2016-2025年10年安徽数学中考真题汇编 专题 规律探究

试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题规律探究1．（2025安徽中考第21题）综合与实践【项目主题】某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地．【项目准备】（1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺．（2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为20cm（3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”．观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加40cm，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为40x+10自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加①个正六边形和②个正三角形，长度增加③cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④cm．【项目分析】（1）项目条件：场地为长7.4m、宽6（2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用．（3）方式确定：（i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺；（ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束；（iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止．（4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案．方案一：第一行沿着长度为6m的墙自左向右拼接（如图5）．根据规律，令40x+10≤600，解得x≤14.75，所以每行可以先拼14块拼接单元，即共用去14个正六边形和28个正三角形组件，由40×14+10=570知，所拼长度为570cm，剩余30cm恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用15个正六边形和28个正三角形组件，由5×15+1×28=103知，方案一每行的成本为由于每行宽度为203cm（按3=1.73计算），设拼成s行，则203s≤740，解得s≤373方案二：第一行沿着长度为7.4m类似于方案一的成本计算，令40x+10≤740⋯方案二每行的成本为⑤元，总成本为⑥元．【项目实施】根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）．请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________．2．（2024安徽中考第18题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2－y2(x，y均为自然数)”的问题.(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下(n为正整数)：N奇数4的倍数表示结果1＝12－023＝22－125＝32－227＝42－329＝52－42…4＝22－028＝32－1212＝42－2216＝52－3220＝62－42…一般结论2n－1＝n2－(n－1)24n＝

按上表规律，完成下列问题：(ⅰ)24＝()2－()2；

(ⅱ)4n＝；

(2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如4n－2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2－y2(x，y均为自然数).师生一起研讨，分析过程如下：假设4n－2＝x2－y2，其中x，y均为自然数.分下列三种情形分析：①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数，则x2－y2＝(2k)2－(2m)2＝4(k2－m2)为4的倍数.而4n－2不是4的倍数，矛盾.故x，y不可能均为偶数.②若x，y均为奇数，设x＝2k＋1，y＝2m＋1，其中k，m均为自然数，则x2－y2＝(2k＋1)2－(2m＋1)2＝为4的倍数.

而4n－2不是4的倍数，矛盾.故x，y不可能均为奇数.③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2－y2为奇数，而4n－2是偶数，矛盾.故x，y不可能一个是奇数一个是偶数.由①②③可知，猜测正确.阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容.3.（2023安徽中考第18题）【观察思考】【规律发现】请用含n的式子填空：(1)第n个图案中“”的个数为；(2)第1个图案中“★”的个数可表示为1×22，第2个图案中“★”的个数可表示为2×32，第3个图案中“★”的个数可表示为3×42，第4个图案中“★”的个数可表示为4×5【规律应用】(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+⋯+n等于第n个图案中“”的个数的2倍．4．（2022安徽中考第18题）观察以下等式：第1个等式：2×1+12第2个等式：2×2+12第3个等式：2×3+12第4个等式：2×4+12……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．5．（2021安徽中考第18题）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．[观察思考]当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推，[规律总结]（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加块；（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（用含n的代数式表示）．[问题解决]（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？6．（2020安徽中考第17题）观察以下等式：第1个等式：1第2个等式：3第3个等式：5第4个等式：7第5个等式：9······按照以上规律．解决下列问题：1写出第6个等式____________；2写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并证明．7．（2019安徽中考第18题）观察以下等式:第1个等式:21第2个等式:23第3个等式:25第4个等式:27第5个等式:29……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并证明.8．（2018安徽中考第18题）观察以下等式：第1个等式：11第2个等式：12第3个等式：13第4个等式：14第5个等式：15……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：__________；（2）写出你猜想的第n个等式：___________(用含n的等式表示)，并证明．9．（2017安徽中考第19题）【阅读理解】我们知道,1+2+3+…+n=n(n+1)2,那么12+22+32在图1所示的三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12;第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22;……;第n行n个圆圈中数的和为n+n+…+n,即n2.这样,该三角形数阵中共有n(n+1)2个圆圈,所有圆圈中数的和为12+第19题图1【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n-1行的第一个圆圈中的数分别为n-1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为.由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为:3(12+22+32+…+n2)=.因此,12+22+32+…+n2=.

第19题图2【解决问题】根据以上发现,计算12+2210．（2016安徽中考第18题）（1）观察下列图形与等式的关系，并填空（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：1+3+5+…+（2n﹣1）+（）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝．

参考答案与解析1．（2025安徽中考第21题）综合与实践【项目主题】某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地．【项目准备】（1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺．（2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为20cm（3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”．观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加40cm，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为40x+10自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加①个正六边形和②个正三角形，长度增加③cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④cm．【项目分析】（1）项目条件：场地为长7.4m、宽6（2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用．（3）方式确定：（i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺；（ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束；（iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止．（4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案．方案一：第一行沿着长度为6m的墙自左向右拼接（如图5）．根据规律，令40x+10≤600，解得x≤14.75，所以每行可以先拼14块拼接单元，即共用去14个正六边形和28个正三角形组件，由40×14+10=570知，所拼长度为570cm，剩余30cm恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用15个正六边形和28个正三角形组件，由5×15+1×28=103知，方案一每行的成本为由于每行宽度为203cm（按3=1.73计算），设拼成s行，则203s≤740，解得s≤373方案二：第一行沿着长度为7.4m类似于方案一的成本计算，令40x+10≤740⋯方案二每行的成本为⑤元，总成本为⑥元．【项目实施】根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）．请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________．【答案】①1；②6；③60；④60y+10；⑤126；【详解】解：项目主题：观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角形；由正六边形和正三角形组件的边长均为20cm增加的长度为3个边长，即3×20=60计算y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元有一个正六边形左边的10cm，每增加一个拼接单元长度增加60cm，所以y项目分析：计算方案二每行可拼接的单元数量令40x+10≤740，移项可得40x≤740−10，即40x≤730，两边同时除以40，解得x≤18.25，∴每行可以先拼18块拼接单元．计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量∵拼18块拼接单元，∴共用去18个正六边形和2×18=36个正三角形组件．由40×18+10=730知，所拼长度为730cm剩余740−730=10cm由5×18+1×36=90+36=126知，方案二每行的成本为126元．由于每行宽度为203cm（按3=1.73则203两边同时除以203，s≤故需铺17行．计算方案二的总成本126×17=2142．方案二所需的总成本为2142元．项目实施：两种方案比较可知：2163>2142．∴选方案二完成实践活动．故答案为：①1；②6；③60；④60y+10；⑤126；⑥2．（2024安徽中考第18题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2－y2(x，y均为自然数)”的问题.(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下(n为正整数)：N奇数4的倍数表示结果1＝12－023＝22－125＝32－227＝42－329＝52－42…4＝22－028＝32－1212＝42－2216＝52－3220＝62－42…一般结论2n－1＝n2－(n－1)24n＝

按上表规律，完成下列问题：(ⅰ)24＝()2－()2；

(ⅱ)4n＝；

(2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如4n－2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2－y2(x，y均为自然数).师生一起研讨，分析过程如下：假设4n－2＝x2－y2，其中x，y均为自然数.分下列三种情形分析：①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数，则x2－y2＝(2k)2－(2m)2＝4(k2－m2)为4的倍数.而4n－2不是4的倍数，矛盾.故x，y不可能均为偶数.②若x，y均为奇数，设x＝2k＋1，y＝2m＋1，其中k，m均为自然数，则x2－y2＝(2k＋1)2－(2m＋1)2＝为4的倍数.

而4n－2不是4的倍数，矛盾.故x，y不可能均为奇数.③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2－y2为奇数，而4n－2是偶数，矛盾.故x，y不可能一个是奇数一个是偶数.由①②③可知，猜测正确.阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容.【答案】(1)（ⅰ）7，5；（ⅱ）n+12(2)4【详解】（1）（ⅰ）由规律可得，24=7故答案为：7，5；（ⅱ）由规律可得，4n=n+1故答案为：n+12（2）解：假设4n−2=x2−分下列三种情形分析：①若x，y均为偶数，设x=2k，y=2m，其中则x2−y而4n−2不是4的倍数，矛盾．故x，②若x，y均为奇数，设x=2k+1，y=2m+1，其中则x2−y而4n−2不是4的倍数，矛盾．故x，③若x，y一个是奇数一个是偶数，则而4n−2是偶数，矛盾．故x，由①②③可知，猜测正确．故答案为：4k3.（2023安徽中考第18题）【观察思考】【规律发现】请用含n的式子填空：(1)第n个图案中“”的个数为；(2)第1个图案中“★”的个数可表示为1×22，第2个图案中“★”的个数可表示为2×32，第3个图案中“★”的个数可表示为3×42，第4个图案中“★”的个数可表示为4×5【规律应用】(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+⋯+n等于第n个图案中“”的个数的2倍．【答案】(1)3n(2)n×n+12【详解】（1）解：第1个图案中有3个，第2个图案中有3+3=6个，第3个图案中有3+2×3=9个，第4个图案中有3+3×3=12个，……∴第n个图案中有3n个，故答案为：3n．（2）第1个图案中“★”的个数可表示为1×22第2个图案中“★”的个数可表示为2×32第3个图案中“★”的个数可表示为3×42第4个图案中“★”的个数可表示为4×52第n个图案中“★”的个数可表示为n×n+1（3）解：依题意，1+2+3+……+n=n×第n个图案中有3n个，∴nn+1解得：n=0（舍去）或n=11．4．（2022安徽中考第18题）观察以下等式：第1个等式：2×1+12第2个等式：2×2+12第3个等式：2×3+12第4个等式：2×4+12……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【答案】(1)2×5+1(2)2n+12【详解】（1）解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：2×5+12=6×10+1（2）解：第n个等式为2n+12证明如下：等式左边：2n+12等式右边：(n+1)⋅2n+1===4n故等式2n+125．（2021安徽中考第18题）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．[观察思考]当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推，[规律总结]（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加块；（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（用含n的代数式表示）．[问题解决]（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？【答案】（1）2；（2）2n+4；（3）1008块【详解】解：（1）由图可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；故答案为：2；（2）由（1）可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，即2+4；所以当地砖有n块时，等腰直角三角形地砖有（2n+4）块；故答案为：2n+4；（3）令2n+4=2021

则n=1008.5当n=1008时，2n+4=2020此时，剩下一块等腰直角三角形地砖∴需要正方形地砖1008块．6．（2020安徽中考第17题）观察以下等式：第1个等式：1第2个等式：3第3个等式：5第4个等式：7第5个等式：9······按照以上规律．解决下列问题：1写出第6个等式____________；2写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并证明．【答案】（1）118×(1+26)=2−【详解】（1）由前五个式子可推出第6个等式为：118（2）2n−1证明：∵左边=2n−1∴等式成立．7．（2019安徽中考第18题）观察以下等式:第1个等式:21第2个等式:23第3个等式:25第4个等式:27第5个等式:29……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并证明.【答案】（1）211=16+【详解】解：（1）第6个等式：2（2）2证明：∵右边=1∴等式成立．8．（2018安徽中考第18题）观察以下等式：第1个等式：11第2个等式：12第3个等式：13第4个等式：14第5个等式：15……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：__________；（2）写出你猜想的第n个等式：___________(用含n的等式表示)，并证明．【答案】（1）16+57+【详解】（1）观察可知第6个等式为：16+5（2）猜想：1n证明：左边=1n+n−1n+1+右边=1，∴左边=右边，∴原等式成立，∴第n个等式为：1n故答案为1n9．（2017安徽中考第19题）【阅读理解】我们知道,1+2+3+…+n=n(n+1)2,那么12+22+32在图1所示的三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12;第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22;……;第n行n个圆圈中数的和为n+n+…