第24课时矩形菱形正方形

第五单元四边形第24课时矩形、菱形、正方形1.

矩形、菱形、正方形的性质矩形菱形正方形图形

边两组对边分别平行

且相等四条边都相等，对

边平行四条边都相等，对边平

行矩形菱形正方形角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角

线对角线

⁠

⁠对角线互相垂直平

分，每条对角线平

分一组对角对角线相等且互相垂直

平分，每条对角线平分

一组对角相等且互

相平分矩形菱形正方形对称

性既是中心对称图

形，又是轴对称图

形，有2条对称轴既是中心对称图

形，又是轴对称图

形，有2条对称轴既是中心对称图形，又

是轴对称图形，有4条

对称轴周长

和面

积C＝2（a＋b），S

＝ab，其中a，b

为两邻边长C＝4a，S＝ah＝

mn，其中a为边

长，h为高，m，n

为两条对角线的长C＝4a，S＝a2＝

l2，

其中a为边长，l为对

角线长2.

矩形、菱形、正方形的判定图示判定矩形

菱形

图示判定正方形

注意：（1）有一个角或两个角是直角的四边形不一定是矩形；（2）对角线相等的四边形不一定是矩形；（3）有一组或两组邻边相等的四边形不一定是菱形；（4）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形；（5）矩形、菱形、正方形都具备平行四边形的所有性质；正方形具备矩

形和菱形的所有性质.3.

中点四边形原图

形任意

四边

形矩

形菱

形正

方

形对角线相

等的四边

形对角线互相

垂直的四边

形对角线相等且互

相垂直的四边形中四

边形的形

状平行

四边

形菱

形矩

形正

方

形菱形矩形正方形类型之一矩形的性质与判定1.

［2023•雅安］如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边

AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值

为

⁠.

2.

［2024•德阳模拟］如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD的中点，

连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，且∠ACF＝90°.（1）求证：四边形ACFD是矩形；（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE.

∵E为线段CD的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AE＝FE，∴四边形ACFD是平行四边形.∵∠ACF＝90°，∴四边形ACFD是矩形.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE.

∵E为线段CD的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AE＝FE，∴四边形ACFD是平行四边形.∵∠ACF＝90°，∴四边形ACFD是矩形.（2）若CD＝10，CF＝6，求四边形ABCE的面积.

（2）解：∵四边形ACFD是矩形，∴∠CFD＝90°，AC＝DF.

∵CD＝10，CF＝6，

S平行四边形ABCD＝BC•AC＝6×8＝48，∴S四边形ABCE＝S平行四边形ABCD－S△ADE＝48－12＝36.类型之二菱形的性质与判定3.

［2025•广元模拟］如图，在矩形ABCD中，连接BD，延长BC至点

E，使BE＝BD，过点E作EF∥BD交AD的延长线于点F.

（1）求证：四边形BEFD是菱形；（1）证明：由四边形ABCD是矩形可得BE∥DF，∵EF∥BD，∴四边形BEFD是平行四边形.∵BE＝BD，∴平行四边形BEFD是菱形.（1）证明：由四边形ABCD是矩形可得BE∥DF，∵EF∥BD，∴四边形BEFD是平行四边形.∵BE＝BD，∴平行四边形BEFD是菱形.

（2）解：在矩形ABCD中，∠A＝90°，AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，

由（1）得DF＝BD＝5，∴AF＝AD＋DF＝8，

4.

［2025•德阳模拟］如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC的垂

直平分线EF分别交边AD，BC于点E，F，垂足为O.

（1）求证：四边形AFCE为菱形.（1）证明：∵EF垂直平分AC，∴EF⊥AC，AO＝CO.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OCF＝∠OAE，

∴△AOE≌△COF（ASA），∴FO＝EO.

∵CO＝AO，∴四边形AFCE是平行四边形.又∵EF⊥AC，∴平行四边形AFCE为菱形.（2）在BC的延长线上取一点G，使CG＝OC，连接OG.

若F为BC的中

点，且∠G＝15°，AB＝8，求△FOG的面积.（2）解：∵OC＝CG，∴∠COG＝∠G＝15°，∴∠ACB＝∠COG＋∠G＝30°.∵O为AC的中点，F为线段BC的中点，∴OF是三角形ABC的中位线，

∵EF⊥AC，

如答图，作OH⊥BC，垂足为H，则∠OHG＝90°，答图答图

类型之三正方形的性质与判定

A.

1B.

2C.

3D.

4第5题图C

第6题图①②③

7.

如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点

F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O.

（1）求证：四边形ABEF是正方形；（1）证明：∵矩形ABCD，∴∠BAF＝∠ABE＝90°，∵EF⊥AD，∴

四边形ABEF是矩形，∵AE平分∠BAD，∴EF＝EB，∴四边形ABEF是正方形.（1）证明：∵矩形ABCD，∴∠BAF＝∠ABE＝90°，∵EF⊥AD，

∴四边形ABEF是矩形，∵AE平分∠BAD，∴EF＝EB，∴四边形ABEF是正方形.

（2）证明：∵AE平分∠BAD，∴∠DAG＝∠BAE，

∴△AGD≌△ABE（AAS），∴AB＝AG.

（3）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAF＝∠ABE＝90°，∵EF⊥AD，∴四边形ABEF是矩形，∵AE平分∠BAD，∴EF＝EB，∠BAE＝∠DAG＝45°，∴四边形ABEF是正方形；∴AB＝AF＝1，∵△AGD≌△ABE，∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，

∵EF⊥AD，∴∠FDO＝∠FOD＝45°，

8.

［2025春•泸州月考］如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC

上一点，连接DE，BE.

（1）求证：BE＝DE.

图1

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD.

∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE.

（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.

图2①求证：矩形DEFG是正方形；（2）①证明：如答图，作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，得矩形

EMCN，连接EG，答图∴∠MEN＝90°.（2）①证明：如答图，作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，得矩形

EMCN，连接EG，答图∴∠MEN＝90°.∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN.

∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF＝90°－∠FEN.

图2

∴△DEN≌△FEM（ASA），∴DE＝EF.

∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形.

②解：∵四边形DEFG和四边形ABCD都是正方形，∴DE＝DG，AD＝DC.

∵∠CDG＋∠CDE＝∠ADE＋∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE.

∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°.图2

∵∠ACD＝45°，∴∠ACG＝∠ACD＋∠DCG＝90°，∴CE⊥CG，

图2类型之四中点四边形9.

［2025•德阳］如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，

BC，CD，DA的中点.若BD＝AC，四边形EFGH的面积为24，且HF＝

6，则GH＝（

B

）A.

4B.

5C.

8D.

10B10.

［2025•绵阳模拟］如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6.P

是平面内任意一点，D，E，F，H分别为线段AB，AC，CP，BP的中

点.当四边形DEFH为菱形时，点P到直线BC的最大距离是

⁠.

答图【解析】如答图，过点A作AG⊥BC，交BC于点G，由中位线性质可知

答图

∵四边形DEFH是菱形，∴EF＝FH，∴AP＝BC＝6.设BG＝x，则CG

＝6－x，根据勾股定理，得AB2－BG2＝AC2－CG2＝AG2，即42－x2＝52

《孙子算经》——见方求邪

1.4一、选择题1.

［2025•自贡模拟］下列说法正确的是（

B

）A.

菱形的四个角都相等B.

矩形的对角线相等C.

对角线相等的四边形是矩形D.

对角线互相垂直的四边形为菱形B2.

［2025•成都模拟］如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点

O，则下列结论一定正确的是（

C

）A.

OA⊥OBB.

∠BAC＝∠ACBC.

OA＝OBD.

AD＝AB第2题图C3.

［2025•成都模拟］如图，将两张相同的矩形纸片互相重叠得到四边形

ABCD，连接AC，测得∠1＝38°，则∠ACB的度数为（

B

）A.

18°B.

19°C.

38°D.

42°第3题图B4.

［2024•内江模拟］如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD

相交于点O，M为AO的中点，ME∥AB交BO于E，MF∥OD交AD于

F，若∠MEF＝∠MFE，则AD的值为（

B

）A.

4B.

3

C.

3

D.

6B5.

［2025•达州模拟］如图，将矩形纸片ABCD沿AC剪开，再把△ABC沿

着AD方向平移，得到△A′B′C′，AB＝3，BC＝4.若重叠部分为菱形，

则菱形的边长是（

A

）A.

B.

C.

D.

6.

［2025•成都模拟］如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点

O，BE⊥AC于点E.

若CE＝3AE＝6，则边AB的长是（

C

）A.

2

B.

2

C.

4D.

6AC7.

［2025•泸州模拟］如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC＝4，△AOE的面积为5，则AE的长

为（

C

）A.

3B.

4C.

5D.

8C

A.

B.

C.

2D.

A二、填空题9.

［2025•广安模拟］如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，

BC＝6，D是AB边上的动点（不与点A，B重合），过点D分别作

DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为

⁠.3三、解答题10.

［2025•南充模拟］如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，

DF⊥BC于点F.

（1）求证：BF＝DE；（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC.

∵BE⊥CD

于点E，DF⊥BC

于点F，∴∠BEC＝∠DFC＝90°.

∴△BEC≌△DFC（AAS），∴CE＝CF，∴BC－CF＝DC－CE，∴BF＝DE.

（2）若∠A＝45°，DF＝1，求DE的值.

（2）解：∵四边形ABCD

是菱形，∴∠C＝∠A＝

45°.∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°，∴△DFC是等腰直角三角形，

由（1）知CE＝CF＝1，

11.

［2023•兰州］综合与实践.【思考尝试】（1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，在矩形

ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，

AG＝CF，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由.图1解：（1）四边形ABCD是正方形.理由如下.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°.∵GD⊥DF，∴∠FDG＝90°，∴∠ADG＝∠CDF.

∵AG⊥DG，DF⊥CE，∴∠G＝∠DFC＝90°.又∵AG＝CF，∴△ADG≌△CDF（AAS），∴AD＝CD，∴矩形ABCD是正方形.图1【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图

2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于

点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF之间

的数量关系.请你思考并解答这个问题.图2解：（2）HF＝AH＋CF.

理由如下.∵DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，∴四边形HFDG是矩形，∴∠G＝∠GDF＝∠DFC＝90°.