九年级数学下册《位似》教案（人教版）

九年级数学下册《位似》教案（人教版）

一、课标解读与内容地位分析

1.课标要求

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“图形与几何”领域明确要求：了解图形的相似，知道相似图形的对应角相等、对应边成比例；了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似图形。

2.教材地位

本节“位似”位于人教版九年级数学下册第二十七章“相似”的第三节。它既是“相似”知识的深化与特殊化，又是连接“相似变换”与“坐标变换”的关键桥梁，同时为高中学习“仿射变换”、“射影几何”等更高层次的几何内容奠定直观基础。从知识脉络看，学生已掌握了比例线段、相似多边形、相似三角形的判定与性质，位似作为相似比为定值且对应点连线交于一点的极特殊的相似，是相似知识体系的制高点。从思想方法看，位似融合了变换思想（伸缩与旋转）、数形结合思想（坐标法研究位似）、分类讨论思想（位似中心的位置关系），是培养学生几何直观和逻辑推理能力的优质载体。

3.跨学科视角

位似变换在物理学（光学成像原理）、地理学（地图绘制与比例尺）、计算机科学（图像缩放算法）、艺术（透视画法）等领域有广泛应用。本设计将适度渗透这些联系，展现数学作为基础学科的工具性价值。

二、学情分析

1.知识储备

九年级学生已经系统学习了全等变换（平移、旋转、轴对称）和相似变换的基础知识。他们能够理解相似图形的定义（对应角相等、对应边成比例），掌握了相似三角形的多种判定定理和性质，并初步接触了平面直角坐标系中图形变换与坐标的关系。但对“变换”的整体认识可能仍处于割裂状态，尚未建立统一的变换观。

2.认知特征

该年龄段学生的抽象逻辑思维和空间想象能力处于快速发展期，能够进行基于性质的推理和猜想，但对高度抽象的定义（如用“对应点连线交于一点”来定义位似）可能感到突兀。他们乐于动手操作和探究，但对探究活动的目的性和逻辑性需要教师精心引导。

3.潜在困难

1.概念辨析困难：容易混淆“位似”与“相似”，难以准确把握“位似是特殊的相似”这一核心。

2.性质理解困难：对“位似中心的位置可在图形内、图形上、图形外”这一分类理解不深，作图时易遗漏情况。

3.坐标关联困难：从图形直观过渡到用坐标刻画位似变换，需要突破“形”到“数”的思维转换。

三、教学目标

1.知识与技能

1.理解位似图形的概念，能准确叙述位似图形的定义及其两个核心要素（相似且对应点连线交于一点）。

2.掌握位似图形的性质：位似比等于相似比；对应边平行或在同一直线上；位似中心到对应点的距离比等于位似比。

3.能熟练识别两个图形是否位似，并能指出位似中心和位似比。

4.掌握利用位似原理进行图形放大或缩小的作图方法（已知位似中心和位似比）。

5.探索平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的坐标规律，并能应用该规律解决问题。

2.过程与方法

1.经历从生活实例抽象出位似概念的过程，体会数学建模思想。

2.通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，探究位似图形的性质，发展合情推理和演绎推理能力。

3.在利用位似进行图形缩放的作图中，掌握尺规作图技能，培养几何直观和动手操作能力。

4.通过小组合作探究坐标系中的位似，体验从“形”到“数”的研究路径，强化数形结合思想。

3.情感、态度与价值观

1.通过感受位似在摄影、测绘、电影放映等领域的广泛应用，体会数学的实用价值和美学价值。

2.在探究活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学好数学的自信心。

3.培养严谨、细致的数学学习习惯和合作交流的意识。

四、教学重点与难点

1.教学重点

1.位似图形的概念。

2.位似图形的基本性质。

3.利用位似进行图形放大与缩小的作图。

2.教学难点

1.位似概念中“对应点连线交于一点”的深刻理解及其与一般相似的区别。

2.位似中心位于不同位置（图形内、上、外）时，位似图形的画法及性质的理解。

3.平面直角坐标系中以原点为位似中心的坐标变换规律的探索与应用。

五、教学策略与资源准备

1.教学策略

1.情境-问题驱动策略：创设“如何精确放大一幅画”等真实问题情境，激发认知冲突，引出位似概念。

2.直观演示与操作探究相结合策略：运用几何画板动态演示位似变换过程，同时引导学生动手画图、测量、验证，实现从感性认识到理性认识的飞跃。

3.对比辨析策略：将位似与已学的全等变换、一般相似变换进行系统对比，构建知识网络，突出位似的特殊性。

4.分层递进策略：教学设计由概念到性质，由作图到坐标，由特殊（原点为位似中心）到一般（任意点为位似中心），层层递进，符合认知规律。

2.资源准备

1.教师准备：多媒体课件（内含几何画板动态演示、生活实例图片、例题习题）、三角板、圆规、实物投影仪。

2.学生准备：预习导学案、直尺、三角板、圆规、量角器、方格纸、坐标纸。

3.教学环境：具备多媒体演示条件的教室，学生分组（4-6人一组）。

六、教学过程设计（两课时，共90分钟）

第一课时：位似概念与性质

环节一：创设情境，激趣导入（约8分钟）

活动1：观察与思考

教师通过多媒体展示一组图片：

1.同一张电影胶片投射到不同距离的幕布上形成的画面。

2.显微镜下细胞的图像与实物。

3.用复印机放大一份设计图纸。

4.两个大小不同但形状完全相同的公司Logo。

提问：

1.每组中的两个图形有什么共同关系？（形状相同，大小不同——相似）

2.除了相似，它们还有什么更特殊的联系吗？请观察每组图中对应点（如电影画面中的同一位置、细胞中的同一结构、图纸上的同一顶点、Logo上的同一拐点）的连线，你有什么发现？（引导学生发现，这些连线似乎会相交于一点）

活动2：动手验证

教师在黑板上画出△ABC和一个放大后的△A‘B’C‘（随意放大，对应点连线不交于一点），再画出另一个与△ABC位似的△A“B”C“。请学生上台用直尺分别连接AA‘与AA”，BB‘与BB”，CC‘与CC”，观察连线是否相交及交点情况。

师生小结：我们发现，有一类特殊的相似图形，它们的对应点所在的直线会相交于一点。这一点非常关键。这类图形就是我们今天要研究的——位似图形。那么，如何精确地定义它呢？

环节二：合作探究，形成概念（约15分钟）

探究任务一：提炼位似定义

请学生阅读教材相关段落，结合导入活动，小组讨论以下问题：

1.位似图形需要满足几个条件？分别是什么？

2.“对应点连线相交于一点”中，“一点”叫什么？这个点有什么要求？

3.位似图形和相似图形是什么关系？

学生讨论，教师巡视指导。

归纳与精讲：

1.位似多边形的定义：如果两个相似多边形，它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形叫做位似多边形。这个交点叫做位似中心。

1.2.关键点强调：

1.2.3.前提是“相似”。

2.3.4.核心特征是“对应点连线交于一点”（该点即位似中心）。

3.4.5.补充条件“这点与对应顶点所连线段成比例”实际上已蕴含在“相似”和“连线交于一点”中，但教材明确列出，旨在严谨。

6.位似比：位似中心到对应顶点距离的比（即位似图形的相似比），称为位似比。当位似比k>1时，图形被放大；当0<k<1时，图形被缩小。

7.关系：位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。位似是相似的真子集。

概念辨析练习（快速口答）：

判断下列说法的正误，并说明理由。

1.任意两个正方形都是位似图形。（×，对应点连线不一定交于一点）

2.位似图形一定是全等图形。（×，位似是相似，大小可以不同）

3.相似图形一定是位似图形。（×）

4.位似中心可以在两个图形的内部、外部或边上。（√）

环节三：深入探究，发现性质（约20分钟）

探究任务二：位似图形的性质

已知四边形ABCD和四边形A‘B’C‘D’是位似图形，O为位似中心。

1.请用直尺和量角器测量，除了对应角相等、对应边成比例外，对应边（如AB与A‘B’）的位置关系有什么特点？

2.连接OA,OB,OC,OD和OA‘,OB’,OC‘,OD’，测量这些线段的长度，计算OA‘/OA,OB’/OB等比值，你有什么发现？

3.移动位似中心O的位置（在图形外、图形上、图形内），上述结论还成立吗？

学生分组动手操作（教师下发印有不同位似中心位置的位似图形图纸），记录数据，讨论结论。

小组汇报，教师利用几何画板动态验证：

性质归纳：

1.基本性质：位似图形的对应角相等，对应边成比例。（源于它是相似图形）

2.核心性质：

1.3.性质1：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（即相似比）。即|OA‘|/|OA|=k。

2.4.性质2：位似图形的对应边平行或在同一条直线上。

3.5.性质3：位似中心是唯一的不动点（对应点与自身重合）。

探究任务三：位似中心的分类

观察几何画板演示，当位似中心O的位置变化时，两个位似图形的位置关系有何不同？

师生共同总结：

1.同侧位似（外位似）：位似中心在两个图形的同侧，对应边互相平行。此时位似中心在图形外部。

2.异侧位似（内位似）：位似中心在两个图形的之间，对应点交叉分布。此时位似中心可能在图形内部或边上。

环节四：典例解析，巩固新知（约10分钟）

例1：如图，△ABC与△A‘B’C‘是位似图形，点O是位似中心。若OA=2cm,OA’=6cm，△ABC的周长为10cm。

求：(1)位似比；(2)△A‘B’C‘的周长。

解析：

(1)位似比k=OA‘/OA=6/2=3。

(2)因为位似比等于相似比，所以周长比也为3。

故△A‘B’C‘的周长=10×3=30cm。

教师强调：位似比是关键，它决定了图形所有对应线性尺寸（边长、周长、对角线长等）的比，也决定了面积比是位似比的平方。

例2：判断下图中各对图形是否是位似图形。如果是，请指出位似中心和位似比。

（此处插入几个图形，包括是位似的和不是位似的（如旋转相似）的情况，让学生辨析。）

环节五：课堂小结与预习布置（约2分钟）

小结：本节课我们学习了位似图形的定义（两个条件：相似+对应点连线交于一点）、位似中心和位似比的概念，探究了位似图形的三大核心性质。重点是理解位似作为特殊相似的本质。

预习任务（导学案）：

1.思考：如何根据位似性质，将一个五边形按2:1的比例放大？关键步骤是什么？

2.尝试：在平面直角坐标系中，画一个三角形，标出顶点坐标。如果以原点O为位似中心，将所有点的横纵坐标都乘以2，得到新的三角形。观察这两个三角形是什么关系？测量对应点连线是否经过原点？

第二课时：位似作图与坐标规律

环节一：预习反馈，温故知新（约5分钟）

活动：检查预习导学案问题1。

提问学生：“放大一个图形，你需要知道哪些要素？”（预设答案：知道要放大哪个图形、放大的中心点、放大的倍数）

教师引导：这正是位似作图的三大要素：原图形、位似中心、位似比。今天我们就来学习如何利用尺规进行位似作图。

环节二：技能学习，掌握作图（约20分钟）

探究任务四：位似作图法

已知五边形ABCDE和位似中心O，请画出它的位似图形A‘B’C‘D’E‘，使位似比为2:1（放大）。

师生共研作图步骤：

方法一：连线取点法（基础方法）

1.连接OA、OB、OC、OD、OE。

2.分别在OA、OB、OC、OD、OE（或其延长线）上取点A‘、B’、C‘、D’、E‘，使得OA‘=2OA,OB’=2OB,……

3.顺次连接点A‘、B’、C‘、D’、E‘，所得五边形即为所求。

方法二：平行线法（利用性质“对应边平行”）

1.过点O作任意射线OA。

2.在OA上取A‘，使OA’=2OA。

3.过点A‘分别作AB、AE的平行线。

4.过点O作射线OB、OE，与刚才的平行线分别交于B‘、E’。

5.同理，利用平行和取点，逐步确定C‘、D’。此方法更接近“缩放”的物理操作。

教师利用几何画板同步演示，强调关键步骤和注意事项。

1.注意位似中心的位置，决定取点是在线段上还是延长线上。

2.作图要精准，连线要用直尺。

3.检查对应边是否平行，对应点连线是否交于O点。

变式练习（学生板演）：

已知△ABC和点O，请以O为位似中心，画出△ABC的位似图形，使位似比为1:3（缩小）。

讨论：作缩小图形时，点A‘是在OA上还是反向延长线上？为什么？（在OA上，因为OA’=(1/3)OA<OA）

环节三：数形结合，探究坐标规律（约20分钟）

探究任务五：坐标系中的位似

回顾预习问题2，教师展示学生可能画出的图形。

引导：在坐标系中，以原点O为位似中心，将点P(x,y)的横纵坐标同时乘以k（k>0），得到新点P‘。那么，△OPP’与原点有什么关系？所有顶点都这样变换后的新图形与原图形有什么关系？

学生活动：在坐标纸上，给定△ABC顶点坐标A(2,1),B(4,3),C(1,4)。

1.以原点O为位似中心，作出位似比为2的位似图形△A‘B’C‘，并写出A‘,B’,C‘的坐标。

2.计算A‘、B‘、C’的坐标与A、B、C的坐标有什么关系？（A‘(4,2),B’(8,6),C‘(2,8)=>每个坐标都乘以2）

3.连接AA‘,BB‘,CC‘，观察是否经过原点？计算OA‘/OA,OB’/OB,OC‘/OC。

小组归纳结论：

规律：在平面直角坐标系中，如果以原点O为位似中心，相似比为k（k>0），那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。

即：原图形上点P(x,y)的对应点P‘的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)。

教师精讲：

1.(kx,ky)：对应点位于原点的同侧（外位似），图形“同向”。

2.(-kx,-ky)：对应点位于原点的异侧（内位似），图形“反向”，关于原点中心对称。

3.当k>1时，图形放大；当0<k<1时，图形缩小。

4.此规律极大地方便了在坐标系中研究位似图形。

典例解析：

例3：如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,1),B(1,3)。

(1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出△OAB的位似图形△OA‘B’，使它与△OAB的相似比为2:1，并写出A‘、B’的坐标。

(2)若点P(a,b)是△OAB内一点，则它在△OA‘B’内的对应点P‘的坐标是什么？

解析：

(1)因为同侧位似，所以A‘(2×2,1×2)=(4,2);B’(1×2,3×2)=(2,6)。描点连线即可。

(2)P‘(2a,2b)。

环节四：综合应用，拓展提升（约10分钟）

挑战性问题：

已知四边形ABCD，点P为平面内一点。

1.请以P为位似中心，位似比为1/2，画出四边形ABCD的缩小图形。

（引导学生思考：当位似中心不是原点时，能否利用坐标规律？引出需要平移坐标系，将P点视为“临时原点”的思想，为高中学习埋下伏笔。此处主要考察尺规作图技能。）

2.（联系实际）某小区要制作一个比例为1:500的沙盘模型。规划图上有一个边长为4cm的正方形花坛。请问在沙盘模型上，这个花坛的边长应该是多少厘米？这运用了什么数学原理？（0.008cm，不切实际，引出比例尺概念和实际应用中的灵活性，渗透模型思想）

环节五：课堂总结，梳理脉络（约5分钟）

思维导图式总结（师生共同完成）：

位似

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定义性质

(相似+对应点连线共点)1.对应点到位似中心距离比=位似比

|2.对应边平行或共线

位似中心、位似比3.面积比=位似比的平方

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作图坐标规律

(三要素：原图、中心、比)以原点为位似中心：

方法：连线取点法、平行线法P(x,y)→P‘(kx,ky)或(-kx,-ky)

强调：位似是一种重要的图形变换，它统一了图形的缩放与中心投射的视角，是连接几何与代数（坐标）的完美典范。

七、分层作业设计

A组（基础巩固，全体必做）

1.教材课后习题：完成与位似概念、性质相关的基础练习题。

2.判断：下列每组的两个图形是否位似？若是，指出位似中心和位似比（大致值）。

3.已知△ABC，点O在△ABC外，请用尺规作图法，以O为位似中心，画出△A‘B’C‘，使位似比为3:2。

B组（能力提升，中等及以上学生选做）

1.在平面直角坐标系中，已知A(1,2),B(3,1),C(2,4)。以原点O为位似中心，作出与△ABC位似的图形△A‘B’C‘，使相似比为1/2，且△A‘B’C‘在第三象限。写出