北师大版八年级下学期数学第一章三角形的证明及其应用第2节等腰三角形知识点+练习题以及答案

三角形的证明及其应用第2节：等腰三角形知识点（1）等腰三角形的两底角相等（等边对等角）。（2）等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合。。（3）等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角等于60°。（4）有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。（5）三个角都相等的三角形是等边三角形。（6）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。练习题第1课时等腰三角形的性质1.若等腰三角形的一个内角是120°,则它的另外两个内角的度数分别是 ()A.60°和30°

B.30°和30°C.120°和120°

D.120°和30°2.如图,AD,CE分别是△ABC的中线和高线.若AB=AC,∠ACE=34°,则∠BAD的度数为 ()A.34°

B.56°

C.29°

D.28°3.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角,这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O点转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠O=25°,则∠ODE的度数是____________.

4.等腰三角形的一个外角的度数是110°,则它的顶角的度数是__________.5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=36°,点D在线段BC上运动(点D不与点B,C重合),连接AD,作∠ADE=36°,DE交线段AC于点E,在点D的运动过程中,若△ADE是等腰三角形,则∠BDA的度数为____________.6.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E是BC边上两点,AD=AE.求证:BE=CD.7.如图,在等边△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,AD,BE交于点F,则∠AFE的度数是 ()A.60°

B.50°

C.40°

D.30°8.如图,点P在边长为2的等边三角形ABC的边AC上移动,则BP长度的最小值是______.9.图①是实验室利用过滤法除杂的装置图,图②是其简化示意图,在图②中,AB∥CD,AC∥OD,OD=OC,∠BAC=50°,则∠DOC的度数为 ()A.50°

B.60°C.70°

D.80°10.如图,等腰三角形纸片ABC中,AB=AC,AH⊥BC于点H.小花放入一张等边三角形纸片BDE,点E在BC上,点F为AH与DE的交点,小都放一张等边三角形纸片EFG,点G在BC上.小花和小都量得EF=5,CE=3,那么等腰三角形纸片ABC的底边BC的长为 ()A.8

B.10C.11

D.1311.如图,在△ABA1中,∠B=n°,AB=A1B,在A1B上取一点C,延长AA1到点A2,使得A1A2=A1C,在A2C上取一点D,延长A1A2到点A3,使得A2A3=A2D,……,按此作法进行下去,以点A2027为顶角顶点的等腰三角形的底角的度数为_______________.(用含n的式子表示)12.如图,△DAC和△EBC均是等边三角形,AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,有如下结论:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN;④∠DAE=∠DBC.其中正确的有________(填序号).13.如图,等腰直角三角形ABC和等边三角形ADE的顶点A重合(AC>AE,0°<∠BAE<90°且点E在直线AB的上方),当两个三角形有一组边互相平行时,∠BAE的度数为__________________.14.在△ABC中,点D在BC上,且CD=CA,点E在CB的延长线上,且BE=BA.(1)如图1,若∠BAC=120°,AB=AC,求∠DAE的度数.(2)试探求∠DAE与∠BAC的数量关系.(3)如图2,若AB平分∠DAE,AC⊥CD于点C,求∠DAE的度数.第2课时等腰三角形的判定及反证法1.在△ABC中,已知∠B=∠C,则()A.AB=BC

B.AB=ACC.BC=AC

D.∠A=60°2.下列条件中,可以判定△ABC是等腰三角形的是 ()A.∠A=20°,∠B=100°B.a∶b∶c=1∶1∶2C.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2D.∠A=∠B+∠C3.如图,在△ABC的边BC上截取BE=AB,连接AE,作△ABE的角平分线BD交AE于点D,若∠EAC=∠C,BC=9,AB=5,则AD=________.4.如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于点D.若△ABC的周长为20,CD=6,则AC的长为________.5.如图,AD=BC,AC=BD,AC与BD交于点E.求证:△EAB是等腰三角形.6.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,DE∥CB,点F是BD的中点.(1)求证:△BDE是等腰三角形.(2)若∠ABC=50°,求∠DEF的度数.7.用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”时,应先假设这个三角形中 ()A.至少有两个内角是直角B.没有一个内角是直角C.至少有一个内角是直角D.每一个内角都不是直角8.如图,在△ABC中,DE∥AC,分别交AB,BC于点D,E,连接CD,且∠ACD=∠BCD.若DE=9,BE=7.5,则BC的长为 ()A.16.5

B.15.5

C.14

D.139.如图,在△ABC中,AB=10,AC=12,BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,过点D作平行于BC的直线,交AB,AC于点E,F,则△AEF的周长为__________.10.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于点D,过点D作ED∥BC,交AB于点E,交AC于点F,若BE=8,CF=6,则EF的长是_________.11.在△ABC中,AB=AC.求证:∠B<90°.(用反证法证明)12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,则AD的长度为______.13.如图,已知∠AOB=50°,点P为∠AOB内部一点,点M为射线OA上的动点,点N为射线OB上的动点,当△PMN的周长最小时,∠MPN=___________.14.如图,在△ABC中,AB>AC,AD是∠BAC的平分线,AM是BC边上的中线.用反证法说明点M与点D不重合.15.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,点D在BC上,且AD=AB,过点C作AB的平行线,交AD的延长线于点E,过点C作CF⊥AE于点F.请你用等式表示线段AF,AB,AC之间的数量关系,并证明.16.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,过线段CD上一点E作EG∥AD,交AC于点F,交BA的延长线于点G.(1)求证:△AFG是等腰三角形.(2)若CE=EF,∠BAC=80°,求∠B的度数.第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形1.如图,下列条件能推出△ABC是等边三角形的是 ()A.∠B=∠CB.AD⊥BC,BD=CDC.AD⊥BC,BD=CD,∠BAD=30°D.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD2.在△ABC中,AB=AC,添加下列条件后不能判定△ABC是等边三角形的是 ()A.∠A=60°B.AC=BCC.∠B与∠C互余D.AB边上的高也是AB边上的中线3.如图,△ABC是等边三角形,与BC平行的直线分别交AB和AC于点D,E,若AD=2,则DE的长为_______.4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠D,点E在BA的延长线上,连接CE.若∠E=60°,CE平分∠BCD,求证:△BCE为等边三角形.5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,AD⊥AB交BC于点D,AD=2,则BC的长是 ()A.12

B.10

C.8

D.66.如图所示的是某商场一部手扶电梯的示意图,若∠ABC=150°,BC的长为8米,则乘电梯从点B到点C上升的高度h=_______米.7.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线,CD=1cm.求AB的长.8.如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC,边AC的中点为D,边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE=3,则AC的长是 ()A.43 

B.6

C.23 

D.39.如图,四边形ABCD中,AD=7,BC=2,∠A=30°,∠B=90°,∠ADC=120°,则CD的长为 ()A.2

B.3

C.4

D.510.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE⊥AB,垂足为点E,交BC边于点D,若AE=BE,BD=6cm,则AC的长为_________cm.11.如图,在△ABC中,∠A=60°,D为AB上一点.若CD=CB,AD=2,BD=4,则CB的长为______.12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,则AD的长为___________.13.上午8时,一条渔船从港口A出发,以每小时15海里的速度向正北方向AN航行,上午10时到达海岛B处.从A,B处望海岛C,测得∠NAC=30°,∠NBC=60°(如图所示).(1)求海岛B到海岛C的距离.(2)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里(记为点D处)出现了故障,它向海岛B和海岛C都发出了求救信号.接到求救信号后,海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往,海岛C派出的救援队晚出发10分钟,速度为每小时25海里,通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处.14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=12cm.动点P从点A出发,沿AB向点B运动,动点Q从点B出发,沿BC向点C运动,点P,Q分别以2cm/s,1cm/s的速度同时出发,设运动时间为ts,解答下列问题:(1)t的值为多少时,△PBQ是等边三角形?(2)在点P,Q的运动过程中,△PBQ的形状不断发生变化,当t的值为多少时,△PBQ是直角三角形?请说明理由.答案2等腰三角形第1课时等腰三角形的性质1.B2.D3.105°4.70°或40°5.108°或72°6.如图,过A点作AP⊥BC于点P,∵AB=AC,AP⊥BC,∴BP=CP,同理,DP=EP,∴BP+EP=CP+DP,即BE=CD.7.A8.39.D10.C11.(18012.①②④13.15°或60°或75°14.(1)∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠C=∠ABC=12∵CD=CA,∴∠CAD=∠CDA=12∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=45°.∵BE=BA,∴∠E=∠BAE,∴∠ABC=∠E+∠BAE=2∠BAE,∴2∠BAE=30°,∴∠BAE=15°,∴∠DAE=∠BAE+∠BAD=15°+45°=60°.(2)∠BAC=2∠DAE.理由:∵CD=CA,∴设∠CAD=∠CDA=α,∵BE=BA,∴设∠E=∠BAE=β,∴∠ABD=∠E+∠BAE=2β,∵∠CDA=∠ABD+∠DAB,∴∠DAB=∠CDA-∠ABD=α-2β,∴∠BAC=∠DAB+∠CAD=α-2β+α=2(α-β),∵∠DAE=∠BAE+∠DAB=β+α-2β=α-β,∴∠BAC=2∠DAE.（3）∵AB平分∠DAE,∴设∠BAE=∠BAD=θ,∵BE=BA,∴∠E=∠BAE=θ,∴∠ABD=∠E+∠BAE=2θ,∵CD=CA,AC⊥CD,∴△CAD是等腰直角三角形,∴∠ADC=45°,又∵∠ADC=∠ABD+∠BAD=3θ,∴3θ=45°,∴θ=15°,∴∠DAE=2θ=30°.第2课时等腰三角形的判定及反证法1.B2.C3.24.85.在△ADB和△BCA中,AD=BC,BD=AC,AB=BA,∴△ADB≌△BCA(SSS),∴∠DBA=∠CAB,∴AE=BE,∴△EAB是等腰三角形.6.(1)证明:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,∵DE∥CB,∴∠EDB=∠DBC,∴∠ABD=∠EDB,∴EB=ED,∴△BDE是等腰三角形.（2）∵BD平分∠ABC,∠ABC=50°,∴∠ABD=12∵EB=ED,点F是BD的中点,∴∠BEF=∠DEF,∠EFB=90°,∴∠DEF=∠BEF=90°-∠ABD=65°.7.A8.A9.2210.211.证明假设∠B≥90°,在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B+∠C≥180°,∴∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和等于180°相矛盾,∴假设不成立,∴∠B<90°.12.213.8014.证明假设点M与点D重合,延长AM到点N,使MN=AM,连接BN,如图.∵AM是BC边上的中线,∴BM=CM,在△AMC和△NMB中,AM=NM,∠AMC=∠NMB,MC=MB,∴△AMC≌△NMB(SAS),∴∠MAC=∠MNB,BN=AC,∵AM(AD)是∠BAC的平分线,∴∠BAM=∠MAC,∴∠MNB=∠BAM,∴BN=AB,∴AC=AB,这与AB>AC相矛盾,∴假设点M与点D重合不成立,∴点M与点D不重合.15.2AF=AB+AC.证明:∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD,∵AB∥CE,∴∠B=∠BCE,∠BAD=∠E,∴∠CAD=∠E,∴CA=CE,∵AB=AD,∴∠B=∠ADB,∵∠ADB=∠CDE,∴∠BCE=∠CDE,∴EC=ED,∴AC=EC=ED,∵CF⊥AE,∴AE=2AF,∵AE=AD+ED,∴AE=AB+AC,∴2AF=AB+AC.16.(1)证明:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.∵EG∥AD,∴∠BAD=∠G,∠CAD=∠AFG,∴∠G=∠AFG,∴AG=AF,∴△AFG是等腰三角形.(2)∵CE=EF,∴∠CFE=∠C.∵∠AFG=∠CFE,∠AFG=∠CAD,∴∠C=∠CAD.∵∠BAC=80°,AD平分∠BAC,∴∠C=∠CAD=40°,∴∠B=180°-∠BAC-∠C=60°.第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形1.C2.C3.24.证明∵AD∥BC,∴∠EAD=∠B,∵∠B=∠