专题11 一次函数的应用（8大题型+过关训练）（解析版）

专题11一次函数的应用目录TOC\o"1-1"\h\u【题型一行程问题】 1【题型二工程问题】 4【题型三最大利润问题】 7【题型四分配问题】 10【题型五分段计费问题】 13【题型六调运问题】 16【题型七几何问题】 19【题型八跨学科类问题】 22【题型一行程问题】例题：（24-25八年级上·广东梅州·期末）“五一节”期间，乐乐老师一家自驾游去了离家260千米的某目的地，下面是她们离家的距离（千米）与汽车行驶时间（小时）之间的函数图像，她们出发2.3小时后，离目的地还有（

）千米．A．48 B．32 C．28 D．22【答案】D【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握方法是解题的关键．当时，设，利用待定系数法求出函数解析式为，当时，求出的值，即可得解．【详解】解：当时，设，将和代入解析式得，解得：，当时，，当时，（千米），距离目的地还有：（千米），故选：D．【变式训练】1．（24-25八年级上·河南焦作·期中）甲、乙两车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图，根据图象提供的信息可知从乙出发后追上甲车需要小时．【答案】1.5【分析】本题考查的是一次函数的应用，利用待定系数法求出甲和乙分别离开城的距离与的关系式，再根据题意列出方程，解方程得到答案．【详解】设乙离开城的距离与的关系式为：把和代入解析式，得解得：所以乙离开城的距离与的关系式为：设甲离开城的距离与的关系式为：把代入解析式，得解得：甲离开城的距离与的关系式为：当乙追上甲车时，则：解得：（小时）答：乙出发后1.5小时追上甲车．故答案为：1.5．2．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）小明和小颖两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一路线到科技馆．如图折线和线段分别表示小明和小颖离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象．根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)小明的平均速度是_________千米/小时；(2)求线段的函数表达式；(3)当小颖追上小明时，小颖距科技馆还有多远？【答案】(1)9.6(2)(3)8千米【分析】本题考查一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键：（1）根据小明的总路程为24千米，总时间为2.5小时，进而可得出平均速度；（2）设直线解析式为，把和分别代入得出，令，解得：，得出点C的坐标为，设直线解析式为，把和分别代入求解即可得出答案；（3）把和联立得，求解进而可得出答案．【详解】（1）解：小明的平均速度是千米/小时，故答案为：9.6；（2）解：设直线解析式为，把和分别代入得，解得：，所以，令，，解得：，所以点C的坐标为，设直线解析式为，把和分别代入得，解得：，；（3）把和联立得，解得：，，答：当小颖追上小明时，小颖距科技馆还有8千米．【题型二工程问题】例题：（2023·北京东城·二模）两个变量满足的函数关系如图所示．

①某人从家出发，沿一条笔直的马路以每分钟45米的速度到离家900米的报亭，在报亭看报10分钟，然后以每分钟60米的速度原路返回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y米；②有一个容积为900毫升的空瓶，小张以45毫升/秒的速度向这个空瓶注水，注满后停止，10秒后，再以60毫升/秒的速度倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y毫升；③某工程队接到一项修路的工程，最初以每天修路45米的速度工作了20天，随后因为天气原因停工了10天，为能尽快完成工作，后期以每天修路60米的速度进行工作，这样又经过了15天完成了整个工程．设所用时间为x天，完成的修路长度为y米．在以上实际情境中，符合图中函数关系的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】根据函数图象及题意可直接进行求解．【详解】解：由图象可知：当时，此函数为正比例函数，比例系数为；当时，函数值没有发生变化；当时，y随x的增大而减小，比例系数为，所以通过函数图象可知情境①②符合该函数图象所表示的意义，③不符合；故选A．【点睛】本题主要考查函数图象，熟练掌握函数图象所给的信息是解题的关键．【变式训练】1．（2024·山东济南·一模）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段表示货车离西昌距离与时间之间的函数关系，线段表示轿车离西昌距离与时间之间的函数关系，则货车出发小时后与轿车相遇．【答案】//【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求出两个函数解析式成为解题的关键．先根据函数图像以及待定系数法求得两函数解析式，然后联立求解即可．【详解】解：由待定系数法可得：货车离西昌距离与时间之间的函数关系；轿车离西昌距离与时间之间的函数关系为，联立和，解得：．所以货车出发后与轿车相遇．故答案为．2．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）市政府决定实施“煤改气”供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．(1)前2天乙队平均每天挖管道________米；(2)求段及段所在直线的函数解析式（不写自变量的取值范围）；(3)开始挖掘后，几天时甲、乙两队所挖管道长度相同？【答案】(1)150(2)；；(3)4天【分析】本题考查了一次函数的应用．理解函数图象代表的意义是解决本题的关键，应注意：函数问题也可以用一元一次方程解决．（1）由函数图像可知，乙队2天挖了300米，用即可得出答案．（2）用待定系数法分别求出段及段的解析式即可．（3）当甲、乙两队所挖管道长度相同时，得，解一元一次方程即可得出答案．【详解】（1）解：米，故答案为：150．（2）设段的函数解析式为，把点代入得，解得：，段的函数解析式为；设段的函数解析式为（，b为常数，且）．将和分别代入，得解得段的函数解析式为；（3）当甲、乙两队所挖管道长度相同时，得，解得．∴开始挖掘后，4天时甲、乙两队所挖管道长度相同．【题型三最大利润问题】例题：（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（

）A．200元 B．300元 C．350元 D．500元【答案】B【分析】根据题意，利用待定系数法求出与的一次函数关系式，然后将代入即可求出销售量，最后利用销售收入减去成本支出即可求出销售利润．【详解】解：设与的一次函数关系式为，由图可得，解得，所以与的一次函数关系式为，把代入可得，所以销售利润为（元）．故选B．【点睛】本题考查求一次函数的关系式和利润问题，熟练掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．【变式训练】1．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）某商场打出促销广告：某款球鞋20双，每双售价240元，若一次性购买不超过10双时，售价不变，若一次性购买超过10双时，每多买1双，则购买的所有球鞋的售价均降低10元．已知该球鞋进价是每双120元，若要使该商店从中获利最多，则顾客需一次性购买双．【答案】11【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答．根据题意，写出与的函数关系式，分别根据一次函数和二次函数的性质得到两种情况下获得的最大利润，然后比较大小即可．【详解】解：由题意可得，当时，，当时，，由上可得，与的函数关系式为；当时，，，∴y随x的增大而增大，当时，取得最大值1200，当时，，∵，∴抛物线开口向下，当时，取得最大值1210，，当时，该鞋店获利最多，答：当顾客一次性购买11双时，该网店从中获利最多．故答案为：11．2．（24-25八年级上·四川成都·期末）成都世博会吉祥物为可爱的“桐妹儿”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色．五一假期，小明参观完世博会后，准备购买世博会纪念品送给同学，现有A，B两款吉祥物“桐妹儿”．若购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元．(1)求每件A款吉祥物和每件B款吉祥物的价格；(2)小明准备购买两款吉祥物共10件，若购买A款吉祥物数量为m件，购买A，B两款吉祥物总费用为W元，请写出总费用为W与数量m之间的函数关系式，并求出总费用最少为多少元？【答案】(1)每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元；(2)总费用为W与数量m之间的函数关系式为，总费用最少为520元．【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握一次函数的增减性和二元一次方程组的解法是解题的关键．（1）分别设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元，根据题意列二元一次方程组并求解即可；（2）根据“总费用=每件A款吉祥物的价格×购买A款吉祥物数量+每件B款吉祥物的价格×购买B款吉祥物数量”写出W与m之间的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，求出的最小值即可．【详解】（1）解：设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元．根据题意，得，解得．答：每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元；（2）解：，∵，∴W随m的减小而减小，∵，∴当时，W值最小，．答：总费用为W与数量m之间的函数关系式为，总费用最少为520元．【题型四分配问题】例题：（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233名、教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表：甲种客车乙种客车载客量（单位：人/辆）4530租金（单位：元/辆）400280则最节省费用的租车方案是（

）A．租甲种车4辆，租乙种车2辆 B．租甲种车5辆，租乙种车1辆C．租甲种车2辆，租乙种车5辆 D．租甲种车3辆，租乙种车4辆【答案】A【分析】设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大于7辆，要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于，客车总数不能小于6，可得客车总数为6，，根据题意列出一次函数和一元一次不等式，找到x的取值范围，再结合一次函数的增减性即可求解．【详解】解：设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大于7辆，要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于，客车总数不能小于6，∴客车总数为6，，由题意可得，，整理可得，由题意，，解得，∵，∴，∵中，，y随x的增大而增大，∴x取最小值时，即，y有最小值，即当租甲种车4辆，租乙种车2辆，费用最少，故选：A．【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的实际应用，利用题中的不等关系找到x的取值范围是解题的关键．【变式训练】1．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表：甲乙销售方案每盒优惠价元每盒标价元，若购买数量超过盒，超出部分打八折已知购买礼盒所需费用（元）与数量（盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了盒．【答案】【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等组的应用，根据题意分别列出李明分别在甲乙两超市购买所需费用的解析式，再根据“在乙超市购买更划算”建立关于的一元一次不等式组，求解即可．根据题意列出一次函数关系式和一元一次不等式组是解题的关键．【详解】解：设他购买了盒坚果礼盒，为正整数，则在甲超市购买礼盒所需费用为：，在乙超市购买礼盒所需费用为：当购买盒数不超过盒时，，当购买盒数超过盒时，，∵李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，∴，解得：，∴他至少购买了盒．故答案为：．2．（24-25八年级上·江西抚州·期末）为创建“绿色校园”，某校计划分两次购进A，B两种花草，弟一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费825元，第二次分别购进A，B两种花草12棵和5棵，共花费325元（两次购进同种花草和价格相同）．(1)A，B两种花草每棵的价格分别是多少元(2)若计划购买A，B两种花草共30棵，其中购买A种花草m棵，且，请你给出一种费用最省的方案，并求该方案所需费用．【答案】(1)A、B两种花草每棵的价格分别是25元和5元；(2)购买A花草12棵，购买B花草18棵，共花费元．【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用．（1）设A、B两种花草每棵的价格分别是x，y元，由题意列二元一次方程组求解即可；（2）设所需费用为W，则，利用函数增减性可知：当时，W取最小值，此时元．【详解】（1）解：设A、B两种花草每棵的价格分别是x，y元，则由题意可知：，解之得：，∴A、B两种花草每棵的价格分别是25元和5元；（2）解：设所需费用为W，则由已知可得：，由可知W随m的增大而增大，∵，∴当时，W取最小值，此时元，，故最省钱的方案是：购买A花草12棵，购买B花草18棵，共花费元．【题型五分段计费问题】例题：（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）．用水量（立方米）收费（元）不超过10立方米每立方米2元超过10立方米超过的部分每立方米3元(1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式；(2)若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？(3)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？【答案】(1)(2)应交水费14元(3)该户居民用水12立方米【分析】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键：（1）根据收费方式，分2种情况，列出函数关系式即可；（2）将代入对应的函数解析式进行求解即可；（3）令，求出对应的自变量的值即可．【详解】（1）解：由题意，当时，，当时，，∴；（2）当时，（元）；答：应交水费14元；（3）∵，∴，∴当时，，解得：；答：该户居民用水12立方米．【变式训练】1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨2元，超过6吨时，超过的部分按每吨3元收费，该市某户居民5月份用水x吨，应交水费y元．(1)请写出y与x的函数关系式．(2)如果该户居民这个月交水费27元，那么这个月该户用了多少吨水？【答案】(1)；(2)这个月该户用了11吨水．【分析】本题考查了一次函数的实际应用，理解题意，根据题意列出一次函数的解析式是解题的关键．（1）根据题意，分类和两种情况分别列出函数关系式即可；（2）先判断该户居民用了超过6吨水，再代入求解方程得出x的值即可．【详解】（1）解：由题意得，分2种情况讨论：①当时，；②当时，；与x的函数关系式为．（2），该户居民用了超过6吨水，当时，，解得：，答：这个月该户用了11吨水．2．（24-25八年级上·山东济南·期末）某学校社团开展了《哪一款手机资费套餐更合适》学习活动．下表是调查的有关信息：项目主题哪一款手机资费套餐更合适调查方式资料查阅，实际访谈调查内容请根据表中的信息完成下列问题：(1)根据调查内容，某用户使用流量为，使用语音分钟，按A套餐月资费为______元，按B套餐月资费为______元；(2)根据访谈内容，小明妈妈每月语音通话不超过分钟，设她每月使用流量为，每月的手机资费为元．①若她使用的是A套餐，与的函数关系为：当时，；时，．如图为与的函数图象．若她使用套餐，请求出与之间的函数关系式，并在坐标系中画出它的图象；②若她某月使用流量为，则使用______（填：A或B）套餐月资费更少；③若她某月的月资费为元，请判断使用哪种套餐流量更多，并说明理由．【答案】(1)，(2)①,图象见解析；②B；③使用B种套餐流量更多，理由见解析【分析】此题考查了一次函数的实际应用，（1）分别根据两种套餐求出费用即可；（2）①分两种情况求出函数解析式，画出函数图象即可；②根据图象回答问题即可；③分别求出当时，A套餐的流量为，B套餐，比较后后即可得到答案．【详解】（1）按A套餐：（元），按B套餐：元，故答案为：，（2）解：当时，；当时，；∴B套餐的大致图象如图；；②由图象可知，若她某月使用流量为，则使用B套餐月资费更少；故答案为：B③使用B种套餐流量更多，理由：当时，A套餐，，，B套餐，，，∴使用B种套餐流量更多【题型六调运问题】例题：（2021八年级上·全国·专题练习）甲、乙两个粮库分别存粮600吨、1400吨，A、B两市分别用粮1200吨、800吨，需从甲、乙两粮库调运，由甲库到A、B两市的运费分别为6元/吨、5元/吨；由乙库到A、B两市的运费分别是9元/吨、6元/吨，则总运费最少需元．【答案】13800【分析】可以先设甲库调运x吨粮食到B市，则甲库调运600-x吨粮食到A市，乙库调运A市600+x吨，乙库调运B市800-x吨．从而列出总运费与x的关系式，进而求出最少值．【详解】解：设由甲库调运吨粮食到B市，总运费为，则＝5＋6（600－）＋6（800－）＋9（600＋）＝13800＋2（0≤≤600），当＝0时，最小，故答案为：13800．【点睛】本题考查了函数的多变量问题，解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．【变式训练】1．（24-25八年级上·广西·期中）甲村和乙村共有22000吨肥料需要运往A，B两地，其运费单价如下表：收货地发货地AB甲村15元/吨20元/吨乙村24元/吨25元/吨若将甲村的肥料全部运往B地，乙村的肥料全部运往A地，且所需运费相等．(1)求甲、乙两村各有多少吨肥料；(2)若甲、乙两村需要给A地运输肥料共9000吨，且甲村最多只能给A地运输5000吨肥料，问怎样调运可使运费最少？并求出最少运费．【答案】(1)甲村有12000吨肥料，乙村有10000吨肥料(2)调运方案见解析；最少运费461000元【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一次函数的应用．（1）设甲村有x吨肥料，则乙村有吨肥料，根据所需运费相等列关于x的一元一次方程，解方程即可得出答案；（2）设甲村往A地运输了a吨肥料，总运费为W元，则往B地运输了吨肥料，那么乙村运往A地吨肥料，往B地运往吨肥料，利用总运费每吨所需运费运输数量，即可得出W关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【详解】（1）解：设甲村有x吨肥料，则乙村有吨肥料，由题意得，，解得，，∴，∴甲村有12000吨肥料，乙村有10000吨肥料；（2）解：设甲村往A地运输了a吨肥料，总运费为W元，则甲村往B地运输了吨肥料，那么乙村运往A地吨肥料，往B地运往吨肥料，，．又甲村最多只能只能给A运输5000吨肥料，即，又，随a的增大而减小，当时，W有最小值，最小值为461000．答：当甲村往A地运输5000吨肥料，往B地运输7000吨肥料，乙村运往A地4000吨肥料，往B地运往6000吨肥料时，总运费最少，最少运费为461000元．2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）现从A村，B村向甲、乙两地运送蔬菜，A村，B村两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A村到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B村到甲地运费60元/吨，到乙地45元/吨．设A村往甲地运送蔬菜x吨．(1)设A村运费为元，请写出与的函数关系式，并说明x为何值时，最小？(2)设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式．并求出当时，怎样调运蔬菜才能使运费最少？【答案】(1)，当时，最小(2)A村往甲地运送蔬菜1吨、往乙地运送蔬菜13吨，B村将14吨蔬菜全部运往甲地可使运费最少【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：（1）根据总运费等于从A村到甲地的总运费加上从A村到乙地的总运费之和，列出函数关系式，根据一次函数的性质，进行求解即可；（2）根据总运费等于两村的运费之和，列出函数关系式，根据一次函数的性质，进行求解即可．【详解】（1）根据题意，A村往乙地运送蔬菜吨，则，∵，∴随x的减小而减小，∵，∴当时，最小．（2）根据题意，B村往甲地运送蔬菜吨，B村往乙地运送蔬菜吨，则，∵，∴W随x的减小而减小，∵，∴当时，W的值最小，∴A村往甲地运送蔬菜1吨、往乙地运送蔬菜13吨，B村将14吨蔬菜全部运往甲地可使运费最少．【题型七几何问题】例题：（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，大长方形的长为x，在左侧截掉一个面积最大的正方形．若剩余部分的周长是y，则y与x的函数关系式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查一次函数关系式，设截掉的最大的正方形的边长为，则余下部分的边长分别为、，根据剩余部分的周长建立等式即可得到答案．【详解】解：设截掉的最大的正方形的边长为，则余下部分的边长分别为、，根据题意，得经整理，得．故选：A．【变式训练】1．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点Px,y在轴上方，并且位于直线上，的面积为，若点的坐标是，则关于的函数关系式（写出的取值范围）是．【答案】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握三角形的面积公式是解题的关键．由点Px,y在轴上方，并且位于直线上，可求出x的范围，可知三角形的高为，由A点坐标，可求出三角形的底，再结合三角形的面积公式求解即可．【详解】解：点的坐标是，，点Px,y在轴上方，并且位于直线上，，，，关于的函数关系式是，故答案为：．2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线（为常数）的图像经过点，点是直线上一动点，且的横坐标为，以为腰、为底构造等腰，点在轴上．(1)求的值；(2)当点纵坐标为，求点的坐标；(3)若的面积是的面积的倍，求点的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（）把代入解析式即可求解；（）由（）得一次函数解析式为，进而求出点坐标，再根据等腰三角形的性质求出AB即可求解；（）根据的面积是的面积的倍，列出关于的方程，解方程即可求解；本题考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，一次函数的几何应用，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】（1）解：把点代入得，，∴；（2）解：∵，∴一次函数解析式为，∵点是直线上一动点，点纵坐标为，横坐标为,∴，∴，∴，∵是为腰、为底的等腰三角形，∴，∴；（3）解：∵的横坐标为，∴，∵的面积是的面积的倍，∴，∴或，∴或．【题型八跨学科类问题】例题：（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，“漏壶”是一种古代计时器．用表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，y是x的一次函数．嘉淇在某次计时过程中，如表记录了四次数据，其中只有一组数据记录错误．记录错误的组别是（

）组别1234漏水时间12.545.5壶底到水面的高度131075A．第1组 B．第2组 C．第3组 D．第4组【答案】D【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．由表可知，y随x的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题．【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，∴y随x的增大而减小，由表格知第1、2、3、4组，漏水时间依次增加，而先三组水面的高度依次减少，而第3组到第4组只减少了，∴第4组数据记录错误．故选：D．【变式训练】1．（23-24八年级下·山西朔州·期末）某数学兴趣小组的同学根据古代的沙漏模型，制作了一套“沙漏计时装置”．该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该小组进行实验时，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表数据：沉沙时间（小时）02468电子秤读数（克）618304254本次实验开始记录的时间是上午，由表中数据推测，当精密电子秤的读数为72克时的时间是．【答案】【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，待定系数法求解析式等知识，正确求得函数解析式，求出函数自变量或函数值是解决本题的关键．先求出一次函数，然后令时，解得的值，然后结合起始时间是上午即可获得答案．【详解】解：根据表格中的数据可知，当沉沙时间每增加2小时，电子秤读数增加12，∴电子秤读数为沉沙时间的一次函数，设电子秤读数为y（克），沉沙时间为x（小时），一次函数表达式为：，将点代入解析式中，可得，解得，∴函数表达式为：；把代入得：，解得：，∵起始时间是上午，∴经过11小时的漏沙时间为．故答案为：．2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）某学校社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（如图）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，精密电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取精密电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．实验小组通过观察，发现精密电子秤的读数y（）与漏沙时间t（）满足一次函数关系，下表中列出了t与y的几组对应值：漏沙时间t（）02468精密电子秤读数y（）6(1)请你根据表格求出精密电子秤读数与漏沙时间之间的函数表达式：(2)若本次实验开始记录的时间是上午，那么当精密电子秤的读数为时，其所对应的时间是几点？【答案】(1)(2)【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式．熟练掌握一次函数的应用，一次函数解析式是解题的关键．（1）设精密电子秤读数与漏沙时间之间的函数表达式为，将代入得，，计算求解，然后作答即可；（2）当时，，可求，然后求解时间即可．【详解】（1）解：设精密电子秤读数与漏沙时间之间的函数表达式为，将代入得，，解得，，∴精密电子秤读数与漏沙时间之间的函数表达式为；（2）解：当时，，解得，，∴当精密电子秤的读数为时，其所对应的时间是．一、单选题1．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后小时追上甲车；④当乙追上甲后，甲乙两车相距20千米时，或小时．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题主要考查一次函数的应用，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为20，可求得t，得出答案．掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．【详解】解：由图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时，故①②都正确；设甲车离开城的距离与的关系式为，把代入可求得，，设乙车离开城的距离与的关系式为，把1,0和代入可得，解得，，令可得：，解得，即甲、乙两直线的交点横坐标为，此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故③错误；当乙追上甲后，令，，解得：，当乙到达目的地，甲自己行走时，，解得，∴综上所述，当乙追上甲后，甲乙两车相距20千米时，或．故④正确；综上可知正确的有①②④，共3个．故选：C．2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）2024年12月，台湾省前领导人马英九第三次访问在陆，21日到达第二站成都，一行人乘车前往距驻地170千米的大熊猫基地参观，下面是他们离开驻地的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象，当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶的时间是（

）A．小时 B．小时 C．小时 D．小时【答案】C【分析】本题考查了一次函数的应用，根据待定系数法，可得段的解析式，根据函数值，可得相应自变量的值．【详解】解：设段的函数解析式是，∵的图象过，，解得，∴段的函数解析式是，离目的地还有20千米时，即，当时，，解得：，故选：C．3．（24-25九年级上·重庆·期末）经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树主干的直径）越大，树就越高．通过测量某种树，得到如表：胸径树高已知树高是其胸径的一次函数．如表几对数值中不能满足与的函数关系式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查一次函数的实际运用，掌握待定系数法求函数解析式，一次函数性质，是解决问题的关键．设，将，代入解方程组，得到，把代入，得．【详解】解：设，将，代入，得，解得，∴；当时，．当时，．当时，．∴不能满足y与x的函数关系式的是．故选：C4．（24-25八年级上·山西晋中·期末）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与x的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（

）A．客人距离厨房门口B．慧慧比聪聪晚出发C．聪聪的速度为D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距【答案】C【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，数形结合是解题的关键．根据图象求出聪聪的解析式，结合图象，逐项判断即可求解．【详解】解：A、由图象知，客人距离厨房门口，A选项正确，不符合题意；B、慧慧比聪聪晚出发，B选项正确，不符合题意；C、由图象得，慧慧提速前的速度是，则慧慧提速后速度为，故提速后慧慧行走所用时间为：，∴，∴聪聪的速度为，C选项不正确，符合题意；D、∵聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，∴表示的是聪聪行走的时间与路程的关系，设的解析式为，图象经过点，∴，解得，，∴的解析式为，当时，聪聪与慧慧的距离逐渐增大，∴当时，，当时，慧慧的速度大于聪聪的速度，则聪聪与慧慧的距离先减小，再增加，∵当时，，，∴；∵，∴当时，聪聪与慧慧的距离逐渐减小到，∴从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远距离为，∴D选项正确，不符合题意；故选：C．5．（24-25八年级上·河南郑州·期末）电子体重秤原理是利用力传感器在置物平台上放上重物后，使表面发生形变而引发了内置电阻的形状变化，电阻的形变必然引发电阻值的变化，电阻值的变化又使内部电流发生变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字．简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，已知与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），如图所示．下列说法不正确的是（

）A．B．可变电阻随着踏板上人的质量的增加而减小C．当踏板上人的质量每增加10千克，可变电阻减小20欧D．当可变电阻为90欧时，对应测得人的质量为60千克【答案】D【分析】本题考查了一次函数的应用，求出一次函数的解析式，再结合图象逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：将，代入得，解得：，∴，故，可变电阻随着踏板上人的质量的增加而减小，当踏板上人的质量每增加10千克，可变电阻减小20欧，故ABC正确；当时，，解得：，故当可变电阻为90欧时，对应测得人的质量为75千克，D错误，故选：D．二、填空题6．（24-25九年级上·湖北黄冈·期末）生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴）．则该植物最高长到．【答案】31【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图示，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的性质是解题的关键．根据图示，设一次函数为，把点代入得到解析式，再把x=50代入即可求解．【详解】解：根据函数图象设一次函数为，把点代入得，解得，，∴一次函数解析式为，当x=50时，，当时，，则该植物达到最高高度，∴该植物最高长到，故答案为：31．7．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）地面气温是，如果每升高，气温下降，则气温与高度的函数关系式是．【答案】【分析】此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，解决本题的关键是得到高度为h米时的温度的等量关系．根据题意可知：每升高1米气温就降低0.06度，气温地面温度降低的温度，把相关数值代入即可求解．【详解】解：高度为，那么温度将降低，则气温与高度的函数关系式是：，故答案为：．8．（24-25八年级上·山东济南·期中）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．当甲、乙两车相距50千米时，时间t（小时）的所有可能的值为．【答案】【分析】本题考查了一次函数的应用，准确识图，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．【详解】设甲车离开A城的距离y与t的关系式为把（5，300）代入可得，解得，∴，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为，把（1，0）和（4，300）代入可得，解得，∴，令，可得，解得：或，又当时，，此时乙还没出发，当时，乙到达B城，，综上，当甲、乙两车相距50千米时，或或或，故答案为：或或或．9．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，数学兴趣小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，兴趣小组每分钟记录一次水位的读数，得到下表：记录时间0123456…水位读数33.43.84.24.65.05.4…在本次实验中，当水位读数为时，此时记录时间为．【答案】20【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．观察表格中记录时间和水位读数的数据，可以发现水位读数随着时间的增加而均匀增加，相邻时间间隔（1分钟）内水位读数的差值是固定的，所以它们之间是一次函数关系．我们可以设函数关系式为（为斜率，为截距），然后利用表格中的两组数据求出和的值，进而得到函数关系式，最后将代入函数关系式求出的值．【详解】解：由表格数据可设，将和分别代入可得：，将代入，可得，函数关系式为，当时，代入函数关系式可得：，解得：．故答案为：20．10．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图1，底面积为的空长方体容器内水平放置着由两个实心圆柱体组成的“几何体”，现向容器内均匀注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间t之间的关系如图2所示，若“几何体”下方圆柱体的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的底面积为．【答案】24【分析】本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．根据图象，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，满过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可．【详解】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：，这段高度为：，设匀速注水的水流速度为，则，解得，即匀速注水的水流速度为；“几何体”下方圆柱的高为，则，解得，所以“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据题意得，解得，即“几何体”上方圆柱的底面积为．故答案为：24．三、解答题11．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知某种毛线玩具的销售单价（元）与它的日销售量（个）之间的关系如下表．若日销售量是销售单价的一次函数．355055……352015……(1)求与之间的函数表达式；(2)当销售单价为58元，它的日销售量是多少？【答案】(1)(2)日销售量是个【分析】本题考查了一次函数解析式，一次函数应用．熟练掌握一次函数解析式，一次函数应用是解题的关键．（1）待定系数法求解即可；（2）将代入，计算求解即可．【详解】（1）解：设一次函数表达式为，将和代入，得，解得，∴一次函数表达式为；（2）解：将代入得，，∴日销售量是个．12．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，杠秤是我国传统的称重工具，它利用秤砣到秤纽的水平距离，得出秤钩上所挂物体的重量．24681011.522.53(1)当提小秤纽称重时，秤钩上所挂物体的重量是秤砣到小秤纽的水平距离的一次函数，所记录的若干次称重数据如表所示：与之间的函数表达式为__________；若秤砣到小秤纽的最大水平距离为，求提小秤纽可称的最大物重．(2)在（1）的条件下，若物重大于提小秤纽可称的最大物重，则提大秤纽称重，此时秤钩上所挂物体的重量是秤砣到大秤纽的水平距离的一次函数．已知大、小秤纽的水平距离为，提大秤纽称物重的秤砣位置分别与提小秤纽称物重的秤砣位置重合，求提大秤细可称的最大物重．【答案】(1)，提小秤纽可称的最大物重为(2)提大秤纽可称的最大物重为【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系及一次函数的增减性是解题的关键．（1）利用待定系数法解答即可；根据一次函数的增减性和的取值范围求出y的最大值即可；（2）将，分别代入y与x之间的函数表达式，求出对应的x的值，从而分别求出对应的m的值；利用待定系数法求出y，与m之间的函数表达式，并根据一次函数的增减性和m的取值范围求出y的最大值即可．【详解】（1）解：设与x之间的函数表达式为(为常数，且)．将，和，分别代入，得解得与x之间的函数表达式为．故答案为∶．，随的增大而增大．，当时，的值最大，．提小秤纽可称的最大物重为．（2）解：设．由时，，得．同理可得．解方程组得．，随的增大而增大．当时，的值最大，．提大秤纽可称的最大物重为．13．（河南省焦作市2024-2025学年上学期八年级数学期末学情调研试卷）某校组织八年级师生开展以“寻根河南，生生不息”为主题，为期一天的“河南之旅”研学实践活动，学校计划租用甲、乙两种不同型号的客车，已知3辆甲型客车和1辆乙型客车可乘坐195人；1辆甲型客车和2辆乙型客车可乘坐165人．(1)甲、乙两种不同型号的客车每辆分别可乘坐多少人？(2)已知甲型客车每天的租车费用为1