万有引力提供向心力公式应用试卷

万有引力提供向心力公式应用试卷一、选择题（共10题，每题5分，共50分）1.地球同步卫星的轨道参数分析已知地球质量为(M)，半径为(R)，自转周期为(T)，引力常量为(G)。关于地球同步卫星，下列说法正确的是（）A.轨道半径与地球半径相等B.运行速度大于第一宇宙速度C.向心加速度与地球赤道上物体的向心加速度大小相等D.轨道平面一定与赤道平面共面解析：同步卫星的周期与地球自转周期相同，由万有引力提供向心力公式(G\frac{Mm}{r^2}=m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2r)可得轨道半径(r=\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}})，远大于地球半径(R)，A错误；第一宇宙速度(v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}})，同步卫星速度(v=\sqrt{\frac{GM}{r}})，因(r>R)，故(v<v_1)，B错误；同步卫星与赤道物体角速度相同，但轨道半径不同，由(a=\omega^2r)可知向心加速度不同，C错误；同步卫星的轨道平面必须与赤道平面共面，否则无法保持与地球自转同步，D正确。2.行星绕恒星运动的线速度比较两颗行星A、B绕同一恒星做匀速圆周运动，轨道半径之比(r_A:r_B=1:4)，则它们的线速度之比(v_A:v_B)为（）A.1:2B.2:1C.1:4D.4:1解析：由万有引力提供向心力公式(G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r})，可得(v=\sqrt{\frac{GM}{r}})。因此，线速度与轨道半径的平方根成反比，即(\frac{v_A}{v_B}=\sqrt{\frac{r_B}{r_A}}=\sqrt{\frac{4}{1}}=2:1)，B正确。3.近地卫星与同步卫星的周期关系关于地球近地卫星（轨道半径约等于地球半径(R)）和同步卫星（轨道半径(r=6.6R)）的周期之比，下列计算正确的是（）A.(T_{\text{近}}:T_{\text{同}}=1:6.6)B.(T_{\text{近}}:T_{\text{同}}=1:\sqrt{6.6^3})C.(T_{\text{近}}:T_{\text{同}}=6.6:1)D.(T_{\text{近}}:T_{\text{同}}=\sqrt{6.6^3}:1)解析：由开普勒第三定律(\frac{r^3}{T^2}=k)（(k)为常量），可得(T=\sqrt{\frac{r^3}{k}})。因此，周期之比(\frac{T_{\text{近}}}{T_{\text{同}}}=\sqrt{\frac{R^3}{(6.6R)^3}}=\sqrt{\frac{1}{6.6^3}})，即(T_{\text{近}}:T_{\text{同}}=1:\sqrt{6.6^3})，B正确。4.卫星变轨过程中的能量变化人造卫星在从低轨道向高轨道变轨时，需要点火加速。在此过程中，卫星的机械能、动能、势能变化情况是（）A.机械能增加，动能增加，势能增加B.机械能增加，动能减小，势能增加C.机械能减小，动能减小，势能增加D.机械能不变，动能减小，势能增加解析：卫星点火加速时，发动机做功，机械能增加。变轨后进入高轨道，由(v=\sqrt{\frac{GM}{r}})可知，轨道半径增大，线速度减小，动能减小；但由于高度增加，重力势能（引力势能）增加，且势能的增加量大于动能的减少量，因此机械能总量增加，B正确。5.双星系统的周期计算双星系统由两颗恒星组成，它们绕共同的质心做匀速圆周运动，两星间距为(L)，质量分别为(m_1)和(m_2)，引力常量为(G)。则双星系统的周期(T)为（）A.(T=2\pi\sqrt{\frac{L^3}{G(m_1+m_2)}})B.(T=2\pi\sqrt{\frac{L^3}{G(m_1-m_2)}})C.(T=2\pi\sqrt{\frac{L}{G(m_1+m_2)}})D.(T=2\pi\sqrt{\frac{m_1m_2L^3}{G(m_1+m_2)}})解析：设双星的轨道半径分别为(r_1)和(r_2)，则(r_1+r_2=L)。由万有引力提供向心力，对(m_1)有(G\frac{m_1m_2}{L^2}=m_1\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2r_1)，对(m_2)有(G\frac{m_1m_2}{L^2}=m_2\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2r_2)。联立两式可得(r_1=\frac{m_2L}{m_1+m_2})，代入第一个方程解得(T=2\pi\sqrt{\frac{L^3}{G(m_1+m_2)}})，A正确。二、填空题（共5题，每题6分，共30分）6.月球绕地球运动的向心加速度计算已知地球质量(M=5.98\times10^{24},\text{kg})，月球绕地球运动的轨道半径(r=3.84\times10^8,\text{m})，引力常量(G=6.67\times10^{-11},\text{N·m}^2/\text{kg}^2)，则月球绕地球运动的向心加速度大小为________(\text{m/s}^2)（结果保留两位有效数字）。答案：(2.7\times10^{-3})解析：由(a=\frac{GM}{r^2})，代入数据得(a=\frac{6.67\times10^{-11}\times5.98\times10^{24}}{(3.84\times10^8)^2}\approx2.7\times10^{-3},\text{m/s}^2)。7.卫星轨道半径与周期的关系某卫星绕行星做匀速圆周运动，周期为(T)，若将轨道半径增大为原来的2倍，周期变为________（用(T)表示）。答案：(2\sqrt{2}T)解析：由开普勒第三定律(\frac{r^3}{T^2}=k)，设原轨道半径为(r)，新轨道半径为(2r)，则(\frac{r^3}{T^2}=\frac{(2r)^3}{T'^2})，解得(T'=T\sqrt{\frac{(2r)^3}{r^3}}=2\sqrt{2}T)。8.第一宇宙速度的推导地球半径为(R)，表面重力加速度为(g)，忽略地球自转，则第一宇宙速度(v_1=)________（用(R)、(g)表示）。答案：(\sqrt{gR})解析：近地卫星的向心力由重力提供，即(mg=m\frac{v_1^2}{R})，解得(v_1=\sqrt{gR})。9.双星系统的线速度之比双星系统中两星质量分别为(m)和(2m)，间距为(L)，则它们的线速度之比(v_1:v_2=)________。答案：2:1解析：双星的角速度相等，由(G\frac{m\cdot2m}{L^2}=m\omega^2r_1=2m\omega^2r_2)，可得(r_1:r_2=2:1)。又因(v=\omegar)，故(v_1:v_2=r_1:r_2=2:1)。10.同步卫星的轨道高度地球半径(R=6400,\text{km})，自转周期(T=24,\text{h})，则地球同步卫星的轨道高度为________(\text{km})（结果保留三位有效数字，(G=6.67\times10^{-11},\text{N·m}^2/\text{kg}^2)，(M=5.98\times10^{24},\text{kg})）。答案：(3.59\times10^4)解析：由(G\frac{Mm}{(R+h)^2}=m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2(R+h))，解得(R+h=\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}})。代入数据(T=24\times3600=86400,\text{s})，计算得(R+h\approx4.23\times10^7,\text{m})，故轨道高度(h=4.23\times10^7-6.4\times10^6\approx3.59\times10^4,\text{km})。三、计算题（共3题，共70分）11.（20分）地球近地卫星与同步卫星的参数比较已知地球质量(M=5.98\times10^{24},\text{kg})，半径(R=6400,\text{km})，同步卫星轨道半径(r=42400,\text{km})，引力常量(G=6.67\times10^{-11},\text{N·m}^2/\text{kg}^2)。（1）求近地卫星的运行周期(T_1)；（2）求同步卫星的运行速度(v_2)；（3）比较近地卫星与同步卫星的向心加速度大小关系。解答：（1）近地卫星的轨道半径(r_1=R=6.4\times10^6,\text{m})，由(G\frac{Mm}{r_1^2}=m\left(\frac{2\pi}{T_1}\right)^2r_1)，得(T_1=2\pi\sqrt{\frac{r_1^3}{GM}})。代入数据：[T_1=2\times3.14\times\sqrt{\frac{(6.4\times10^6)^3}{6.67\times10^{-11}\times5.98\times10^{24}}}\approx5077,\text{s}\approx84.6,\text{min}]（2）同步卫星的运行速度(v_2=\sqrt{\frac{GM}{r}})，代入数据：[v_2=\sqrt{\frac{6.67\times10^{-11}\times5.98\times10^{24}}{4.24\times10^7}}\approx3070,\text{m/s}]（3）向心加速度(a=\frac{GM}{r^2})，因近地卫星的轨道半径(r_1<r)，故(a_1>a_2)，即近地卫星的向心加速度大于同步卫星。12.（25分）行星表面重力加速度与轨道卫星的周期某行星的质量为地球质量的8倍，半径为地球半径的2倍，地球表面重力加速度(g=10,\text{m/s}^2)。（1）求该行星表面的重力加速度(g')；（2）若在该行星表面发射一颗近地卫星，求其周期(T)；（3）若该行星的一颗同步卫星轨道半径为行星半径的6倍，求其运行周期(T_{\text{同}})。解答：（1）行星表面重力加速度(g'=\frac{GM'}{R'^2})，地球表面(g=\frac{GM}{R^2})，则(\frac{g'}{g}=\frac{M'}{M}\cdot\left(\frac{R}{R'}\right)^2=8\times\left(\frac{1}{2}\right)^2=2)，故(g'=2g=20,\text{m/s}^2)。（2）近地卫星的周期(T=2\pi\sqrt{\frac{R'}{g'}})（由(mg'=m\frac{4\pi^2R'}{T^2})推导），行星半径(R'=2R=2\times6400,\text{km}=1.28\times10^7,\text{m})，代入数据：[T=2\times3.14\times\sqrt{\frac{1.28\times10^7}{20}}\approx5024,\text{s}\approx83.7,\text{min}]（3）同步卫星轨道半径(r=6R')，由(T_{\text{同}}=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM'}})，且(GM'=g'R'^2=20\times(1.28\times10^7)^2)，代入数据：[T_{\text{同}}=2\times3.14\times\sqrt{\frac{(6\times1.28\times10^7)^3}{20\times(1.28\times10^7)^2}}\approx2.7\times10^4,\text{s}\approx7.5,\text{h}]13.（25分）双星系统与第三星的运动双星系统由质量均为(m)的两颗恒星A、B组成，间距为(d)，绕共同质心做匀速圆周运动。现有第三颗质量为(m)的恒星C，沿垂直于双星平面的方向以速度(v)从双星质心处掠过，假设C仅受A、B的万有引力作用，且运动过程中双星间距不变。（1）求双星系统的周期(T)；（2）求恒星C经过质心时的加速度大小；（3）若C恰好能绕双星系统做匀速圆周运动（轨道平面与双星平面垂直），求其轨道半径(R)。解答：（1）双星的质心在AB中点，轨道半径均为(\frac{d}{2})，由(G\frac{m^2}{d^2}=m\frac{4\pi^2}{T^2}\cdot\frac{d}{2})，解得(T=2\pi\sqrt{\frac{d^3}{2Gm}})。（2）恒星C在质心处受到A、B的万有引力大小相等，方向相同（均指向质心连线方向），合力(F=2\timesG\frac{m\cdotm}{(d/2)^2}=\frac{8Gm^2}{d^2})，加速度(a=\frac{F}{m}=\frac{8Gm}{d^2})。（3）C做圆周运动的向心力由A、B的万有引力合力提供，合力大小(F_{\text{合}}=2\timesG\frac{m^2}{R^2+(d/2)^2}\cdot\frac{R}{\sqrt{R^2+(d/2)^2}}=\frac{2Gm^2R}{(R^2+d^2/4)^{3/2}})（几何关系：A、B到C的距离为(\sqrt{R^2+(d/2)^2})，引力沿径向的分力之和为向心力）。由(F_{\text{合}}=m\frac{v^2}{R})，解得(R=\sqrt[3]{\frac{d^2v^2}{8Gm}})（近似：当(R\ggd)时，(F_{\text{合}}\approx\frac{2Gm^2R}{R^3}=\frac{2Gm^2}{R^2})，可进一步简化计算）。四、综合应用题（共30分）14.黑洞的“事件视界”半径黑洞是一种密度极大的天体，其引力强到光也无法逃逸。已知黑洞的质量为(M)，引力常量为(G)，光速为(c)。（1）类比第一宇宙速度，推导黑洞的“事件视界”半径(R_s)（即光恰好无法逃逸的临界半径）；（2）若某黑洞质量为太阳质量的10倍（太阳质量(M_{\odot}=2\times10^{30},\text{kg})），求其事件视界半径(R_s)；（3）若一艘飞船要绕该黑洞做匀速圆周运动，轨道半径为(3R_s)，求其运行速度(v)与光速(c)的比值。解答：（1）光无法逃逸时，其动能等于引力势能的绝对值，即(\frac{1}{2}mc^2=G\frac{Mm}{R_s})（此处为经典力学近似，严格需用相对论，但题目要求类比第一宇宙速度），解得(R_s=\frac{2