专题10 全等三角形模型之一线三等角模型、手拉手模型、十字架模型解读与提分精练（原卷版）

专题10全等三角形模型之一线三等角模型、手拉手模型、十字架模型目录TOC\o"1-3"\h\u 1模型1.全等三角形模型之一线三等角模型 1模型2.全等三角形模型之手拉手模型 7模型3.全等三角形模型之正方形中的十字架型 13 21模型1.全等三角形模型之一线三等角模型1）一线三等角（K型图）模型（同侧型）锐角一线三等角直角一线三等角（“K型图”）钝角一线三等角条件：，AE=DE；结论：，AB+CD=BC。2）一线三等角（K型图）模型（异侧型）锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴，∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。2）（异侧型）证明：∵，∴∠ECD=∠ABE，∵，∠AED=∠AEB+∠CED，，∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴，∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。例1．（24-25八年级上·山西忻州·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（模型呈现）（1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；（模型应用）（2）如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点；（深入探究）（3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有________（填“、、”）例2．（24-25七年级上·山东泰安·期中）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：（1）如图（1），为等边三角形，，，则________【模型应用】（2）如图（2），正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________【模型变式】（3）如图（3）所示，在中，，，于E，于D，，，求的长．模型2.全等三角形模型之手拉手模型1）双等边三角形型条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。证明：∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。2）双等腰直角三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。证明：∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。3）双等腰三角形型条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。证明：∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。4）双正方形形型条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°，过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS）∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。例1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）小茗同学发现一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形．小茗把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图所示的“手拉手”图形中，和均为等腰直角三角形，，，，点在同一直线上，连接，为中边上的高．(1)求证：；(2)求的度数；(3)直接写出和之间的数量关系．例2．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：(1)如图1、两个等腰三角形和中，连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中，和全等的三角形是，此时和的数量关系是；(2)如图2、两个等腰直角三角形和中，连接，，两线交于点，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，连接，，两线交于点，请直接写出线段和的数量关系及的度数．模型3.全等三角形模型之正方形中的十字架型条件：1）如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；结论：AE=BF。证明：四边形是正方形，，，∴AE⊥BF，∴，，，∴AE=BF。条件：2）如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；结论：AE=GF。证明：在FC上取一点P，使得GB=PF，连结BP。四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP，同1）中证明，可得AE=GF。条件：3）如图3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF；结论：HE=GF。证明：在FC、BE上取一点P、Q，使得GB=PF，AH=QE，连结BP、AQ。四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP，同理可证得：四边形是平行四边形，∴AQ//HF，AQ=HF，同1）中证明，可得HE=GF。例1．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）在正方形中，是边上一点，（点不与点，重合），连接．(1)如图，过点作交于点．证明：．(2)如图，取的一点，过点作交于点，交于点．求证：．例2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）【问题解决】如图，在矩形中，点分别在边上，，于点．（1）求证：四边形是正方形；（2）延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由．【类比探究】（3）如图，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的值．例3．（24-25九年级上·海南三亚·阶段练习）如图1，在正方形中，点分别是边上的点，且．(1)求证：．(2)如图2，在图1的基础上，过点E作的垂线，与正方形的外角的平分线交于点N，连接．求证：四边形是平行四边形．(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若四边形的面积是25，，请求出的长度．1．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，点是等边内一点，若将绕点按逆时针方向旋转一个角度后得到，连接，若，则的长度为（

）A．1 B．2 C． D．2．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，等腰直角，，，点D为外一点，，连接CD，，，BC的长为．3．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，正方形中，，求证：；（2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．

4．（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）如图1，是等腰直角三角形，其中，点D是边上一点，以为边向外作正方形，连接，将正方形绕点C顺时针旋转，如图2所示．(1)旋转过程中线段与之间存在怎样的关系，请说明理由．(2)当且时，求的面积．5．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，、均为等边三角形，，．将绕点A沿顺时针方向旋转，连接、．(1)在图1中求证：；(2)如图2，当时，连接，求的面积；(3)在的旋转过程中，直接写出的面积的取值范围．6．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：正方形中，点，分别在上，连接，交于点，且．(1)如图1，求证：；(2)如图2，过点作，连接，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点作，交的延长线于点，连接，若，的面积为8，求线段的长．7．（23-24八年级下·云南红河·期末）【方法感悟】在解决几何问题中，我们会接触很多典型的基本图形，例如“一线三等角．形全等”，我们把它称之为“三垂直模型”，掌握好该模型及其变形，有助于我们解决一些复杂的几何数学题．今天，我们就来认识它：（1）如图①，中，，，直线经过点直线直线，垂足分别为，那么我们可以得到结论．请你用所学习过的数学知识证明该结论，【方法迁移】（2）如图②，中，，，点在同一条直线上，，，．求菱形的面积．【问题拓展】（3）如图③，分别以的直角边向外作正方形和正方形，连接是的高，延长交于点，若，，求的长度．8．（24-25九年级上·重庆江津·期末）如图，等腰直角与等腰直角按图1位置放置，已知，．(1)填空：，；(2)现将图1中等腰直角绕点A按顺时针方向旋转，当旋转到点C、D、E在一条直线上时，如图2所示，求的长度；(3)当图1中等腰直角绕点A顺时针方向旋转到满足时，如图3所示，猜想：与的数量关系，并证明你的猜想．9．（23-24八年级上·江西南昌·期中）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：[模型呈现]如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到.进而得到，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；

[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________．[深入