2025北京北师大实验中学高三（下）统练一数学试题及答案

高中2025北京北师大实验中学高三（下）统练一数学2025.3本试卷共4页，共150分，考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合，集合，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）．A. B. C. D.3.从数字1，2，3，4，5，6中随机抽取两个数字（不允许重复），则这两个数字的乘积是奇数的概率为（）A. B. C. D.4.已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A.4 B.3 C.2 D.5.函数在区间的大致图像为（）A.B.C. D.6.充电电池是电动汽车的核心部件之一，如何提高充电速度是电池制造商重点关注的研究方向已知电池充入的电量E（单位：）与充电时间t（单位：）满足函数，其中M表示电池的容量，k表示电池的充电效率，研究人员对A，B两个型号的电池进行充电测试，电池A的容量为，充电充入了的电量；电池B的容量为，充电充入了的电量.设电池A的充电效率为，电池B的充电效率为，则（）A. B. C. D.大小关系无法确定7.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边位于第一象限，且与单位圆交于点，轴，垂足为.若的面积为，则（）A. B. C. D.8.已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.在棱长为1的正方体中，点满足，，，则的最小值为（）A. B. C.2 D.10.设直线系，对于下列四个命题：（1）M中所有直线均经过一个定点；（2）存在定点P不在M中的任一条直线上；（3）对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；（4）M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4第二部分二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.展开式中各项的系数的和是______.（用数字作答）12.经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为______．13.羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由根羽毛固定在球托上.测得每根羽毛在球托之外的长为cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面.测得顶端所围成圆的直径是cm，底部所围成圆的直径是cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为______.14.已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点；若，且，则的最小值是______.15.对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”.给出以下四个结论：①若数列，则为“有界变差数列”；②若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是；③若数列是“有界变差数列”，则存在，使得对任意，有；④若数列是“有界变差数列”，则数列必是“有界变差数列”.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在中，，.（1）求；（2）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的周长.条件①：的面积为；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.17.如图，四棱锥中，底面，，平面，.（1）证明：；（2）已知点到平面的距离为1，求二面角的余弦值.18.某学校组织全体高一学生开展了知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表：男生818486868891女生728084889297（1）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；（2）从该校的高一学生中，随机抽取3人，用样本频率估计概率，记成绩为优秀分的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；（3）表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小．只需写出结论19.已知椭圆的离心率为，是C的上、下顶点，且．过点的直线l交C于B，D两点（异于），直线与交于点Q．（1）求C的方程；（2）证明，点Q的纵坐标为定值．20.已知函数．（1）求曲线在点处的切线的方程；（2）若函数在处取得极大值，求a的取值范围；（3）若函数存在最小值，直接写出a的取值范围．21.已知无穷数列满足：①；②（；；）.设为所能取到的最大值，并记数列.（1）若，写出一个符合条件的数列A的通项公式；（2）若，求的值；（3）若，求数列的前100项和.

参考答案本试卷共4页，共150分，考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B【分析】由两集合交集为空集，可直接判断；【详解】因为，所以.故选：B2.【答案】B【分析】先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果.【详解】由题意得，.故选：B.【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.3.【答案】A【分析】由组合分别求出随机选取两个数字的情况数和乘积为奇数的情况数，再由古典概型求得结果.【详解】从数字1，2，3，4，5，6中随机抽取两个数字（不允许重复）一共有种，要想乘积为奇数，则随机选取的两个数字均为奇数，一共有种，所以概率为.故选：A.4.【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率.【详解】由题意，设、、，则，，，则，则.故选：C.5.【答案】B【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.【详解】，又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，又，故可排除D.故选：B.6.【答案】B【分析】列出方程后比较大小【详解】由题意得，则，同理，则，得，由指数函数单调性得，即．故选：B7.【答案】D【分析】由三角函数的定义结合三角形面积列出方程，再由倍角公式求出答案.【详解】由三角函数的定义可知：，故，故，解得：.故选：D8.【答案】B【分析】利用等差数列前n项和的函数性质判断“对于任意且，”与“”推出关系，进而确定它们的关系.【详解】由等差数列前n项和公式知：，∴要使对于任意且，，则，即是递增等差数列，∴“对于任意且，”必有“”，而，可得，但不能保证“对于任意且，”成立，∴“”是“对于任意且，”的必要而不充分条件.故选：B.9.【答案】D【分析】当时，点的轨迹为线段，将等腰直角三角形旋转与平面共面，由余弦定理可求解；【详解】如图所示，当时，点的轨迹为线段，将等腰直角三角形三角形旋转至与平面共面，可知，当且仅当三点共线取最小值，由余弦定理可得，故选：D10.【答案】B【分析】由点到直线系中每条直线的距离均为1，则直线系表示圆的切线的集合，然后结合题意考查所给的四个命题是否正确即可.【详解】因为点到直线系中每条直线的距离直线系表示圆的切线的集合，(1)由于直线系表示圆的所有切线,其中存在两条切线平行,M中所有直线均经过一个定点不可能，故(1)不正确(2)由圆的切线的集合，则在M中的任一条直线不过圆心所以存在定点P不在M中的任一条直线上，故（2）正确.(3)由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线,所以对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，故(3)正确；(4)如图所示，M中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，故(4)不正确．故选：B第二部分二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】81【分析】根据给定条件，利用赋值法计算即得.【详解】取，得展开式中各项的系数的和为.故答案为：8112.【答案】【分析】求出焦点坐标，设直线方程，联立抛物线方程，韦达定理，利用弦长求出直线方程，可求得O点到直线距离，进一步求出三角形面积.【详解】由题意知，抛物线的焦点，设，，直线AB：，联立方程，消去x可得，，韦达定理得，因为，所以，即，所以直线AB：，所以点O到直线AB的距离为，所以.故答案为：13.【答案】【分析】将圆台补成圆锥，由相似求出小圆锥的母线长，结合圆心角公式求解即可.【详解】将圆台补成圆锥如图所示，则羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差，设小圆锥母线长为，则大圆锥母线长为，，，可得：，解得，小圆锥底面半径为，小圆锥展开的扇形的弧长为，设曲面的展开图的圆心角为，则，即.故答案为：14.【答案】【分析】先证明，再说明当，且为线段的中点时有，即可得到的最小值为.【详解】①由于，故，所以.②当，且为线段的中点时，有.此时综合①②两方面，可知的最小值为.故答案为：.15.【答案】③④【分析】对于①，求出即可判断；对于②，，然后根据的取值范围讨论即可；对于③，利用绝对值不等式即可证明；对于④，，然后即可判断.【详解】①：，所以，任意的，总存在，使，所以①错误；②：若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，所以，，若，会取到无穷大，不合题意，若，，合题意，若，，合题意，故，所以②错误；③：，所以，所以，故则存在，使得对任意，有；所以③正确；④：由③知，存在，使得对任意，有，，故数列必是“有界变差数列”，④正确，故答案为：③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.【答案】（1）（2）答案见解析【分析】（1）根据已知条件，利用辅助角公式结合角的范围即可求解；（2）若选条件①，利用正弦定理面积公式求出，再利用余弦定理求出即可求解；若选条件②，先利用等腰三角形性质求出，再利用三角形内角和公式求出，最后余弦定理确定即可求解；若选条件③，先利用已知条件结合余弦定理求出，发现三角形不唯一不合要求.【小问1详解】因为，由辅助角公式有：，即，因为，所以，所以，解得.【小问2详解】选条件①：的面积为，由正弦定理有：，即，，由余弦定理有：，即，解得：，所以的周长为.选条件②：，因为，由，所以为等腰的三角形，所以，因为，所以，由余弦定理有：，即，解得，所以的周长为.选条件③：，由由余弦定理有：，即，整理得：，解得或，此时不唯一，所以条件③不合要求.17.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质证得，再利用线面垂直性质、判定推理得证.（2）作于，利用线面垂直的判定证得平面，再作出二面角的平面角，利用定义法求出余弦值.【小问1详解】在四棱锥中，平面，平面，则，由平面，平面平面，得，而，则，而平面，因此平面，又平面，所以.【小问2详解】过点在平面内作于，由平面，得，而平面，则平面，，又平面，则，在中，，则，解得，为中点，即，在平面内过作于，连接，平面，则平面，又平面，于是，是二面角的平面角，由，得，，而，则，，所以二面角的余弦值为.18.【答案】（1）（2）分布列见解析，；（3）【分析】（1）由古典概型的列举法求男生成绩高于女生成绩的概率.（2）由题设，成绩优秀人数可取且服从分布，应用二项分布的概率求法求各可能值的概率，即可写出分布列，进而求期望即可.（3）应用方差公式求出、、，进而比较它们的大小关系.【小问1详解】设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩”为事件A，由表格得：从抽出的12名学生中男女生各随机选取一人，共有种组合，其中男生成绩高于女生，，，，.所以事件A有17种组合，因此；【小问2详解】由数据知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀（分）的有3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为.因此从该校高一学生中随机抽取3人，成绩优秀人数可取且,，，，所以随机变量的分布列0123数学期望.【小问3详解】男生的平均成绩为，则；女生的平均成绩为，则；由于从参加活动的男生中抽取成绩为86分的学生组成新的男生样本，所以，则；所以.19.【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）由短轴长与离心率求得得椭圆方程；（2）直线l方程为，设，直线方程代入椭圆方程，由得的范围，由韦达定理得，写出直线方程，两式相除代入后可得值，得证定值．【小问1详解】因为，所以，因为，其中，所以设，解得．所以椭圆C的方程为．【小问2详解】显然直线l的斜率存在，设直线l方程为，联立直线l与椭圆C方程，消去y得，．设，当，即时，有．直线方程为：，直线方程为：．两式相除得，，因为，所以，整理得．即点Q的纵坐标为定值．20.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）先求导后求出切线的斜率，然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程；（2）根据函数的单调性和最值分类讨论；（3）分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解.【小问1详解】，所以：切点为，又，所以：，所以：切线方程为.【小问2详解】定义域为R，，①当时，，令得，所以：单调递增区间为；令得，所以单调递减区间为；所以：在取极大值，符合题意．②当时，由，得：，，，变化情况如下表：0－0+0－减极小值增极大值减所以：在处取得极大值，所以：符合题意．③当时，由，得：，，（i）当即时，，变化情况如下表：0+0－0+增极大值减极小值增所以：在处取得极小值，不合题意．（ⅱ）当即时，在R上恒成立，所以：在R上单调递增，无极大值点．（iii）当，即时，，变化情况如下表：0+