花）如图，在菱形ABCD中，∠C=120°，DC=4，点E为AB的中点，在对角线BD上有一动点P，则PA+PE的最小值为（

）A．4 B．22 C．23 18．（2025·山东烟台）如图，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA=3，反比例函数y=kxx>0的图象过点C和菱形的对称中心M，则kA．4 B．42 C．2 D．19．（2025·河南）如图，在菱形ABCD中，∠B=45°,AB=6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（

）A．2 B．6−32 C．22 20．（2025·广东广州）如图，菱形ABCD的面积为10，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的面积为（

）A．52 B．5 C．4 21．（2024·四川乐山）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，点P是BC边上一个动点，在BC延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接DP、AQ交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（

）A．36 B．33 C．3222．（2024·山东泰安）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E是AB边上的点，AE=4，BE=8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（A．2 B．43−2 C．2二、填空题23．（2024·四川）如图，在菱形ABCD中，AB=2，则菱形ABCD的周长为．24．（2025·黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，请添加一个条件，使平行四边形ABCD为菱形．25．（2024·上海）在菱形ABCD中，∠ABC=66°，则∠BAC=．26．（2024·江苏南通）若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为cm27．（2025·云南）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC, BD相交于点O．若AC=6，BD=5，则菱形ABCD的面积是28．（2025·四川成都）如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为．29．（2024·广西）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为cm30．（2024·西藏）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AC与BD相交于点O，请添加一个条件，使四边形ABCD是菱形．31．（2024·四川眉山）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=120°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连结AE分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为．32．（2024·内蒙古包头）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．若CE=AF，则DE的长为．33．（2024·广东）如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为．34．（2024·山东青岛）如图，菱形ABCD中，BC=10，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，则EO=．35．（2024·山东滨州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D=．36．（2024·陕西）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD=8，过点A作AE⊥AB，与BD相交于点E，连接CE，则四边形ABCE的面积为．37．（2025·四川凉山）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G，若AC=12,BD=16，则FG的长为．38．（2025·上海）在矩形ABCD中，E在边CD上，E关于直线AD的对称点为F，联结BE，AF，如果四边形AFEB是菱形，那么AB:AD的值为．39．（2025·江苏连云港）如图，在菱形ABCD中，AC=4，BD=2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为．40．（2025·黑龙江绥化）如图，在菱形ABCD中，AB=4，对角线BD=43，点P是边CD的中点，点M是对角线BD上的一个动点，连接PM、CM．则PM+CM的最小值是41．（2025·内蒙古）如图，在菱形ABCD中，AB=45，对角线BD的长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，连接EF．若BF=3，则EF的长为42．（2025·辽宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=12，点E在线段OA上，AE=2，点F在线段OC上，OF=1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则43．（2025·青海）如图，在菱形ABCD中，BD=6，E，F分别为AB，BC的中点，且EF=2，则菱形ABCD的面积为．44．（2025·青海西宁）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，连接OE．若BD=6，OE=5，则菱形ABCD的面积是45．（2025·四川巴中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，AO=4，BO=3，DH⊥AB于点H，DH的长为46．（2025·海南）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点G；作射线AG，交BD于点H．若AB=7，OH=2，则S47．（2025·江苏无锡）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点M．过点D作AC的平行线交BC的延长线于点N，连接MN．则MN的长为．48．（2024·贵州）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF．若sin∠EAF=45，AE=5，则AB49．（2024·浙江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，ACBD=53．线段AB与A′B′关于过点O的直线l对称，点B的对应点B′在线段OC上，A′B50．（2025·甘肃兰州）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE=CE．若AB=43，则AF=51．（2025·西藏）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，连接BD，点P是BD上的一个动点，连接PA，PC，则PA+PB+PC的最小值是．三、解答题52．（2025·四川达州）归纳与应用归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙：(1)尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质①____________________________________________________________________________；②____________________________________________________________________________；③____________________________________________________________________________．(2)实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，∠ABC=90°，点D是AC的中点，BE∥AC，AE∥53．（2025·吉林长春）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB=5,OA=4,OB=3．求证：▱ABCD是菱形．54．（2024·福建）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，∠BAF=∠DAE，求证：BE=DF．55．（2024·山东济南）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E,CF⊥AD，垂足为F．求证：AF=CE．56．（2024·四川广安）如图，在菱形ABCD中，点E在AB上，点F在BC上，且AE=CF，连接EF，求证：∠DEF=∠DFE．57．（2025·四川泸州）如图，在菱形ABCD中，E, F分别是边AB, 求证：AF=CE．58．（2024·山东德州）如图，▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD．

(1)求证：▱ABCD是菱形；(2)若AC=8，∠DCB=74°，求菱形ABCD的边长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，59．（2024·黑龙江哈尔滨）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，OA=OC，AB=BC．(1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形；(2)如图2，AB=AC，CH⊥AD于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，若∠FEC=75°，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段CE相等的线段（线段CE除外）．60．（2025·广东深圳）如图1，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AE=CD，AD=EC(1)求证：四边形ADCE为菱形；(2)如图2，若点O为AC上一点，AC=4，且E，A，D三点均在⊙O上，连接OD，CD与⊙O相切于点D，①求∠ACD=__________；②求⊙O的半径r；(3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线DF∥AC，交BC于点61．（2025·贵州）如图，在▱ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为E．延长BC至F，使CF=CE，连接EF，FD，且EF交CD于点G．(1)求证：▱ABCD是菱形；(2)若BE=EF,EC=4，求△DCF的面积．62．（2025·黑龙江大庆）如图．在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O．点B，点D关于AC所在直线对称．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)过点D作BC的垂线交BC延长线于点E．若CE=3，AD=5，求线段OC长．63．（2024·江苏盐城）如图1，E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF、CE交于点M，连接AG、CH交于点N，将四边形AMCN称为平行四边形ABCD的“中顶点四边形”．(1)求证：中顶点四边形AMCN为平行四边形；(2)①如图2，连接AC、BD交于点O，可得M、N两点都在BD上，当平行四边形ABCD满足________时，中顶点四边形AMCN是菱形；②如图3，已知矩形AMCN为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）64．（2024·云南）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且AB∥CD，AD∥(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长．65．（2024·四川广元）如图，已知矩形ABCD．(1)尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，交CD于点E，交AB于点F；（不写作法，保留作图痕迹）(2)连接AE、CF．求证：四边形66．（2025·四川遂宁）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，且AF⊥AB，CE⊥CD．(1)求证：△ABF≌△CDE；(2)连接AE，CF，若∠ABD=30°，请判断四边形67．（2025·江苏扬州）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F．(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)若AB=3，BC=5，CE平分∠ACD，求DE的长．68．（2025·山东青岛）如图，在▱ABCD中，E为AB的中点，F为ED延长线上一点，连接AF，BF，过点B作BG∥AF交FE的延长线于点G，连接(1)求证：△AEF≌△BEG；(2)已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AGBF的形状，并证明你的结论．条件①：EF=1条件②：EF⊥CD．（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）69．（2025·宁夏）如图，点P在直线l外．①在直线l上任取一点A，连接AP；②以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线l于点B；③分别以点P和点B为圆心，以大于12BP的长为半径画弧，两弧在∠BAP内交于点Q，作射线④以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C；⑤连接CB,CP．(1)由②得AP与AB的数量关系是__________；由③得到的结论是__________．(2)求证：四边形ABCP是菱形．70．（2025·江苏徐州）已知：如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，EF⊥AC于点G，交AD于点F，AB⊥AC，连接AE，CF．求证：(1)△AGF≌△CGE；(2)四边形AECF是菱形．71．（2025·青海西宁）如图，AB,AC是⊙O的弦，AB=AC，半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直，垂足分别为G，H，AM∥OF交OE于点M，AN∥OE交OF于点(1)求证：∠AOE=∠AOF；(2)求证：四边形AMON是菱形；(3)若AB=16，OA=10，则OM=_______．72．（2025·西藏）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E是BC的中点，且AC平分(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)已知AB=3，AE=2，求线段AC的长．73．（2024·四川凉山）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，AB=2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点

(1)求证：EN=CN；(2)求2EN+BN的最小值．74．（2024·江西）如图，AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）(1)如图1，过点B作AC的垂线；(2)如图2，点E为线段AB的中点，过点B作AC的平行线．75．（2024·内蒙古呼伦贝尔）如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB=AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF(1)求证：四边形ABEF是菱形：(2)若平行四边形ABCD的周长为22,CE=1,∠BAD=120°，求AE的长．76．（2024·江苏南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一点，△DEF和△ABC关于点O对称，连接AF,(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；(2)已知AC=4, BC=3，求四边形ACDF是菱形时77．（2025·四川德阳）如图，已知菱形OABC，点C在x轴上，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过菱形的顶点A3,4，连接OB，(1)求反比例函数解析式；(2)求直线OB的解析式和点D的坐标．78．（2024·山东威海）如图，在菱形ABCD中，AB=10cm，∠ABC=60°，E为对角线AC上一动点，以DE为一边作∠DEF=60°，EF交射线BC于点F，连接BE，DF．点E从点C出发，沿CA方向以每秒2cm的速度运动至点A处停止．设△BEF的面积为ycm(1)求证：BE=EF；(2)求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(3)求x为何值时，线段DF的长度最短．79．（2025·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，tan∠COA=3，OA的长是一元二次方程x2−3x−18=0的根，过点C作CQ⊥OA交OA于点Q，交对角线OB于点P．动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OA向终点A运动，动点N从点B以每秒3个单位长度的速度沿BO向终点O运动，M、(1)求点P坐标；(2)连接MN、PM，求△PMN的面积S关于运动时间t的函数解析式；(3)当t=3时，在对角线OB上是否存在一点E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．80．（2025·贵州）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点（点E与点B不重合）．【问题解决】（1）如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC=度，线段BP与线段AC的位置关系是；【问题探究】（2）如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP=30°,∠PEC=60°，探究线段BE与线段EC的数量关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF，射线EF交射线BC于点G，若BE=2FG,AB=5，求AP的长．81．（2024·广东广州）如图，在菱形ABCD中，∠C=120°．点E在射线BC上运动（不与点B，点C重合），△AEB关于AE的轴对称图形为△AEF．(1)当∠BAF=30°时，试判断线段AF和线段AD的数量和位置关系，并说明理由；(2)若AB=6+63，⊙O为△AEF的外接圆，设⊙O的半径为r①求r的取值范围；②连接FD，直线FD能否与⊙O相切？如果能，求BE的长度；如果不能，请说明理由．82．（2025·浙江）在菱形ABCD中，AB=5，(1)如图1，求sin∠BAC(2)如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线AC于点P，连接BP．①当EF⊥AC时，求AE的长．②求PA−PB的最小值．

参考答案与解析一、选择题1．（2025·四川内江）按如下步骤作四边形ABCD：（1）画∠EAF；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AE、AF于点B、D：（3）分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC、DC、BD．若∠A=40°，则∠BDC的度数是（

）A．64° B．66° C．68° D．70°【答案】D【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形ABCD是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．【详解】解：根据作图可得AB=AD=BC=CD∴四边形ABCD是菱形，则AB∥CD又∵∠A=40°，∴∠BDC=∠BDA=故选：D．2．（2024·四川自贡）如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交∠A两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，AM的长为半径画弧，两弧交于点B，连接MB，NB．若∠A=40°，则∠MBN=（

A．40° B．50° C．60° D．140°【答案】A【分析】本题考查了菱形的判定和性质．证明四边形AMBN是菱形，即可求解．【详解】解：由作图知AM=AN=BM=BN，∴四边形AMBN是菱形，∵∠A=40°，∴∠MBN=∠A=40°，故选：A．3．（2024·湖北武汉）小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A=44°，则∠CBD的大小是（

）

A．64° B．66° C．68° D．70°【答案】C【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形ABCD是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．【详解】解：作图可得AB=AD=BC=DC∴四边形ABCD是菱形，∴AD∵∠A=44°，∴∠MBC=∠A=44°，∴∠CBD=1故选：C．4．（2025·湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB=3，则四边形ABCD的周长为（

）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】C【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质，可得四边形的四条边长相等，代入已知边长，计算周长即可．【详解】解：∵在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，∴AB=AD，CB=CD，BA=BC，∴BC=CD=DA=AB，∵AB=3，∴四边形ABCD的周长为3×4=12，解法二：∵在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，∴四边形ABCD为菱形，∴菱形ABCD的周长为3×4=12，故选：C．5．（2024·四川攀枝花）如图，四边形ABCD是平行四边形，给出下列四个条件：①AB=BC；②AC=BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD．若添加其中一个条件，不能使四边形ABCD是菱形的为（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】本题主要考查了菱形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．根据菱形的判定方法，逐项进行判断即可．【详解】解：A、添加AB=BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以得出四边形ABCD是菱形，不符合题意；B、添加AC=BD，不能得出四边形ABCD是菱形，故符合题意；C、添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以得出四边形ABCD是菱形，不符合题意；D、四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴AD=CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴添加AC平分∠BAD，可以得出四边形ABCD是菱形，故不符合题意；故选：B．6．（2024·湖南）下列命题中，正确的是（

）A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等C．正五边形的外角和为720° D．直角三角形是轴对称图形【答案】A【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是掌握这些基础知识点．【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意；B、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意；C、正五边形的外角和为360°，选项错误，是假命题，不符合题意；D、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意；故选：A．7．（2024·甘肃临夏）如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为3,4，则顶点A的坐标为（

）A．−4,2 B．−3,4 C．−2,4 【答案】C【分析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形．结合菱形的性质求出AC=OC=5是解题关键．由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出AC=OC=5，从而可求出AD=2，即得出顶点A的坐标为−2,4．【详解】解：如图，∵点C的坐标为3,4，∴OC=3∵四边形ABOC为菱形，∴AC=OC=5，∴AD=AC−CD=AC−x∴顶点A的坐标为−2,4．故选C．8．（2024·黑龙江绥化）如图，四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（

）A．245 B．6 C．485 【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得OC，进而得出AC=6，进而根据等面积法，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，∴DO=12BD=4，AC⊥BD在Rt△CDO中，CO=∴AC=2OC=6，∵菱形ABCD的面积为12∴AE=1故选：A．9．（2025·江苏常州）如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=5．若∠ABD=30°，则AC的长是（

）A．4 B．5 C．6 D．10【答案】B【分析】本题考查的是菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质．根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=CO，根据含30°角的直角三角形的性质即可求得AO的长，从而得到结果．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，∴∠AOB=90°，∵∠ABD=30°，AB=5，∴AO=1∴AC=2AO=5，故选：B．10．（2024·上海）四边形ABCD为矩形，过A、C作对角线BD的垂线，过B、D作对角线A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形【答案】A【分析】本题考查矩形性质、等面积法、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形性质及菱形的判定是解决问题的关键．由矩形性质得到S△OBC=S△OAD，【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD为矩形，∴S△OBC=∵过A、C作对角线BD的垂线，过B、∴∴CH=BF=AE=DG，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为菱形，故选：A．11．（2024·内蒙古通辽）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（

）A．∠BAC=∠BCA B．∠ABD=∠CBDC．OA2+O【答案】D【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定．根据菱形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，逐项判断即可求解．【详解】解：A、∵∠BAC=∠BCA，∴AB=BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD是菱形，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵∠ABD=∠ADB，∴∠ABD=∠CBD∴AB=AD，∴▱ABCD是菱形，故本选项不符合题意；C、∵OA∴∠AOD=90°，即AC⊥BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD是菱形，故本选项不符合题意；D、∵AD∴∠OAD=90°，无法得到▱ABCD是菱形，故本选项符合题意；故选：D12．（2024·黑龙江大兴安岭地）如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM=2，BD=8，则MN的长为（

）

A．5 B．455 C．35【答案】C【分析】本题主要考查了解三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半．先由菱形性质可得对角线AC与BD交于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得OA=OC=OM=2，进而由菱形对角线求出边长，由sin∠MAC=sin∠OBC=55【详解】解：连接AC，如图，

∵菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，又∵点O是BD的中点，∴A、O、C三点在同一直线上，∴OA=OC，∵OM=2，AM⊥BC，∴OA=OC=OM=2，∵BD=8，∴OB=OD=1∴BC=OB2∵∠ACM+∠MAC=90°，∠ACM+∠OBC=90°，∴∠MAC=∠OBC∴sin∠MAC=∴MC=ACsin∴BM=BC−MC=25∴MN=BMtan故选：C．13．（2024·湖南长沙）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=30°，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点F．设DE=x，AF=y，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（

）A．y=9x B．y=12x C．【答案】C【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解x、y的关系式是解答的关键．过D作DH⊥BC，交BC延长线于H，则∠DHE=90°，根据菱形的性质和平行线的性质得到CD=AD=AB=6，∠ADF=∠DEH，∠DCH=∠B=30°，进而利用含30度角的直角三角形的性质DH=12CD=3，证明△AFD∽△DHE【详解】解：如图，过D作DH⊥BC，交BC延长线于H，则∠DHE=90°，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠B=30°，∴AB∥CD，AD∥∴∠ADF=∠DEH，∠DCH=∠B=30°，在Rt△CDH中，DH=∵AF⊥DE，∴∠AFD=∠DHE=90°，又∠ADF=∠DEH，∴△AFD∽△DHE，∴AFDH∵DE=x，AF=y，∴y3∴y=18故选：C．（法二：同理，DH=3，BC=6，∵AD∥∴S△AED∴12∵DE=x，AF=y，∴xy=6×3=18，∴y=18故选：C．14．（2024·辽宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线y=34x上，若点B的横坐标是8，则点CA．(−1,6) B．(−2,6) C．(−3,6) D．(−4,6)【答案】B【分析】过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，先求出B8,6，由勾股定理求得BO=10，再由菱形的性质得到BC=BO=10,BC∥x【详解】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，∵顶点B在直线y=34x∴yB=8×3∴B8,6∵BD⊥x轴，∴由勾股定理得：BO=B∵四边形ABCD是菱形，∴BC=BO=10,BC∥x轴，∴将点B向左平移10个单位得到点C，∴点C−2,6故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．15．（2024·山东济宁）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE=3，则菱形的边长为（

）

A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可得OE=1本题主要考查了菱形的性质和“直角三角形中斜边中线等于斜边一半”的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵E是AB的中点，∴OE=1∴AB=2OE=2×3=6。故选：A．16．（2024·江苏无锡）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中点，则sin∠EBC的值为（

A．35 B．75 C．2114【答案】C【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解．延长BC，过点E作BC延长线的垂线，垂足为点H，设BC=CD=x，易得∠ABC=∠DCH=60°，则CE=12CD=12x，进而得出【详解】解：延长BC，过点E作BC延长线的垂线，垂足为点H，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，AB∥∴∠ABC=∠DCH=60°，设BC=CD=x，∵E是CD的中点，∴CE=1∵EH⊥BH，∴EH=CE⋅sin∴BH=BC+CH=5BE=∴sin∠EBC=故选：C．17．（2024·四川攀枝花）如图，在菱形ABCD中，∠C=120°，DC=4，点E为AB的中点，在对角线BD上有一动点P，则PA+PE的最小值为（

）A．4 B．22 C．23 【答案】C【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，连接AC，PC，EC，由菱形的性质可得AB=BC=CD=4，∠ACB=12∠BCD=60°，BD垂直平分AC，则可证明△ABC是等边三角形，AP=CP，求出CE的长，根据PA+PE=PC+PE，可得当C、P【详解】解：如图所示，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠C=120°，DC=4，∴AB=BC=CD=4，∠ACB=12∠BCD=60°∴△ABC是等边三角形，AP=CP，∵点E为AB的中点，∴BE=12AB=2∴CE=B∵PA+PE=PC+PE，∴当C、P、E三点共线时，PC+PE有最小值，即此时PA+PE有最小值，最小值为CE的长，∴PA+PE的最小值为23故选：C．18．（2025·山东烟台）如图，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA=3，反比例函数y=kxx>0的图象过点C和菱形的对称中心M，则kA．4 B．42 C．2 D．【答案】D【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，先证明AM=CM，OC=OA=BC=AB=3，设Cx,y，可得Mx+32,y2，xy=x+32⋅【详解】解：∵菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA=3，∴AM=CM，OC=OA=BC=AB=3，∴A3,0设Cx,y∴Mx+3∴xy=x+3解得：x=1，过C作CH⊥AO于H，∴OH=1，∴CH=3∴C1,2∴k=1×22故选：D19．（2025·河南）如图，在菱形ABCD中，∠B=45°,AB=6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（

）A．2 B．6−32 C．22 【答案】D【分析】由折叠的性质可知，∠AEB=∠AEF=90°，BE=EF，再根据菱形的性质，得出AE=BE，从而求出BE=32，则BF=6【详解】解：由折叠的性质可知，∠AEB=∠AEF=90°，BE=EF，在菱形ABCD中，∠B=45°,AB=6，∴∠BAE=∠B=45°，BC=AB=6，∴AE=BE，∴AB=A∴BE=32∴BF=2BE=62∴CF=BF−BC=62故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键．20．（2025·广东广州）如图，菱形ABCD的面积为10，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的面积为（

）A．52 B．5 C．4 【答案】B【分析】本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，BD=2EH，AC=2EF，证明四边形EFGH是矩形，进而得菱形ABCD的面积=1【详解】解：连接AC、BD交于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，∴EH∥BD，FG∥BD，∴EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴∠BAO+∠ABO=90°，∵∠AEH=∠ABO，∴∠AEH+∠BEF=90°，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH是矩形，∴菱形ABCD的面积=1∴2EF⋅EH=10，∴EF⋅EH=5，∴四边形EFGH的面积为5，故选：B．21．（2024·四川乐山）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，点P是BC边上一个动点，在BC延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接DP、AQ交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（

）A．36 B．33 C．32【答案】B【分析】该题主要考查了菱形的性质，垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上点M的运动路径．过点C作CH⊥AD交AD于点H，根据∠ABC=60°，四边形ABCD是菱形，得出CH垂直平分AD，再证明CH垂直平分PQ，点M在CH上运动，根据解直角三角形CM【详解】解：过点C作CH⊥AD交AD于点H，连接AC，∵∠ABC=60°，四边形ABCD是菱形，AB=1，∴∠ADC=60°，CD=BC=AB=AD=1，∴△ACD是等边三角形，∴CH垂直平分AD，∵AD∥∴CH⊥BC，∵点P和点Q关于点C对称，∴PC=QC，即CH垂直平分PQ，∵DP、AQ交于点M．∴∴点M在CH上运动，当点P与点B重合时，点M位于点M′此时，∵∠ABC=60°，四边形ABCD是菱形，AB=1，∴∠M′∴CM故点M的运动路径长为CM故选：B．22．（2024·山东泰安）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E是AB边上的点，AE=4，BE=8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（A．2 B．43−2 C．2【答案】C【分析】如图：过E作EM⊥BC于点M，作MH⊥AB于点H，作AI⊥GM于点I，则点E、M、F、G四点共圆，从而得到AI=MH，因为AG≥GF，所以求出MH的值即可解答．【详解】解：如图，过E作EM⊥BC于点M，作MH⊥AB于点H，作AI⊥GM于点I，∵∠EMF+∠EGF=180°，∴点E、M、F、G四点共圆，∴∠EMG=∠EFG=30°，∵∠B=60°，∴∠BEM=30°=∠EMG，∴MG∥∴∠HMF=∠MHA=90°，∠HAI=∠AIM=90°∴四边形MHAI是矩形，∴MH=AI，∵BE=8，∴EM=BE⋅cos∴MH=1∴AG≥AI=23∴AG最小值是23故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、圆内接四边形对角互补等知识点，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键．二、填空题23．（2024·四川）如图，在菱形ABCD中，AB=2，则菱形ABCD的周长为．【答案】8【分析】本题主要考查菱形的性质．根据菱形的性质“菱形的四条边相等”可直接进行求解．【详解】解：由菱形的四条边相等可得：菱形的周长为2×4=8，故答案为：8．24．（2025·黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，请添加一个条件，使平行四边形ABCD为菱形．【答案】AB=AD(或AC⊥BD，答案不唯一）【分析】本题考查添加条件使平行四边形为菱形，根据菱形的判定方法，添加条件即可．【详解】解：根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加：AB=AD；根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形，可以添加：AC⊥BD；故答案为：AB=AD(或AC⊥BD，答案不唯一）．25．（2024·上海）在菱形ABCD中，∠ABC=66°，则∠BAC=．【答案】57°/57度【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，利用菱形性质得出AB=BC，利用等边对等角得出∠BAC=∠ACB，然后结合三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∴∠BAC=∠ACB=1故答案为：57°．26．（2024·江苏南通）若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为cm【答案】5【分析】本题考查的是菱形的性质，锐角的正弦的含义，先画图，求解EF=EH=5cm，过E作FI⊥EH于H，结合∠E=45°【详解】解：如图，菱形EFGH的周长为20cm∴EF=EH=5cm过E作FI⊥EH于H，而∠E=45°，∴FI=EF⋅sin故答案为：527．（2025·云南）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC, BD相交于点O．若AC=6，BD=5，则菱形ABCD的面积是【答案】15【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形面积等于对角线积的一半进行计算即可，掌握菱形的性质是解题的关键．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=5，∴菱形ABCD的面积是12故答案为：15．28．（2025·四川成都）如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为．【答案】π【分析】本题考查菱形的判定和性质，求不规则图形的面积，连接OB，证明四边形OABC为菱形，易得△AOB为等边三角形，S△AOB=S△ABC=12S菱形【详解】解：连接OB，交AC于点D，则：OA=OB=1，∵四边形OABC为平行四边形，OA=OC，∴四边形OABC为菱形，∴OA=AB=OB，S△AOB∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴AC=2AD=3∴阴影部分的面积=S故答案为：π629．（2024·广西）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为cm【答案】8【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，由题意易得四边形ABCD是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得AM=AN，即可得到四边形ABCD是菱形，再解Rt△ADN可得AD=ANsin【详解】解：过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，则∠AND=90°，∵两张纸条的对边平行，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵两张纸条的宽度相等，∴AM=AN，∵S▱ABCD∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形，在Rt△ADN中，∠ADN=60°，AN=3∴AD=AN∴四边形ABCD的周长为23故答案为：8330．（2024·西藏）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AC与BD相交于点O，请添加一个条件，使四边形ABCD是菱形．【答案】AD=AB（答案不唯一）【分析】本题考查了菱形的判定定理，由题干的已知条件可得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得解，熟练掌握菱形的判定定理是解此题的关键．【详解】解：添加AD=AB（答案不唯一），∵在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形，故答案为：AD=AB（答案不唯一）．31．（2024·四川眉山）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=120°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连结AE分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为．【答案】475【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．首先根据菱形的性质得到AD=BC=CD=6，AD∥BC，∠BCD=120°，然后勾股定理求出DE=CD2−CE2=33，AE=DE2+AD【详解】解：∵菱形ABCD的边长为6，∠BAD=120°，∴AD=BC=CD=6，AD∥BC，∠BCD=120°，∴∠DCE=60°，∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，在Rt△DCE中，∵∠CDE=90°−∠DCE=30°∴CE=1∴DE=C∴BE=BC+CE=9，∵AD∥BE，∴∠ADE=180°−∠DEC=90°，在Rt△ADE中，AE=∵AD∥BE，∴△AFD∽△EFB，∴AF∴AF=2∵AD∥CE，∴△AGD∽△EGC，∴AG∴AG=2∴FG=AG−AF=27故答案为：4732．（2024·内蒙古包头）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．若CE=AF，则DE的长为．【答案】2【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作DH⊥AC于H，先判断△ABC，△ACD都是等边三角形，得出∠EAF=60°，AC=AB=6，AH=CH=12AC=3，利用含30°的直角三角形的性质可得出AE=2AF=2CE，进而求出CE【详解】解∶过D作DH⊥AC于H，∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠EAF=60°，AC=AB=6，AH=CH=1∵EF⊥AB，∴∠AEF=30°，∴AE=2AF，又CE=AF，∴AE=2CE，∴CE=2，∴HE=CH−CE=1，在Rt△CDH中，D∴DE=D故答案为：2733．（2024·广东）如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为．【答案】10【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中线的性质，利用菱形的性质、三角形中线的性质求出S△ADE=6，S△ABF=8，根据△ABF和菱形的面积求出BFBC=2【详解】解：连接AF、BD，∵菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，△BEF的面积为4，∴S△ADE=1设菱形ABCD中BC边上的高为h，则S△ABFS菱形∴BFBC∴BFCF∴S△ABF∴S△CDF∴S阴影故答案为：10．34．（2024·山东青岛）如图，菱形ABCD中，BC=10，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，则EO=．【答案】10【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质求出AC、BD的长度．根据菱形的面积公式结合BC的长度即可得出BD、AC的长度，在Rt△BOC中利用勾股定理即可求出CO【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA=OC,∵S菱形∴AC⋅BD=120，∴BO⋅OC＝∵BO∴BO+OC2∴BO+CO=410∴BO=410∴BO∴410∴CO=10，CO＝310∵AE⊥BC，AO=CO，∴EO=CO=10故答案为：10．35．（2024·山东滨州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D=．【答案】60°【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键；根据圆内接四边形的性质得到∠B+∠D=180°，根据菱形的性质，圆周角定理列式计算即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D=180°，∵四边形OABC是菱形，∴∠AOC=∠B，∵ABC=∴∠D=1∵∠B+∠D=180°，∠AOC=∠B，∴∠B+1解得：∠B=120°，∴∠D=180°−∠B=180°−120°=60°，故答案为：60°．36．（2024·陕西）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD=8，过点A作AE⊥AB，与BD相交于点E，连接CE，则四边形ABCE的面积为．【答案】75【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，连接AC交BD于点O，根据菱形的性质以及勾股定理求得AC=6，进而根据余弦的定义求得BE=254，进而根据四边形ABCE的面积为【详解】解：如图所示，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=DO=1在Rt△AOB中，AO=AB∵AE⊥AB，AC⊥BD，∴cos∠ABO=∴45∴BE=25∴四边形ABCE的面积为BE×AC2故答案为：75437．（2025·四川凉山）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G，若AC=12,BD=16，则FG的长为．【答案】5【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质与判定，连接OE，由菱形对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OC=6，OD=8，则可由勾股定理求出CD=10，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=5，最后证明四边形【详解】解：如图所示，连接OE，∵四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°，在Rt△COD中，由勾股定理得CD=∵E是边CD的中点，∴OE=1∵EF⊥BD，EG⊥AC，∴∠OGE=∠OFE=∠GOF=90°，∴四边形OGEF是矩形，∴FG=OE=5，故答案为：5．38．（2025·上海）在矩形ABCD中，E在边CD上，E关于直线AD的对称点为F，联结BE，AF，如果四边形AFEB是菱形，那么AB:AD的值为．【答案】233【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，由轴对称的性质可得DF=DE，设DF=DE=m，则EF=DE+DF=2m，由菱形的性质得到AB=AF=EF=2m，证明∠ADF=90°，利用勾股定理可得AD=3【详解】解；∵E关于直线AD的对称点为F，∴DF=DE，设DF=DE=m，则EF=DE+DF=2m，∵四边形AFEB是菱形，∴AB=AF=EF=2m，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠ADF=180°−∠ADC=90°，∴AD=A∴AB:AD=2m:3故答案为：2339．（2025·江苏连云港）如图，在菱形ABCD中，AC=4，BD=2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为．【答案】13【分析】利用四边形DAEF为平行四边形，得出EF=AD，EF=AD，由E为线段AC上的动点，可知E、F运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作EF是定线段，菱形ABCD在AC方向上水平运动，过点B作AC的平行线MN，过点E作关于线段MN的对称点E′，由对称性得BE=BE′，则BE+BF=BE′+BF≤E′F，当且仅当E′、B、F依次共线时，BE′+BF取得最小值E′F，此时，设AC与BD交于点O，EE′交MN于点H【详解】解：∵四边形DAEF为平行四边形，∴EF=AD，DF=AE，∵E为线段AC上的动点，∴可以看作EF是定线段，菱形ABCD在AC方向上水平运动，则如图，过点B作AC的平行线MN，过点E作关于线段MN的对称点E′由对称性得BE=BE∴BE+BF=BE′+BF≤E′F，当且仅当E′、B此时如图，设AC与BD交于点O，EE′交MN于点H，延长E′E交∵菱形ABCD中，AC=4，BD=2，∴AO=12AC=2，BO=DO=由题可得AC∥MN，∴由对称性可得EH⊥HB，∴AC⊥GH，∴∠OEH=∠EOB=∠EHB=90°，∴四边形EOBH是矩形，∴E′∵四边形DAEF为平行四边形，∴DF=AE，DF∥AC，∴GD⊥DO，∴∠GDO=∠DOE=∠GEO=90°，∴四边形DOEG是矩形，∴GD=EO，GE=DO=1，∴GF=GD+DF=EO+AE=AO=2，GE∴E′即BE+BF的最小值为13，故答案为：13．【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，根据题意结合相对运动得出运动轨迹，再利用将军饮马解决问题是解题的关键．40．（2025·黑龙江绥化）如图，在菱形ABCD中，AB=4，对角线BD=43，点P是边CD的中点，点M是对角线BD上的一个动点，连接PM、CM．则PM+CM的最小值是【答案】2【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，连接AC，根据两点之间线段最短可知PM+CM的最小值为CP′，再结合菱形的性质得AD=AB=CD=4，AC⊥BD,DO=12BD=23，AO=1【详解】解：如图，连接AC，作点P关于直线BD的对称点P′，则PM=P′M，点P∴PM+CM=P根据两点之间线段最短，可知PM+CM的最小值为CP∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=CD=4，根据勾股定理，得AO=A∴AC=AD=CD=4．∵点P′是AD∴CP′⊥AD在Rt△ACP′所以PM+CM的最小值为23故答案为：2341．（2025·内蒙古）如图，在菱形ABCD中，AB=45，对角线BD的长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，连接EF．若BF=3，则EF的长为【答案】85【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．连接AC，交BD于点O，过点E作EG⊥OD于点G，利用四边形ABCD是菱形，得出AD=AB=45，BO=OD=12BD=8，AO⊥BD，得出AO=AD2−OD2=4【详解】解：连接AC，交BD于点O，过点E作EG⊥OD于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=45，BO=OD=12∴AO=AD2∴△DEG∽△DAO，∴DEAD∵E是AD的中点，∴DEAD∴EG=2，DG=4，∴FG=BD−BF−DG=16−3−4=9，∴EF=F故答案为：85．42．（2025·辽宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=12，点E在线段OA上，AE=2，点F在线段OC上，OF=1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则【答案】13【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等．由菱形对角线互相垂直且平分，可得OA=12AC=4，OB=12BD=6，AC⊥BD，取OE中点H，连接【详解】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴OA=12AC=4∵AE=2，∴OE=OA−AE=4−2=2，如图，取OE中点H，连接GH，∵点G为BE的中点，点H为OE的中点，∴GH=12OB=3∴∠GHE=∠BOA=90°，∵OF=1，∴HF=OH+OF=1∴GF=G故答案为：13．43．（2025·青海）如图，在菱形ABCD中，BD=6，E，F分别为AB，BC的中点，且EF=2，则菱形ABCD的面积为．【答案】12【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由E，F分别为AB，BC的中点，得EF=12AC=2，所以AC=4，然后根据菱形ABCD【详解】解：∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF=1∴AC=4，∵四边形ABCD是菱形，∴菱形ABCD的面积为12故答案为：12．44．（2025·青海西宁）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，连接OE．若BD=6，OE=5，则菱形ABCD的面积是【答案】6【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据菱形的性质，得到OA=OC，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到AC=2OE，再根据菱形的面积公式对角线乘积的一半，进行求解即可．【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，AE⊥BC，∴OA=OC,∠AEC=90°，∴AC=2OE=25∵BD=6，∴菱形ABCD的面积=1故答案为：6545．（2025·四川巴中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，AO=4，BO=3，DH⊥AB于点H，DH的长为【答案】24【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据勾股定理可得AB=5，利用面积法即可求得DH的值．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB=90°，AC=2AO=8,BD=2BO=6，∴AB=A菱形ABCD的面积=AC⋅BD∴DH=24故答案为：24546．（2025·海南）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点G；作射线AG，交BD于点H．若AB=7，OH=2，则S【答案】7【分析】本题考查了菱形的性质，尺规作图作角平分线，角平分线的性质定理．作HI⊥AB交AB于I，根据菱形的性质可知HO⊥AC，由作图可知AG平分∠BAC，即HI=OH=2，进而根据三角形面积公式计算即可．【详解】如图，作HI⊥AB交AB于I，∵菱形ABCD，∴BD⊥AC，即HO⊥AC，由作图可知AG平分∠BAC，∴HI=OH=2，∴S△ABH故答案为：7．47．（2025·江苏无锡）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点M．过点D作AC的平行线交BC的延长线于点N，连接MN．则MN的长为．【答案】7【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先证明△ACD为等边三角形，进而得到AC=2，三线合一求出DM的长，证明四边形ACND为平行四边形，进而得到DN=AC=2，推出∠MDN=90°，再利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，∴AC⊥BD,∠ADC=∠ABC=60°,∠ADB=∠CDB=1∴△ACD为等边三角形，∴AC=AD=2，∠ACD=60°，∵AC⊥BD，∴AM=12AC=1∵DN∥AC，∴四边形ACND为平行四边形，∠CDN=∠ACD=60°，∴DN=AC=2,∠MDN=∠CDB+∠CDN=90°，∴MN=D故答案为：7．48．（2024·贵州）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF．若sin∠EAF=45，AE=5，则AB【答案】2365【分析】延长BC，AF交于点M，根据菱形的性质和中点性质证明△ABE≌△ADF，△ADF≌△MCF，过E点作EN⊥AF交N点，根据三角函数求出EN，AN，NF，MN，在Rt△ENM中利用勾股定理求出EM【详解】延长BC，AF交于点M，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，∴AB=BC=CD=AD，BE=EC=CF=DF，AD∥BC，∠D=∠FCM，∠B=∠D在△ABE和△ADF中AB=AD∠B=∠D∴△ABE≌△ADFSAS∴AE=AF，在△ADF和△MCF中∠D=∠FCMDF=CF∴△ADF≌△MCFASA∴CM=AD，AF=MF，∵AE=5，∴AE=AF=MF=5，过E点作EN⊥AF于N点，∴∠ANE=90°∵sin∠EAF=45∴EN=4，AN=3，∴NF=AF−AN=2，∴MN=5+2=7，在Rt△ENMEM=E即EM=EC+CM=1∵AB=BC=CD=AD，∴AB=BC=2故答案为：23【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，运用三角函数解直角三角形，勾股定理等，正确添加辅助线构造直角三角形是解本题的关键．49．（2024·浙江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，ACBD=53．线段AB与A′B′关于过点O的直线l对称，点B的对应点B′在线段OC上，A′B【答案】1:3 /【分析】此题考查了菱形的性质，轴对称性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．设AC=10a，BD=6a，首先根据菱形的性质得到OA=OC=12AC=5a，OB=OD=12BD=3a，连接A′D，OE，直线l交BC于点F，交AD于点G，得到点A′，D，O三点共线，A′D=A′【详解】∵四边形ABCD是菱形，AC∴设AC=10a，BD=6a∴OA=OC=12如图所示，连接A′D，OE，直线l交BC于点F，交AD于点∵线段AB与A′B′关于过点O的直线l对称，点B的对应点B∴∠BOF=∠COF=12∠BOB∴∠AOG=∠DOG=45°∴点A′，D，O∴A′D=∴S∴A∵CD∥AB∴∠CDO=∠ABO由对称可得，∠∴∠∴∠又∵∠∴△∴A∵A∴DE=又∵OD=OB′∴△ODE≌△O∴S∴S△CE故答案为：1350．（2025·甘肃兰州）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE=CE．若AB=43，则AF=【答案】4【分析】根据菱形的性质，得BC=AB，又结合AE⊥BC，BE=CE，得出△ABC是等边三角形，就可以得知△ABE和△FBE都是含30°的直角三角形，解出三角形，即可求出AF的长．【详解】解：连接AC，CF，∵AE⊥BC，BE=CE，∴AE垂直平分BC，∴AB=AC，∵菱形ABCD，∴BC=AB=43∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠BAE=∠FBC=30°，∵BE=1∴AE=3BE=3∴AF=AE−EF=6−2=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了菱形的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及解直角三角形，熟练掌握这些性质定理是关键．51．（2025·西藏）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，连接BD，点P是BD上的一个动点，连接PA，PC，则PA+PB+PC的最小值是．【答案】4【分析】本题考查了旋转-最短路线问题，三角形全等的判定，菱形的性质以及等边三角形的性质．通过将AP绕点A顺时针方向旋转60°的点P′，此时证明△DAP′和△CAP全等后找到对应的线段，PA+PB+PC的最小值即为点B，P′，P，【详解】如图，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AP′，连接AC，DP由题意知，在菱形ABCD中，∠ABC=∠ADC=60°，AB=BC=CD=AD，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∵∠DAP∴∠DAP在△DAP′和DA=AC∠DA∴△DAP∴PA+PB+PC=P′D+PP′+BP≥BD，即点B，P′此时最小值BD的长度为43故答案为：43三、解答题52．（2025·四川达州）归纳与应用归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙：(1)尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质①____________________________________________________________________________；②____________________________________________________________________________；③____________________________________________________________________________．(2)实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，∠ABC=90°，点D是AC的中点，BE∥AC，AE∥【答案】(1)见解析(2)四边形ADBE是菱形，见解析【分析】本题考查了菱形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握各知识