2025北京清华附中高三10月月考数学试题及答案

高中2025北京清华附中高三10月月考数学2025.10本试卷共4页，120分．考试时长90分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.2.若复数满足，则对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（）A. B. C. D.4.已知向量，则（）A.1 B. C.0 D.5.在交通工程学中有如下定义：交通流量(辆/小时)是单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度(千米/小时)是单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度(辆/千米)是单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数，其中和的测量通常视为连续不断的数值.设某路段的和满足(其中是正数)，则随着车流密度增大，以下说法正确的是（）A.车流速度增大 B.交通流量增大C.交通流量先减小后增大 D.交通流量先增大后减小6.设正项等比数列的前项和为，且，则的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.67.若是函数图象上两个不同的点，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.8.先将函数（且）的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若方程有无数个解，则的值不能为（）A.1 B. C.2 D.9.已知函数和的定义域都为，且图象都是连续不断的，则“和都是奇函数”是“存在最大值或存在最小值”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.已知、、是的三条边且.设函数，则下列结论中正确的是（）A.对任意正数，、、能作为一个三角形的三条边B.对任意，、、都不能作为一个直角三角形的三条边C.当是钝角三角形时，有零点D.存在，使得二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是_____.12.在中内角、、所对边分别为、、，能说明“若，则是直角三角形”为假命题的一组、的值_____，_____.13.已知正方形边长为为线段的中点，若为线段上的动点，为的中点，则的最小值为_____.14.已知函数，当时，不等式的解集为_____；若0是的一个极值点，则的取值范围是_____.15.已知等差数列与等比数列都是无穷递增数列，给出下列四个结论:①不存在数列与，使得是递减数列；②存在数列与，使得是递增数列；③不存在数列与，使得同时有无穷个正项和无穷个负项；④存在数列与，使得恰好出现三个为1的项.其中正确结论的序号是_____.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知等差数列的前项和为，且.（1）求的通项公式:（2）等比数列的首项为1，公比为，在下列三个条件中选择一个，使得的每一项都是中的项.若对任意的，有，求的通项公式和前项和.条件①:;条件②:;条件③:.注:如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分:如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.17.已知函数.（1）求函数的对称中心和单调递增区间:（2）若在区间上的取值范围是，求的取值范围.18.已知函数，其中.（1）求的极大值和极小值;（2）设点，其中为的极值点，若直线与轴交于点，求的最小值.19.某自然保护区为研究某动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观察人员分别在处观测该动物种群.如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观察人员从两个观测站分别测得，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观察人员从两个观测站分别测得.(注:在同一平面内)（1）求的面积；（2）求点之间的距离.20.已知函数，其中.（1）若曲线在处的切线为轴，求的值:（2）函数的导函数为，曲线与曲线交于两点，求证:直线的斜率小于1.21.设数表是一个由0和1构成的行列的数表，且中所有数字之和不小于，所有这样的数表构成的集合记为.记为的第行各数之和为的第列各数之和为的最大值.（1）对如下数表，求的值.11000011（2）设数表，求的最小值:（3）已知为正整数，对于所有的，若，且的任意两行中最多有2列各数之和为2，求的值.

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.题号12345678910答案DDCCDBCDDC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】由题要使函数有意义，则且，所以函数的定义域为.故答案为：12.【答案】由结合正弦定理可得，因为、，所以，故，故为锐角，且，故，所以，因为，则，若，由于正弦函数在上为增函数，故，故；若，则，可得，综上所述，或.命题“若，则是直角三角形”为假命题，则，故可取，（答案不唯一）.故答案为：；（答案不唯一，只需满足即可）.13.【答案】由题可得，则的最小值为的最小值，设为d，则.故答案为：14.【答案】第一空：当时，，当时，由，得，所以，解得，所以；当时，由，得，所以，解得，所以；综上所述：不等式的解集为；第二空：当时，在上单调递减，在上单调递增，若0是的一个极值点，则是极大值，所以，解得，所以，当时，在上为常数函数，在上单调递增，故0不是的一个极值点，当时，在上单调递增，在上单调递增，若0是的一个极值点，则是极小值，所以，解得，又，所以；综上所述：所以的取值范围是.故答案为：①；②.15.【答案】因为等差数列与等比数列都是无穷递增数列，则，则，所以数列是递增数列，不存在数列与，使得是递减数列，①正确；设等差数列公差为d，等比数列公比为q，则，显然可以成立，如当时，即，所以存在数列与，使得是递增数列，②正确；由①数列是递增数列，所以最小项为，由等差数列性质，若恒成立，则由等比数列是无穷递增数列得，则一定存在，使得，则当时，，则有无穷个正项和有限个负项，所以不存在数列与，使得同时有无穷个正项和无穷个负项，③正确；因为为一次型函数增长模型，为指数型增长模型，由一次函数与指数函数图像特征可知，一次函数与指数函数至多只有两个交点，所以不存在数列与，使得恰好出现三个为1的项，④错误.故答案为：①②③三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）由题意，设等差数列的首项为，公差为.则有，所以通项公式为（2）选择条件①:.由（1）可知，若，则，显然当为偶数时，不是中的项，因此，选择条件①不符合要求；选择条件②：.等比数列的首项为1，公比为2，则，由题意，即当时，；当时，.但必须为整数，因此时成立，时不成立.因此，选择条件②不符合要求；选择条件③：.等比数列的首项为1，公比为3，则，由题意，即当时，；当时，因为任意均不是中的因子，所以为奇数，所以为偶数，所以均为整数，因此条件③符合要求.于是，故其前项和为.17.【答案】（1）函数化简：，由，，解得，所以的对称中心为，.由，可得，所以的单调递增区间为，.（2）由题意，在上的取值范围为.即：，解得：，又，则，解得，因此，的取值范围为.18.【答案】（1），令，得或，由于，则，所以当时，，当时，，所以为极大值点，为极小值点，所以函数极大值为，极小值为.（2）由（1）可知为极大值点，为极小值点，极大值为，极小值为；不妨设为极大值点，，则点，点，则直线的斜率为，所以直线AB方程为，令，得，求导得，令，得（舍去）或.所以当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，时，取得最小值为.19.【答案】（1）在中，，，则.因为，，所以由正弦定理得，所以的面积为；（2）在中，，，则，，因此，.在中，由余弦定理，因此.20.【答案】（1）函数求导，由题意，曲线在处的切线为轴，则，即，令，易知，则在上单调递增，在上单调递减，所以，即只有一个解，得；（2）曲线与的交点满足，化简得，则或即，不妨令交点，则.直线的斜率为，由上可知，所以，令，则，故，于是.21.【答案】（1）数表的行和为：，列和为：，因此.（2）由题意知，中所有数字之和不小于，即至少有8个1，要使得取到最小值，则中只有8个1，如下表：1001011001101001由上表可得的最小值为2，下面说明：①当某行某列全都是0时，则其它3行（或3列）1的个数分别为：，此时；②当某行某列只有1个1时，则其它3行（或3列）1的个数分别为：，此时；③当某行某列只有2个1时，则其它3行（或3列）1的个数分别为：，此时；由上