2025北京延庆区高三9月月考数学试题及答案

高中2025北京延庆高三9月月考数学2025.09本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.2.如果，那么（）A. B.C. D.3.下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（）A. B.C. D.4.已知函数，则的值为（）A. B. C.2 D.45.已知，则下列大小关系不正确的是（）A. B.C. D.6.已知函数的导函数的图象如下图所示，则下列结论中正确的是（）A.函数有2个极值点B.，使得恒成立C.函数在区间上单调递增D.函数在区间上没有零点7.已知函数，则不等式的解集是（）A. B. C. D.8.已知函数，，其中，，那么“对任意的实数都有”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.某水域每立方米中微生物含量约为，另一水域每立方米中同种微生物含量约为.则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：）A.0.3 B.10 C. D.10.已知函数，若存在，使得，则的最大值为（）A.9 B.10 C.11 D.12第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是___________.12.已知函数，则其零点为__________，__________.13.写出使得命题“”是假命题的一个实数的值__________.14.已知函数，当时，函数的单调递增区间为__________；若函数的最大值为2，则的取值范围是__________.15.已知函数，对于实数，已知，设.给出下列四个结论：①；②当时，有；③当时，有；④当时，有.其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间及极值；（3）直接写出函数的值域，不要求计算过程.17.已知函数，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.（1）求的值；（2）求在区间上的最大值和最小值.条件①：；条件②：是奇函数；条件③：是的一个零点.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18.近年来，中国机器人科技水平在政策支持､技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升.国内很多科技公司致力于服务机器人的发展与创新，现抽取了由甲､乙､丙､丁四个公司研发的14款使用率较高的智能送餐机器人，并对这14款机器人的送餐失误率进行了测试，获得数据如下表：公司甲乙丙丁机器人1234567891011121314失误率1.3%1.8%2.9%1.5%1.9%2.9%0.7%0.9%1.6%2.4%0.8%1.6%2.4%2.8%（1）从表中提供的机器人中任取一个，求该机器人送餐失误率低于的概率；（2）从表中提供的失误率低于的送餐机器人中任取3个，用随机变量表示其中失误率低于的送餐机器人个数，求随机变量的分布列和数学期望；（3）已知某餐厅使用乙或丙公司中的某个送餐机器人，经查证，该送餐机器人送餐失误，则该送餐机器人来自哪个公司的可能性更大？（结论不要求证明）19.如图所示，公园里有一块边长为2的等边三角形草坪（记为），计划沿图中线段铺设灌溉水管，在上，在上，设.（1）若，求的面积；（2）若图中把草坪分成面积相等的两部分，求关于的函数关系及的最小值.20.已知函数.（1）若曲线在处的切线方程为，求的值；（2）证明：当时，曲线不存在斜率小于零的切线；（3）若函数存在极值，求的取值范围.21.已知数列，定义：.从中选取第项､第项､､第项，则称数列为的长度为的子列.若为的一个排列，则称数列具有性质.（1）已知，若数列是数列的长度为5的子列，写出的最大值和最小值；（2）已知数列具有性质，且存在唯一的长度为3的子列，使得，求的最小值；（3）已知数列具有性质，且为偶数，求的最大值，并直接写出当取得最大值时数列的个数.

参考答案第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.12345678910BADABBCCDC第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】且【分析】根据具体函数的定义域求解方法即可得出结果.【详解】根据题意可得如下不等式组，解得且.答案为：且.12.【答案】①.②.【分析】根据对数函数的运算和对数函数的导数进行求解即可.【详解】令，则，解得.对函数求导得.故答案为：①②.13.【答案】3（答案不唯一，满足的都可以）【分析】由全称量词命题为真求出，再取否定即可.【详解】由，得，当且仅当时取等号，则命题“”为真命题，，因此命题“”是假命题，，所以所求实数的一个值为3.故答案为：314.【答案】①.②.【分析】当时，通过利用导数研究的单调性以及分段函数的性质，找出的单调递增区间即可.利用导数研究单调性，再通过题目中的条件函数的最大值为2，对分情况讨论即可求得参数的范围.【详解】（1）当时，，当时，此时，此时在上单调递增，当时，，解得，所以当时，，当时，，所以时，函数的单调递增区间为.（2）因为时，恒成立，故在上的最大值为.设，则，故或时，，时，，故在上为减函数，在为增函数，且的极大值为，令，则，故，故，故当时，，且在上的最大值为.若，则由的单调性可得在为减函数，故，不合题意，舍；若，则由的单调性可得在上为减函数，在为增函数，在上为减函数，且，而，故，故，不合题意，舍；若，同理可得，而，故，符合；当，由的单调性可得在为减函数，故，符合；综上，.故答案为：，15.【答案】①②③④【分析】利用导数证得不等式判断①；设三点都在函数的图象上，且三点的横坐标为，记点关于原点的对称点为点，则，利用数形结合判断②③④.【详解】函数定义域为，令，求导得，当时，；当时，，函数在上递增，在上递减，，即，而，则，显然等号不同时成立，因此，，①正确；设三点都在函数的图象上，其横坐标依次为，记点关于原点的对称点为，则，，其中分别表示直线的斜率，如图所示，当时，，即；如图所示，当时，，即；如图所示，当时，，即，综上得，②③④正确.故答案为：①②③④三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）（2）答案见解析（3）【分析】（1）利用导数的几何意义求在点处的切线方程.（2）根据函数的单调性与导数的关系求函数的单调区间，再根据函数的单调性分析函数的极值.（3）结合函数的单调性，分析函数的符号，可直接得到函数的值域.【小问1详解】因为，所以.又，，所以曲线在处的切线方程为：，即.【小问2详解】由；由或.所以的递减区间为和，递增区间为.函数的极小值为，极大值为.【小问3详解】因为函数在和上单调递减，在上单调递增，且恒成立，时，时，所以函数的值域为.17.【答案】（1）选择条件①或③，（2）最大值，最小值【分析】（1）根据正弦函数图像的性质，利用整体代入法求；（2）先用积化和差公式将函数解析式变形，再考虑的单调性，从而求出在区间上的最值【小问1详解】若选择条件①..所以，.故.因为，所以只有当时满足条件，故.若选择条件②.定义域为，因是奇函数，所以对，有.因此，，因对恒成立，故有.因而，应是函数的一条对称轴，故，.因为，没有满足条件，故不存在.若选择条件③.因为是的一个零点，所以，即.因此，即，.因为，所以只有当时满足条件，故.故选择条件①或③，.【小问2详解】，用积化和差公式得，.故.当时，即时，函数单调递增，即函数单调递减.即当时，在区间上单调递减.又因为图象的一条对称轴为，所以在区间上单调递增.故在区间上，函数在上单调递减，上单调递增.，，.因此，函数在区间上的最大值为，最小值为.18.【答案】（1）（2）分布列见解析；（3）来自乙公司的可能性更大【分析】（1）从表中统计送餐失误率低于的机器人的数量，再由古典概型概率公式求解即可；（2）议题得的取值可能为，再根据超几何分布概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，再计算数学期望即可；（3）设事件，为机器人分别来自乙，丙公司，事件为送餐失误，先由全概率公式求出乙、丙公司研发的机器人送餐失误的概率，，再由贝叶斯公式，分别求出送餐失误的机器人来自乙、丙公司的概率，，比较结果即得.【小问1详解】表中提供的这14款机器人中送餐失误率低于有款，所以从这14款机器人中任取一个，该机器人送餐失误率低于的概率为；【小问2详解】表中提供的失误率低于的送餐机器人有款，其中失误率低于的送餐机器人有3款，从9个中任取3个，所以随机变量的取值为，所以，，，.随机变量的分布列为0123数学期望为；【小问3详解】设事件为“机器人来自乙公司”，事件为“机器人来自丙公司”，事件为“送餐失误”.则，，因乙公司研发了第三款机器人，每个机器人被选中的概率为，且第三款机器人送餐的失误率分别为1.5%，1.9%，2.9%，故乙公司研发的机器人送餐的失误率为：又因丙公司研发了第四款机器人，每个机器人被选中的概率为，且第四款机器人送餐的失误率分别为0.7%，0.9%，1.6%，2.4%，故丙公司研发的机器人送餐的失误率为：.由全概率公式可知送餐失误的概率为：.根据贝叶斯公式，则送餐失误的机器人来自乙公司的概率为：；送餐失误的机器人来自丙公司的概率为：.因为，所以来自乙公司的可能性更大.19.【答案】（1）（2），，的最小值为.【分析】（1）根据余弦定理求，再根据正弦定理，即可求解；（2）首先根据三角形面积公式求，再根据余弦定理表示函数关系，结合基本不等式，即可求解.【小问1详解】由余弦定理可知，,条件，所以，则，因为，，则，，所以根据正弦定理，，则,所以；【小问2详解】，所以，即，得，中，根据余弦定理,所以，，所以，当时，即时等号成立，所以，，的最小值为.20.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【分析】（1）求导，根据切线方程的斜率和切点坐标列方程求解即可；（2）求导，证明导数大于等于0即可；（3）求导，然后分离参数，结合函数图象，根据极值的定义，判断导数零点两侧的符号，从而得出的取值范围.【小问1详解】函数的定义域为，，因为曲线在处的切线方程为，故切点为，因为，故切点在曲线上，因为，所以，解得，故的值为；【小问2详解】当时，所以，令，，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数在处有最小值，即，所以曲线在定义域内恒成立，故时，曲线不存在斜率小于零的切线；【小问3详解】当时，函数存在极值；当时，若函数存在极值，则有解，即，当，即时，关于的方程无解，当，即时，得，令，，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数在处有极小值为，因为时，，当时，，故函数大致图象如下：所以要使有解，则或，下面，讨论或，函数是否存在极值，令，，当时，在上恒成立，所以在上单调递增，即在上单调递增，因为时，，所以，即，，所以当时，函数存在极值，当时，因为时，，时，，所以在上单调递减，上单调递增，所以在处有最小值，因为，，所以当时，，故函数存在极值，当时，，故函数不存在极值；综上，若函数存在极值，求的取值范围为.21.【答案】（1）最大值9，最小值5（2）最小值6（3）最大值，这样的数列有个【分析】（1）定义数列的极端项为：中间的指不小于左右，或不大于左右的项，第一项，最后一项都是，分析可得任意数列的子列的值不超过该数列本身的值.对于具有性质的数列，因此其长度为的子列的值不小于.然后计算数列的值，进一步构造子列使其值最大和最小；（2）根据已知条件分析可得该数列只有三个极端项，除去两端的极端项，中间只有一个极端项，这个极端项必为最大项6或最小项1，然后分别研究其最小值，最后比较得出总体的最小值；（3）分析可知对于数列,其值时必为交替数列，由此化简的表达式，并得出其最大值及取得最大值的条件，进而利用排列数和乘法计数原理得出当取得最大值时数列的个数.【小问1详解】根据绝对值的性质可得当为单调递增或单调递减数列时，.定义数列的极端项为：中间的指不小于左右，或不大于左右的项，第一项，最后一项都是极端项.设数列A：中的极端项依次为，记，则，其任意的子列,的每个极端项都必然在数列A的某两个相邻极端项之间，故其子列的相邻极端项的差的绝对值的和不超过数列的相邻极端项的绝对值的和，即.对于具有性质的数列，是1，2，…的一个排列，任意相邻两项的差的绝对值都大于等于1，因此其长度为的子列的值不小于.​数列，.子序列，，是的最大值，子序列，，也