线性代数题库考研题目及答案

线性代数题库考研题目及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.设向量组α1,α2,α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是

A.α1+α2,α2+α3,α3+α1

B.2α1,α2+α3,α3-α1

C.α1-α2,α2-α3,α3-α1

D.α1+α2,α1-α2,α2+α3

2.设矩阵A=[a11,a12;a21,a22]，其中a11≠0，则矩阵A的逆矩阵A-1等于

A.[a22/a11,-a12/a11;-a21/a11,a11/a22]

B.[a22/a11,-a12/a11;-a21/a11,a11/a22]

C.[a11/a22,a12/a22;-a21/a22,a22/a11]

D.[a11/a22,-a12/a22;a21/a22,a22/a11]

3.设向量组α1,α2,α3线性相关，且α3不能由α1,α2线性表示，则下列说法正确的是

A.α1,α2线性无关

B.α1,α2线性相关

C.α1,α2,α3线性无关

D.α1,α2,α3线性相关

4.设矩阵A是3阶矩阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵A*的行列式|A*|等于

A.2

B.4

C.8

D.16

5.设向量组α1,α2,α3线性无关，向量β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，则向量组β1,β2,β3的秩为

A.1

B.2

C.3

D.4

6.设矩阵A=[a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33]，且A可逆，则矩阵A的伴随矩阵A*等于

A.[a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33]

B.[a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33]

C.[a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33]

D.[a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33]

7.设向量组α1,α2,α3线性无关，向量β=k1α1+k2α2+k3α3，其中k1,k2,k3是常数，则向量β的秩为

A.1

B.2

C.3

D.4

8.设矩阵A是3阶矩阵，且|A|=3，则矩阵A的逆矩阵A-1的行列式|A-1|等于

A.1/3

B.1/9

C.3

D.9

9.设向量组α1,α2,α3线性相关，且α1,α2线性无关，则下列说法正确的是

A.α3能由α1,α2线性表示

B.α3不能由α1,α2线性表示

C.α1,α2,α3线性无关

D.α1,α2,α3线性相关

10.设矩阵A是3阶矩阵，且|A|=1，则矩阵A的伴随矩阵A*的行列式|A*|等于

A.1

B.-1

C.3

D.-3

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.设向量组α1,α2,α3线性无关，则向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1的秩为________。

2.设矩阵A=[a11,a12;a21,a22]，其中a11≠0，则矩阵A的逆矩阵A-1等于________。

3.设向量组α1,α2,α3线性相关，且α3不能由α1,α2线性表示，则向量组α1,α2的秩为________。

4.设矩阵A是3阶矩阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵A*的行列式|A*|等于________。

5.设向量组α1,α2,α3线性无关，向量β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，则向量组β1,β2,β3的秩为________。

6.设向量组α1,α2,α3线性无关，向量β=k1α1+k2α2+k3α3，其中k1,k2,k3是常数，则向量β的秩为________。

7.设矩阵A是3阶矩阵，且|A|=3，则矩阵A的逆矩阵A-1的行列式|A-1|等于________。

8.设向量组α1,α2,α3线性相关，且α1,α2线性无关，则向量组α1,α2,α3的秩为________。

9.设矩阵A是3阶矩阵，且|A|=1，则矩阵A的伴随矩阵A*的行列式|A*|等于________。

10.设向量组α1,α2,α3线性无关，向量β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，则向量组β1,β2,β3的线性组合表示向量α1的系数为________。

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.设向量组α1,α2,α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是

A.α1+α2,α2+α3,α3+α1

B.2α1,α2+α3,α3-α1

C.α1-α2,α2-α3,α3-α1

D.α1+α2,α1-α2,α2+α3

2.设矩阵A=[a11,a12;a21,a22]，其中a11≠0，则矩阵A的逆矩阵A-1等于

A.[a22/a11,-a12/a11;-a21/a11,a11/a22]

B.[a22/a11,-a12/a11;-a21/a11,a11/a22]

C.[a11/a22,a12/a22;-a21/a22,a22/a11]

D.[a11/a22,-a12/a22;a21/a22,a22/a11]

3.设向量组α1,α2,α3线性相关，且α3不能由α1,α2线性表示，则下列说法正确的是

A.α1,α2线性无关

B.α1,α2线性相关

C.α1,α2,α3线性无关

D.α1,α2,α3线性相关

4.设矩阵A是3阶矩阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵A*的行列式|A*|等于

A.2

B.4

C.8

D.16

5.设向量组α1,α2,α3线性无关，向量β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，则向量组β1,β2,β3的秩为

A.1

B.2

C.3

D.4

6.设向量组α1,α2,α3线性无关，向量β=k1α1+k2α2+k3α3，其中k1,k2,k3是常数，则向量β的秩为

A.1

B.2

C.3

D.4

7.设矩阵A是3阶矩阵，且|A|=3，则矩阵A的逆矩阵A-1的行列式|A-1|等于

A.1/3

B.1/9

C.3

D.9

8.设向量组α1,α2,α3线性相关，且α1,α2线性无关，则下列说法正确的是

A.α3能由α1,α2线性表示

B.α3不能由α1,α2线性表示

C.α1,α2,α3线性无关

D.α1,α2,α3线性相关

9.设矩阵A是3阶矩阵，且|A|=1，则矩阵A的伴随矩阵A*的行列式|A*|等于

A.1

B.-1

C.3

D.-3

10.设向量组α1,α2,α3线性无关，向量β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，则向量组β1,β2,β3的线性组合表示向量α1的系数为

A.1

B.-1

C.1/2

D.-1/2

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.设向量组α1,α2,α3线性无关，则向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关。

2.设矩阵A是3阶矩阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵A*的行列式|A*|等于8。

3.设向量组α1,α2,α3线性相关，且α3不能由α1,α2线性表示，则向量组α1,α2线性无关。

4.设向量组α1,α2,α3线性无关，向量β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，则向量组β1,β2,β3的秩为3。

5.设向量组α1,α2,α3线性无关，向量β=k1α1+k2α2+k3α3，其中k1,k2,k3是常数，则向量β的秩为1。

6.设矩阵A是3阶矩阵，且|A|=3，则矩阵A的逆矩阵A-1的行列式|A-1|等于1/9。

7.设向量组α1,α2,α3线性相关，且α1,α2线性无关，则向量组α1,α2,α3的秩为2。

8.设矩阵A是3阶矩阵，且|A|=1，则矩阵A的伴随矩阵A*的行列式|A*|等于3。

9.设向量组α1,α2,α3线性无关，向量β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，则向量组β1,β2,β3的线性组合表示向量α1的系数为1/2。

10.设向量组α1,α2,α3线性无关，则向量组α1,α2,α3的秩为3。

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.设向量组α1,α2,α3线性无关，向量β=k1α1+k2α2+k3α3，其中k1,k2,k3是常数，向量β能否由α1,α2,α3线性表示？

2.设矩阵A是3阶矩阵，且|A|=2，矩阵A的逆矩阵A-1存在，求A-1的行列式。

3.设向量组α1,α2,α3线性相关，且α3不能由α1,α2线性表示，向量组α1,α2的秩是多少？

4.设向量组α1,α2,α3线性无关，向量β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，向量组β1,β2,β3的秩是多少？

5.设向量组α1,α2,α3线性无关，向量β=k1α1+k2α2+k3α3，其中k1,k2,k3是常数，向量β的秩是多少？

6.设矩阵A是3阶矩阵，且|A|=3，矩阵A的逆矩阵A-1存在，求A-1的行列式。

7.设向量组α1,α2,α3线性相关，且α1,α2线性无关，向量组α1,α2,α3的秩是多少？

8.设矩阵A是3阶矩阵，且|A|=1，矩阵A的伴随矩阵A*的行列式是多少？

9.设向量组α1,α2,α3线性无关，向量β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，向量组β1,β2,β3的线性组合表示向量α1的系数是多少？

10.设向量组α1,α2,α3线性无关，向量组α1,α2,α3的秩是多少？

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A

解析：向量组α1,α2,α3线性无关，则任意两个向量的线性组合也是线性无关的。α1+α2,α2+α3,α3+α1是α1,α2,α3的线性组合，且这三个向量线性无关。

2.A

解析：矩阵A的逆矩阵A-1可以通过求伴随矩阵和行列式计算得到。伴随矩阵是将A的每个元素替换为其代数余子式后转置得到的矩阵。A-1=(1/|A|)*A*，其中A*是伴随矩阵。由于a11≠0，A可逆，A-1=[a22/a11,-a12/a11;-a21/a11,a11/a22]。

3.B

解析：向量组α1,α2,α3线性相关，则存在不全为零的常数k1,k2,k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0。又因为α3不能由α1,α2线性表示，所以k3≠0，从而α1,α2线性相关。

4.B

解析：矩阵A的伴随矩阵A*的行列式|A*|等于|A|^n-1，其中n是矩阵的阶数。对于3阶矩阵，|A*|=|A|^2=2^2=4。

5.C

解析：向量组β1,β2,β3是α1,α2,α3的线性组合，且α1,α2,α3线性无关，所以β1,β2,β3线性无关，其秩为3。

6.A

解析：矩阵A的伴随矩阵A*的元素是A的每个元素的代数余子式，与A本身元素不同。A*=[a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33]是错误的。

7.C

解析：向量β是α1,α2,α3的线性组合，且α1,α2,α3线性无关，所以β可以由α1,α2,α3线性表示，其秩为3。

8.B

解析：矩阵A的逆矩阵A-1的行列式|A-1|等于|A|的倒数，即|A-1|=1/|A|=1/3。

9.A

解析：向量组α1,α2,α3线性相关，则存在不全为零的常数k1,k2,k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0。又因为α1,α2线性无关，所以k3≠0，从而α3能由α1,α2线性表示。

10.C

解析：向量组β1,β2,β3的线性组合表示向量α1的系数可以通过解线性方程组得到。β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，联立方程组得到α1=(β1+β2+β3)/2-β2，所以系数为1/2。

二、填空题答案及解析

1.3

解析：向量组α1,α2,α3线性无关，则任意两个向量的线性组合也是线性无关的。α1+α2,α2+α3,α3+α1是α1,α2,α3的线性组合，且这三个向量线性无关，其秩为3。

2.[a22/a11,-a12/a11;-a21/a11,a11/a22]

解析：矩阵A的逆矩阵A-1可以通过求伴随矩阵和行列式计算得到。伴随矩阵是将A的每个元素替换为其代数余子式后转置得到的矩阵。A-1=(1/|A|)*A*，其中A*是伴随矩阵。由于a11≠0，A可逆，A-1=[a22/a11,-a12/a11;-a21/a11,a11/a22]。

3.2

解析：向量组α1,α2,α3线性相关，则存在不全为零的常数k1,k2,k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0。又因为α3不能由α1,α2线性表示，所以k3≠0，从而α1,α2线性相关，其秩为2。

4.4

解析：矩阵A的伴随矩阵A*的行列式|A*|等于|A|^n-1，其中n是矩阵的阶数。对于3阶矩阵，|A*|=|A|^2=2^2=4。

5.3

解析：向量组β1,β2,β3是α1,α2,α3的线性组合，且α1,α2,α3线性无关，所以β1,β2,β3线性无关，其秩为3。

6.3

解析：向量β是α1,α2,α3的线性组合，且α1,α2,α3线性无关，所以β可以由α1,α2,α3线性表示，其秩为3。

7.1/9

解析：矩阵A的逆矩阵A-1的行列式|A-1|等于|A|的倒数，即|A-1|=1/|A|=1/9。

8.2

解析：向量组α1,α2,α3线性相关，则存在不全为零的常数k1,k2,k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0。又因为α1,α2线性无关，所以k3≠0，从而α3能由α1,α2线性表示，其秩为2。

9.3

解析：矩阵A的伴随矩阵A*的行列式|A*|等于|A|^n-1，其中n是矩阵的阶数。对于3阶矩阵，|A*|=|A|^2=1^2=3。

10.1/2

解析：向量组β1,β2,β3的线性组合表示向量α1的系数可以通过解线性方程组得到。β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，联立方程组得到α1=(β1+β2+β3)/2-β2，所以系数为1/2。

三、多选题答案及解析

1.A,C

解析：向量组α1,α2,α3线性无关，则任意两个向量的线性组合也是线性无关的。α1+α2,α2+α3,α3+α1是α1,α2,α3的线性组合，且这三个向量线性无关。α1-α2,α2-α3,α3-α1也是α1,α2,α3的线性组合，且这三个向量线性无关。

2.A,C

解析：矩阵A的逆矩阵A-1可以通过求伴随矩阵和行列式计算得到。伴随矩阵是将A的每个元素替换为其代数余子式后转置得到的矩阵。A-1=(1/|A|)*A*，其中A*是伴随矩阵。由于a11≠0，A可逆，A-1=[a22/a11,-a12/