2025北京五中高三（上）开学考数学试题及答案

高中2025北京五中高三（上）开学考数学一、选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（）A. B. C. D.3.小华设计了一个抽奖活动：袋中装有大小相同的2个红球、2个白球、3个黑球，从袋中随机摸出两个球，若两球的颜色相同为中奖，则该抽奖活动的中奖率为（）A. B. C. D.4.为了得到函数的图象，可以将函数的图象A.向右平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向左平移个单位5.函数的零点所在区间是（）A. B. C. D.6.已知．则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa=1N/m2），大气压强（Pa）随海拔高度（m）的变化规律是（m-1），是海平面大气压强.已知在某高山两处测得的大气压强分别为，，那么两处的海拔高度的差约为（）（参考数据：）A.550m B.1818m C.5500m D.8732m8.已知函数的最小正周期为，，且函数在区间上具有单调性，则的最小值为（）A. B. C. D.9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则（）A.2 B. C.1 D.-110.已知函数若，，使成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题11.函数的定义域是_________．12.已知，且，．写出满足条件的一组，的值________，________．13.已知，则________，________．14.已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是_____．15.华人数学家李天岩和美因数学家约克给出了“混沌的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用．在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在上的函数，对于，令，若存在正整数使得，且当时，，则称是的一个周期为的周期点.给出下列四个结论：①若，则存在唯一一个周期为1的周期点；②若，则存在周期为2的周期点；③若，则存在周期为3的周期点；④若，则对任意正整数，都不是的周期为的周期点．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题16.如图，在六面体中，D为的中点，四边形为矩形，且，，．（1）求证：平面；（2）已知，求平面与平面的夹角的余弦值．17.已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题．（1）求的值；（2）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围．条件①：；条件②：是的一个零点；条件③：．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传统艺术活动，从第1天至第5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共5项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验，为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如表：传统艺术活动第1天第2天第3天第4天第5天书画古琴汉服戏曲面塑高一体验人数8045552045高二体验人数4060608040高三体验人数1550407530（1）从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率；（2）利用频率估计概率，从高一、高二、高三年级中各随机选取1名学生，设这三名学生中参加戏曲体验的人数为，求的分布列及数学期望；（3）为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取名学生进行访谈，设这3名学生均选择了第天传统艺术活动的概率为，当取得最大值时，写出的值，及对应的值．（直接写出答案即可）19.已知椭圆上的点到左右两焦点的距离之和为，离心率为．（1）求椭圆的方程：（2）过右焦点的直线交椭圆于两点．若轴上一点满足，求直线斜率的值．20.已知函数，，在处取得极大值1.（1）求和的值；（2）当时，曲线在曲线的上方，求实数的取值范围.（3）设，证明：存在两条与曲线和都相切的直线.21.已知集合（，），若存在数阵满足：①；②．则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”．（1）已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值；（2）若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个；（3）判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由．

参考答案一、选择题1.【答案】D【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解.【详解】由，则，集合，故故选：D.2.【答案】A【分析】根据任意角三角函数的定义和二倍角公式即可求得结果.【详解】由题意，因为角的终边与单位圆交于点，所以.根据二倍角公式可得.故答案为：A.3.【答案】B【分析】求出从袋子中随机摸出两个球的情况数和两球的颜色相同的情况数，相除得到答案.【详解】袋子中共有7个球，随机摸出两个球，共有种情况，其中两球的颜色相同的情况为2红，2白或2黑，共有种情况，故该抽奖活动的中奖率为.故选：B4.【答案】D【详解】试题分析：因为，所以将函数的图象向左平移个单位，选D.考点：三角函数图像变换5.【答案】B【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，所以在定义域上单调递减，显然，所以根据零点存在性定理可知的零点位于.故选：B6.【答案】A【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】当时，则，当且仅当时取等，所以充分性成立，取，满足，但，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.7.【答案】C【分析】根据以及指数的运算即可求解.【详解】在某高山两处海拔高度为，所以，所以，所以（m）.故选：C8.【答案】B【分析】整体代换法求得函数对称中心的横坐标，结合题设条件，得出，进而求得的最小值．【详解】由题意，函数，又因为最小正周期为，所以，所以令，解得则函数的对称中心的横坐标为，又因为，函数关于对称，函数在上单调，所以，当时，，即的最小值为.故选：B.9.【答案】C【分析】根据给定条件，求出当时的解析式，再求出及目标值.【详解】当时，，令，则，，因此当时，，由函数是上的奇函数，，得，则，解得，所以.故选：C10.【答案】A【分析】先求得的取值范围为.求得，对进行分类讨论，由的取值范围包含来求得的取值范围.【详解】当时，函数是减函数，，所以；当时，，，①若，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增；所以，所以，即，解得；②若，则，在上单调递增，此时值域为，符合题意.③当时，的值域为，不合题意.综上所述，实数的取值范围为.故选：A.二、填空题11.【答案】【分析】根据偶次根式被开方数大于等于零，和对数的真数大于零即可求出答案．【详解】解：由题意得，解得，∴函数的定义域为，故答案为：．12.【答案】①.；（答案不唯一）②..（答案不唯一）【分析】根据题设条件可判断，继而得到，结合，可得的值，接着选择的值.【详解】因且，则，故，又，故或，而且且.故答案为：；.（答案不唯一）13.【答案】①.1②.16【分析】令可求得；分别令和，可求得的值.【详解】在中，令可得；再令，可得a0+再令，可得a0−两式相减，得：2a故有.故答案为：1；1614.【答案】【分析】本题可以求并讨论其在上的正负，根据在上的单调性判断函数的值域，从而求出在上没有零点时的取值范围.【详解】由题得，令，即，解得或.根据与大小进行分类讨论如下：(1)当，即时，在区间上，，所以在上单调递增，又，所以在上没有零点，满足条件；(2)当，即时，在区间上，，即单调递减，在上，，即单调递增，所以在处取得极小值，也即是区间上的最小值.因为在上没有零点，所以，又，于是，解得，结合，此时.综上所述.故答案为：.15.【答案】①③④【分析】根据周期点的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对①：，当时，，解得，故存在唯一一个周期为1的周期点；对②：，当时，，解得，但当时，，不满足题意，故，不存在周期为2的周期点；对③：，不妨取，则，，显然存在周期为3的周期点；对④：，故对任意正整数，都不是的周期为的周期点.综上所述，正确的是：①③④.故答案为：①③④.三、解答题16.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）由矩形得，结合条件，利用线线垂直证线面垂直即可；（2）根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得.【小问1详解】因四边形为矩形，则，因，平面，故平面.【小问2详解】由（1）平面，平面，则得，又，故可以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系.因，，则，又D为的中点，则得，于是，设平面的法向量为，则，故可取；又，设平面的法向量为，则，故可取，设平面与平面的夹角为，则.17.【答案】（1）答案见解析（2）【分析】（1）根据选择的条件代入计算，结合角的范围即可利用特殊角的三角函数值求解，（2）由和差角公式以及辅助角公式化简，由整体法即可代入求解.【小问1详解】选条件①：无意义，所以选条件①时不存在，故不能选①，选条件②．由题设，所以．因为，所以，所以．所以．选条件③，由题设．整理得．以下同选条件②．【小问2详解】由（1）因为，所以．于是，当且仅当，即时，取得最大值；当且仅当，即时，取得最小值．又，即时，．且当时，单调递增，所以曲线与直线恰有一个公共点，则或的取值范围是．18.【答案】（1）（2）分布列答案见解析，（3）【分析】（1）结合古典概型可直接求解；（2）分别求出三个年级中任选一名体验的学生参加体验戏曲的概率，分析可知随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；（3）结合相互独立事件概率公式求出，即可求解.【小问1详解】解：由题意知，样本中学生共有人，其中体验戏曲活动的学生共人，设事件为“从样本学生中随机选取1名学生，这名学生体验戏曲活动”，故所求概率为.【小问2详解】解：从高一、高二、高三年级的体验学生中各随机选取1名学生，抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为，抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为，抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为，由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，所以，，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：因此，.【小问3详解】解：由题可知，，，，，，故，所以当取得最大值时，.19.【答案】（1）（2）或或.【分析】（1）利用椭圆的定义求出，根据离心率，求出，可得，即可求椭圆的方程；（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理、中点坐标公式，可得的中点坐标，分类讨论，利用，可得方程，即可求直线斜率的值．【小问1详解】，，，椭圆的标准方程为【小问2详解】已知，设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，化简得：，因为该直线过的定点在椭圆内部，则其与椭圆必有两交点，，，的中点坐标为，时，满足条件，此时的中垂线为；当时，，得到MG所在的直线与直线l垂直，，整理得，解得或所以或或.20.【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）求得导函数，由及求解；（2）由在上恒成立，用分离参数法转化为求函数最值；（3）假设存在与曲线和曲线都相切的直线，设切点坐标分别为，，由导数的几何意义求得，首先求得的关系，消元得出关于的方程，引入新函数，证明新函数有两个零点即可证．【详解】解：（1）.由已知，，解得，.经检验，满足题意.所以，.（2），..依题意对任意的恒成立.所以对任意的恒成立.令，，，令，，所以，令，所以.因为当时，，单调递减；当时，，单调递增.当时，函数的最小值为，且.所以，即.在上单调递增，所以，所以，故实数的取值范围为.（3）假设存在与曲线和曲线都相切的直线，设切点坐标分别为，.因为，所以的方程为.因为，所以的方程为.所以，消去得.……①.令，，所以，所以，在区间上，，是减函数；在区间上，，是增函数.所以，当时，函数的最小值为.又因为，，所以函数在上有两个零点，即方程①有两个不等的正实根，由方程可得有两个不同的值，所以有两组不同的解，直线有两条，所以存在两条与曲线和都相切的直线.21.【答案】（1），，，（2）证明见解析（3）是“好集合”，满足的“好数阵”有，，，；不是“好集合”，证明见解析【分析】（1）直接根据定义解出未知量的值；（2）可构造恰当的映射，以证明结论；（3）第三问可通过分类讨论求解问题.【小问1详解】由“好数阵”的定义，知，，，，故，，，，进一步得到，.从而，，，.【小问2详解】如果是一个“好数阵”，则，.从而，.故也是一个“好数阵”.由于是偶数，故，从而.这就说明两数阵和的第1行第2列的数不相等，从而是不同的数阵