2026北师大版数学八年级下册第5章分式与分式方程3　分式方程第2课时　分式方程的解法教案

第2课时分式方程的解法教师备课素材示例●复习导入活动内容：1．eq\f(1,x2－9)与eq\f(1,x2－3x)的最简公分母是__x(x＋3)(x－3)__．2．你会解一元一次方程eq\f(2x,5)＋2＝eq\f(x－1,2)吗？步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1.3．方程eq\f(100,20＋v)＝eq\f(60,20－v)又该如何求解呢？【教学与建议】教学：复习确定最简公分母和一元一次方程的解法，为过渡到分式方程去分母做铺垫．建议：找学生板演，着重复习检查学生去分母的步骤的掌握情况．●类比导入解方程：eq\f(x－1,3)＝eq\f(2,5).(同学们动手操作，解得x＝eq\f(11,5))解方程的基本思路：eq\x(含有分母的方程)eq\o(→,\s\up7(去分母),\s\do5(转化))eq\x(不含分母的方程)提问：(1)这是什么方程？(2)有什么特点？(3)解这个方程的基本步骤是什么？前面我们学过分式，如果将方程eq\f(x－1,3)＝eq\f(2,5)中的分母3换成x，那方程会变成怎样的呢？(要求学生书写：eq\f(x－1,x)＝eq\f(2,5))所得到的方程eq\f(x－1,x)＝eq\f(2,5)与eq\f(x－1,3)＝eq\f(2,5)比较，在分母上有什么不同？你会怎样去解这个方程呢？解分式方程的基本思路eq\o(→,\s\up7(去分母),\s\do5(转化))eq\x(整式方程)【教学与建议】教学：从方程的解法去渗透方程及解方程的思想，通过形式的变化引申类比分式方程．建议：教学主要以学生活动为主，老师只要做适当的辅助．命题角度1分式方程参数问题求方程中的参数问题，直接将方程的根代入方程，得到一个关于参数的方程．【例1】关于x的分式方程eq\f(m－3,x－1)＝1的解为x＝2，则常数m的值为(C)A．2B．3C．4D．5【例2】关于x的分式方程eq\f(x,x－1)＋eq\f(a,1－x)＝2的解为x＝0，则a＝__2__．命题角度2解分式方程解分式方程要注意：(1)解分式方程是把分式方程转化为整式方程求解；(2)解分式方程一定要注意验根．【例3】解分式方程eq\f(x,2x－1)＋eq\f(2,1－2x)＝3时，去分母化为一元一次方程，正确的是(C)A．x＋2＝3B．x－2＝3C．x－2＝3(2x－1)D．x＋2＝3(2x－1)【例4】方程eq\f(x,x－1)＝eq\f(x－1,x＋2)的解是__x＝eq\f(1,4)__．命题角度3根据分式方程有增根求字母的值分式方程有增根问题可按如下步骤进行：(1)让最简公分母为0，确定出增根；(2)化分式方程为整式方程；(3)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【例5】若关于x的方程eq\f(3x,x－2)－1＝eq\f(m＋3,x－2)有增根，则m的值是(A)A．3B．2C．1D．－1【例6】关于x的分式方程eq\f(m,x－2)－eq\f(3,2－x)＝1有增根，则m＝__－3__．命题角度4由分式方程的解确定字母的取值范围先解分式方程，然后再依据解的取值范围建立关于未知字母的不等式，从而求出未知字母的取值范围，注意分母不为零．【例7】已知关于x的分式方程eq\f(m－2,x＋1)＝1的解是负数，则m的取值范围是(D)A．m≤3B．m≤3且m≠2C．m<3D．m<3且m≠2【例8】若关于x的分式方程eq\f(x＋m,4－x2)＋eq\f(x,x－2)＝1无解，则m的值是(A)A．m＝2或m＝6B．m＝2C．m＝6D．m＝2或m＝－6高效课堂教学设计1．能通过观察类比的方法探索分式方程的解法，体会解分式方程的必要步骤．2．理解并掌握分式方程产生增根的原因，并掌握解分式方程中验根的方法．▲重点熟练掌握解分式方程的方法．▲难点明确分式方程验根的必要性，探讨分式方程的增根问题．◆活动1创设情境导入新课(课件)1．分式方程是指__分母中含有未知数的方程__．2．下列关于x，y的方程：①eq\f(1,x－1)＝eq\f(2,x)；②eq\f(4x－5,2)＝eq\f(x－1,3)；③eq\f(y,a)－eq\f(y－b,b)＝2(a，b为已知数)；④eq\f(4,x－1)＝eq\f(3,y＋2)，分式方程有__①④__．(填序号)3．如何解eq\f(2x,3)－1＝eq\f(x＋1,4).解：去分母，得8x－12＝3(x＋1).去括号，得8x－12＝3x＋3.移项，得8x－3x＝3＋12.合并同类项，得5x＝15.系数化为1，得x＝3.◆活动2实践探究交流新知【探究1】解简单的分式方程【例1】解方程：eq\f(1,x－2)＝eq\f(3,x).议一议：1．这是一个什么样的方程？__分母中含有未知数，是分式方程__．2．方程中含有分母怎么办？__去分母，乘最简公分母__．3．最简公分母是什么？__x(x－2)__．解：方程两边都乘x(x－2)，得x＝3(x－2).解这个方程，得x＝3.检验：将x＝3代入原方程，得左边＝1，右边＝1，左边＝右边，所以，x＝3是原方程的根．【探究2】解稍复杂的分式方程【例2】解方程：eq\f(1－x,x－2)＝eq\f(1,2－x)－2.1．去分母时方程的两边同乘什么？x－2还是2－x，还是(x－2)(2－x)?2．汇总出最佳解法，交流你在解方程中碰到的疑惑．解：方程两边都乘x－2，得1－x＝－1－2(x－2).解这个方程，得x＝2.议一议：1.这个分式方程的解正确吗？__当x＝2时，原方程分母等于0，原方程无意义__．2．为什么会出现这样的结果？__去分母的时候，方程两边所乘最简公分母(x－2)恰巧为0__．【归纳】增根定义：在这里，x＝2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根．强调：因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验．通常只需要检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就可以了．解分式方程的一般步骤：◆活动3开放训练应用举例【例1】若方程eq\f(3,x－2)＝eq\f(a,x)＋eq\f(4,x(x－2))有增根，则增根可能为()A．0B．2C．0或2D．1【方法指导】∵最简公分母是x(x－2)，方程有增根，则x(x－2)＝0，∴x＝0或x＝2.去分母，得3x＝a(x－2)＋4，当x＝0时，解得a＝2；当x＝2时，6＝4不成立，∴增根只能为x＝0，故选A.答案：A【例2】eq\f(5,x)＝eq\f(7,x－2)；(2)eq\f(1,x－2)＝eq\f(1－x,2－x)－3.【方法指导】分式方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，注意验根．解：(1)方程两边都乘x(x－2)，得5(x－2)＝7x.解这个方程，得x＝－5.经检验，x＝－5是原方程的根；(2)方程两边都乘最简公分母(x－2)，得1＝x－1－3(x－2).解这个方程，得x＝2.经检验，x＝2是原方程的增根，原方程无解．◆活动4随堂练习1．要把分式方程eq\f(4,3x－6)＝eq\f(5,3x)化为整式方程，方程两边需同时乘最简公分母(D)A．3xB．3x－4C．3x(2x－4)D．3x(x－2)2．如果关于x的分式方程eq\f(2,x－3)＝1－eq\f(m,x－3)有增根，那么m的值为(B)A．－3B．－2C．－1D．33．分式方程eq\f(x,x－1)－1＝eq\f(3,(x－1)(x＋2))的解为__无解__．4．课本P145随堂练习◆活动5课堂小结与作业【学生活动】这节课你有什么收获？怎样求分式方程的根？求出分式方程的根后，一定要把这个根代入分式方程中进行检验，如果原分式方程分母为0，那么是增根．【教学说明】通过学生的回顾与反思，强化学生对解分式方程的理解，加深对类比数学思想的理解．【作业】课本P14