2025北京首师大附中高三12月月考数学试题及答案

高中2025北京首都师大附中高三12月月考数学一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.2.设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是（）A. B.C. D.3.已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在轴的负半轴上，点在抛物线上，且，则抛物线的标准方程是（）A. B. C. D.4.已知等差数列的前项和为，则（）A. B. C.8 D.95.若直线与圆相切，则（）A. B. C.3 D.26.已知圆锥的轴截面是边长为的正三角形，从该圆锥内挖去圆锥的内切球后剩余部分的体积为（）A. B. C. D.7.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中M表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，E表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16时，学习率衰减为0.48，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：）A.75 B.77 C.79 D.818.设函数，已知，，则的最小值为（）A. B. C. D.9.在无穷等差数列中，记，则“存在，使得”是“为递增数列”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.如图，正六边形的边长为，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.）11.的展开式中含的项的系数为_______．12.双曲线的渐近线方程是_____；设、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则_____.13.已知函数，若存在使得，则的最大值为_____，的一个取值为_____.14.设函数，当时，的值域为______；若的最小值为1，则的取值范围是______.15.设无穷等差数列的公差为，集合，给出下列四个结论：①当且仅当时，只有1个元素；②一定是有限集；③当只有2个元素时，这2个元素的乘积不可能为；④当时，最多有个元素，且这个元素的和为0.其中所有正确结论的序号是_____.三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）16.在中，．（1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．17.如图，在四棱锥中，平分，，，，为正三角形，．（1）求证：平面平面；（2）设为上一点，，四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．18.某社区计划组织一次公益讲座向居民普及垃圾分类知识，为掌握居民对垃圾分类知识的了解情况并评估讲座的效果，主办方从全体居民中随机抽取10位参加试讲讲座活动，让他们在试讲讲座前后分别回答一份垃圾分类知识问卷．试讲讲座前后，这10位居民答卷的正确率如下表：编号正确率1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号试讲讲座前65%60%0%100%65%75%90%85%80%60%试讲讲座后90%85%80%95%85%85%95%100%85%90%根据居民答卷的正确率可以将他们垃圾分类的知识水平分为以下三个层级：答卷正确率p垃圾分类知识水平一般良好优秀假设每位居民回答问卷的结果之间互相独立，用频率估计概率．（1）正式讲座前．从该社区的全体居民中随机抽取1人，试估计该居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的概率；（2）正式讲座前，从该社区的全体居民中随机抽取3人，这3人垃圾分类知识水平分别是“一般”、“良好”、“良好”．设随机变量X为“这3人讲座后垃圾分类知识水平达到‘优秀’、的人数”，试估计X的分布列和数学期望；（3）在未参加讲座的全部居民中再随机抽取若干人参加下一轮的公益讲座并让他们在讲座前后分别填写问卷．从讲座后的答卷中随机抽取一份，如果完成该答卷的居民的知识水平为“良好”，他在讲座前属于哪一知识水平的概率最大？（结论不要求证明）19.已知椭圆经过点.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设椭圆的左顶点为，直线与相交于两点，直线与直线相交于点.问:直线是否过定点?若过定点，求出该点坐标;若不过定点，说明理由.20.已知函数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）．①求实数的值；②求证：．21.给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列A中．（1）当时，写出所有满足的数对序列A；（2）当时，证明：；（3）当为奇数时，记的最大值为，求．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）题号12345678910答案DCCACCCBBB二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.）11.【答案】展开式的通项为，令，得，所以展开式中含的项的系数为.故答案为：-16012.【答案】在双曲线中，，，，故该双曲线的渐近线方程为；由双曲线的定义可得，即，解得，又因为，符合题意，故.故答案为：；.13.【答案】又，，所以，即的最大值为2；又，或，①当时，即，则，所以，，而，，所以，代入得，所以，又，所以，当时，可取；②时，同理，则，，而，，所以，代入得，所以，又，所以，当时，可取；综上的一个取值为：4（答案不唯一）故答案为：2；4（答案不唯一）.14.【答案】若，则，当,单调递增，所以；当,单调递减，所以.故的值域为.当时，的值域为，不符合题意；当时，在上的最小值为，不符合题意；当时，,画出的图象，如图所示：设与在上的交点横坐标为，又，当时，由图象可得无最小值；当时，由图象可得有最小值，由，可得，故可得，所以，即，化简得,解得.故答案为:;.15.【答案】①：当时，是常数列，，故，只有1个元素；但若只有1个元素，不一定，如时，，此时也只有1个元素，因此①错误；②：若不是的有理数倍，则集合可能是无限集.如取（即），集合为无限集，因此②错误；③：若只有2个元素，根据的周期性与中心对称性及等差数列的性质，这两个值必互为相反数，其乘积为负数或零，不可能为，因此③正确；④当时，，则，根据正弦函数的周期性，相当于把周期分成了份，所以最多有个不同值，但中元素之和不一定为0.如当时，依次为，依次为，此时，其元素之和为，因此④错误.故正确结论为③.故答案为：③.三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）16.【答案】（1）因为，由正弦定理可得，因为，所以，即，因为，则；（2）若选择①②，由，可得，由于已知条件未给出任意一边的长度，满足条件的三角形有无数个，并不唯一确定，不符合题意.若选择②③，由正弦定理，及，，得，所以，因为，所以，，，所以．若选择①③，由余弦定理得，及，得，解得，所以，所以．17.【答案】（1）证明：因为平分，且，，又，所以，所以，又所以，所以，，所以，因为为正三角形，所以．在中，，所以，因为，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）设点到平面的距离为，则，解得，如图，取的中点，连接，则，且，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，所以，因为平面，所以，因为，所以，又因为，所以为等边三角形，所以，且.故可以为原点所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，设平面的法向量为，则即，令，则，故为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则即，令，则，所以为平面的一个法向量，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.【答案】（1）正式讲座前，10位选取的居民中，垃圾分类知识水平为“一般”的人数为5人，所以垃圾分类知识水平位“一般”的频率为：，所以估计居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的频率为：.（2）由表中提供的数据可得：正式讲座前，垃圾分类知识水平为“一般”的人在讲座后，达到“优秀”的概率估计为：；正式讲座前，垃圾分类知识水平为“良好”的人在讲座后，达到“优秀”的概率估计为：.由题意，的值可以为：0,1,2,3且：，.所以的分布列为：0123所以.（3）从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“一般”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为；从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“良好”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为；从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“优秀”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为；从参加讲座后的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“良好”记为事件，则.因为，，.所以他在讲座前属于“一般”知识水平的概率最大.19.【答案】（1）因为椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆E的方程为，因为所以，所以离心率为.（2）直线过定点，理由如下：由可得，显然，设则有直线的方程为令，解得，则，所以直线的斜率为且，所以直线的方程为令，则所以直线过定点.20.【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）①；②证明见解析【分析】（1）对函数求导，结合a的取值范围分析可得函数的单调区间；（2）①利用导数的几何意义，结合动点到直线的最小值列等式即可求出a的值；②分和两种情况讨论，利用导数研究函数的单调性及最值，则不等式可得证.（1）函数的定义域为，因为，令，得：，令，得：，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）①由（1）知：．由，又，所以切点，由（1）可知，切点在直线的上方，所以，整理得，设，则，（也可构造）设，则在上恒成立．所以在单调递增．又，又，方程只有1解：．②依题意：要证，当时，，令，在上单调递增，所以不等式成立；当时，要证，即．设，则．设．则．当时，，所以．所以在上单调递减．所以，即．所以在上单调递减，，即当时，成立．综上：当时，在上恒成立．21.【答案】（1）依题意，当时，有或；（2）当时，因与不同时在数对序列中，故，即每个数至多出现5次.又因，所以只有对应的数可以出现5次，故.得证