2024-2025学年广东省深圳第七高级中学高一（下）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年广东省深圳第七高级中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若复数z满足z•（2﹣i）＝i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为（）A．25 B．25i C．−2．（5分）已知|a→|＝5，|b→|＝4，a→•b→=−A．π3 B．2π3 C．π63．（5分）已知a→=（3，4），b→=（t，1），（a→A．2 B．52 C．1 D．4．（5分）已知|a→|=2，且a→A．12a→ B．12b→5．（5分）已知向量e1→，e2→是平面上两个不共线的单位向量，且AB→A．A、B、C三点共线 B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线6．（5分）在△ABC中，sin2AtanB＝sin2BtanA，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形7．（5分）已知矩形ABCD的长AB＝4，宽BC＝3．点P在线段BD上运动（不与B、D两点重合），则PC→A．（﹣16，9） B．（﹣9，16） C．[0，9） D．（﹣16，0]8．（5分）设a＝cos212°﹣sin212°，b=2tan12°1−tanA．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列命题中正确的是（）A．|aB．若a→，b→满足|a→|＞|C．若a→⋅bD．若△ABC是等边三角形，则〈（多选）10．（6分）有四种变换，其中能使y＝sinx的图象变为y＝sin（2x+πA．向左平移π4个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的1B．向左平移π8个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的1C．各点横坐标缩短为原来的12，再向左平移π4D．各点横坐标缩短为原来的12，再向左平移π（多选）11．（6分）《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边a，b，c，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上．余四约之，为实：一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=14[c2a2−(c2+a2−b22A．△ABC的周长为10+27B．△ABC三个内角A，B，C满足2C＝A+B C．△ABC外接圆的直径为421D．△ABC的中线CD的长为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）复数z=2−i1+2i的共轭复数为z，则z13．（5分）已知点O（0，0），向旦OA→=(2，3)，OB→=(6，−3)，点P是线段AB14．（5分）圣•索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣•索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣•索菲亚教堂的高度CD约为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知复数z＝m2+m﹣2+（m﹣1）i（m∈R）．（1）若z为纯虚数，求实数m的值；（2）若z在复平面内对应的点在直线y=13x16．（15分）如图，在菱形ABCD中，BE→（1）若EF→=xAB→+y（2）若|AB→|＝6，∠BAD＝60°，求AC17．（15分）a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，已知5acosA=bcosC+ccosB（1）求cosA；（2）若a=13，b=5，求△18．（17分）已知函数f(x)=33（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若x∈[−π6，π3（3）若f（x）＝2且x∈[0，π6]19．（17分）定义函数f（x）＝msinx+ncosx的“源向量”为OM→=（m，n），非零向量OM→=（m，n）的“伴随函数”为f（x）＝msinx+ncos（1）若向量OM→的“伴随函数”为f(x)=2sin(x+π6（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若函数h（x）的“源向量”为OM→=（0，1），且已知a＝8，h（A）（ⅰ）求△ABC周长的最大值；（ⅱ）求|AB→

2024-2025学年广东省深圳第七高级中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案ABBCCDAA二．多选题（共3小题）题号91011答案ADADABC一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．【答案】A【解答】解：由z•（2﹣i）＝i，得z=i则复数z的虚部为25故选：A．2．【答案】B【解答】解：cos＜a∴＜a故选：B．3．【答案】B【解答】解：根据题意，a→=（3，4），b→=（t，1），则若（a→−b→）⊥a→，则有（a→−则b→=（7，1），则|b→|=故选：B．4．【答案】C【解答】解：因为向量b→在向量a→上的投影向量为：故选：C．5．【答案】C【解答】解：AC→则A、C、D三点共线．故选：C．6．【答案】D【解答】解：∵sin2AtanB＝sin2BtanA，∴sin2AsinBcosA＝cosBsin2BsinA，∵A，B为三角形内角，sinAsinB≠0，∴可得：sinAcosA＝sinBcosB，可得sin2A＝sin2B，∴可得：2A＝2B，或2A＝π﹣2B，即：A＝B，或A+B=π∴△ABC是等腰或直角三角形．故选：D．7．【答案】A【解答】解：由题意得，点P在线段BD上，设BP→=nBD→以A为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，则A（0，0），B（4，0），C（4，3），D（0，3），则BD→由AP→故PC→所以PC→由于n∈（0，1），所以PC→故选：A．8．【答案】A【解答】解：∵a＝cos212°﹣sin212°＝cos24°，b=2tan12°1−tanc=1−cos48°2=∴故a、b、c的大小关系为c＜b＜a．故选：A．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．【答案】AD【解答】解：|a→+b→若a→，b→满足|a→|＞|若a→⋅b→=a→⋅c→，则若△ABC是等边三角形，根据平面向量夹角的定义可得〈AB→，故选：AD．10．【答案】AD【解答】解：把y＝sinx的图象向左平移π4个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的12，可得函数y＝sin（2x+π把y＝sinx的图象向左平移π8个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的12，可得函数y＝sin（2x+π把y＝sinx的图象上各点横坐标缩短为原来的12，再向左平移π4个单位长度，可得函数y＝sin（2x+π把y＝sinx的图象上各点横坐标缩短为原来的12，再向左平移π8个单位长度，可得函数y＝sin（2x+π故选：AD．11．【答案】ABC【解答】解：由sinA：sinB：sinC=2：3：7根据正弦定理有a：b：c＝2：3：7，所以设a＝2k，b＝3k，c=7又S=63所以有14解得k＝2，所以a＝4，b＝6，c=27∴△ABC的周长为10+27，故A正确；在△ABC中，由余弦定理有cosC=4所以C=π3，故由正弦定理有外接圆直径2R=c故C正确；在△ABC中，由余弦定理有cosA=(2在△ACD中，由余弦定理有CD∴CD=19，故D故选：ABC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．【答案】i．【解答】解：z=2−i所以z=i故答案为：i．13．【答案】(143，−1)【解答】解：设点P的坐标为（x，y），当AP→=12PB所以32所以32x=3+23当AP→=2PB→时，所以3（x，y）＝2（6，﹣3）+（2，3），所以3x=12+23y=−6+3，得x=所以点P的坐标为(143，−1)故答案为：(143，−1)14．【答案】54m【解答】解：由题可得在直角△ABM中，∠AMB＝45°，|AB|＝36，所以|AM|=362在△AMC中，∠AMC＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∠MAC＝15°+45°＝60°，所以∠ACM＝180°﹣75°﹣60°＝45°，所以由正弦定理可得|AM|sin45°所以|CM|=36则在直角△CDM中，|CD|＝|CM|•sin60°＝54，即圣•索菲亚教堂的高度约为54m．故答案为：54m．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．【答案】（1）﹣2；（2）0．【解答】解：（1）若z为纯虚数，则m2+m−2=0m−1≠0（2）由题意可得m−1=1解得m＝1，所以z＝0，所以|z|＝0．16．【答案】（1）﹣1；（2）﹣9．【解答】解：（1）因为在菱形ABCD中，BE→故EF→故x=−23，y=12（2）显然AC→所以AC=−23因为菱形ABCD，且|AB→|＝6，∠BAD＝60°，故|AD→所以AB→故①式=−2故AC→17．【答案】（1）55【解答】解：（1）因为5acosA=bcosC+ccosB所以由正弦定理得：5sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB即5sinAcosA=sin(B+C)=sinA又因为sinA≠0，所以cosA=5（2）由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，即13=5+c解得c＝4或c＝﹣2（舍去），因为cosA=55，且A∈（0，所以sinA=1−si所以△ABC的面积S=118．【答案】（1）最小正周期为π；（2）[−3（3）23【解答】解：（1）由题意可得：f(x)=3=3所以函数f（x）的最小正周期为π．（2）因为−π6≤x≤可得−1所以函数f（x）的值域为[−3（3）因为0≤x≤π6，则由f（x）＝2可得sin(2x+π6)=23所以sin2x=sin[(2x+=2所以f(x−π19．【答案】（1）(3（2）（i）85+8（【解答】解