甘肃省永昌四中2024-2025学年高三开学摸底考试-数学试题试卷含解析

甘肃省永昌四中2024-2025学年高三开学摸底考试•数学试题试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，在平面四边形A8CQ中，满足44=4C,CO=A。，且A/3+AD=10,40=8,沿着80把ABD折起,

使点4到达点尸的位置，且使。。=2,则三棱锥P-3C。体积的最大值为（)

2.已知集合4={和2-2工—3<0}8={耳^<2},则Ap|8=()

A.(1,3)B.(1,3]C.[-1,2)D.(-1,2)

3.已知角。的终边经过点(3,T),则sin。+—^=

cosa

137

A.—B.—

515

3713

C.—D.—

2015

4.己知定义在[1,+oc)上的函数/(x)满足/(3x)=3/(x),且当时，/(x)=l-|x-2|,则方程

=/(2019)的最小实根的值为()

A.168B.249C.411D.561

5.如图所不，止方体的棱A8,42的中点分别为E,F,则直线E/与平面A4R。所成角的

正弦值为（）

Ca

66

2叫2/<0,

6.己知函数/。）=<若关于工的方程"（切2-2qf（x）+3a=0有六个不相等的实数根，则实数〃的取

|log2x|,.r>0,

值范围为（）

(3,丁)3,—(3,4)

A.B.C.D.(3,4]

7.如图，在直三棱柱人8cAMC中，AB=AC=1»BC=/V\=5/2>点&。分别是线段GC8（7的中点，

卒=g不，分别记二面角尸一。4—E,F-OE-B、,尸一64一。的平面角为a,#,y,则下列结论正确的是

（）

A.y>P>aB.a>p>yc.a>y>ftI）.y>a>（3

8.甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远

古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人.已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不

在远古村寨；③“丙在远古村寨''是"甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨.若以上语句都

正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

22

9.已知产是双曲线3-1=1渐近线上一点，E是双曲线的左、右焦点，记PF「PO,PF,的

a~b~'2

斜率为尤，k,k2i若K，・2k,及成等差数列，则此双曲线的离心率为（）

A.V5B.逅C.V3D.娓

2

10.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()

16

C.16D.T

11.己知母尸2分别为双曲线一二=1的左、右焦点,点户是其一条渐近线上一点，且以"鸟为直径的圆经过

b~

点P,若APG"的面积为独则双曲线的离心率为()

3

A.&B,2C.75D.3

12.已知函数/。)=/一3犬+5,^(x)=ar-lnx,若对Dxe(0,e),3土,工2£(6e)且不工X2，使得

f(x)=g(%)(i=12),则实数。的取值范围是()

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.己知复数z=(a+2i)(l+i),其中i为虚数单位，若复数z为纯虚数，则实数〃的值是一.

1/+卑%<0

14.已知函数/(#=«6'x2'，若关于x的方程/(、)+/(一幻=。在定义域上有四个不同的解，则实数“

Inx-x,x>0

的取值范围是.

15.已知直线大一>+。=0与圆心为。的圆工2+/+2彳-4.丫-4=0相交于A4两点，且ACJ.8C,则实数。的值

为

16.如图，在体积为v的圆柱qoz中，以线段aa上的点。为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为匕，

v+V

匕，则写上的值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）己知各项均为正数的数列｛〃“｝的前〃项和为S.,满足。3=2£+〃+4,。2一1，%，%，恰为等比数

列｛2｝的前3项.

（1）求数列｛%｝,低｝的通项公式：

（2）求数列卫J的前〃项和为7；；若对办wN*均满足丁“>用大求整数〃?的最大值；

IJ2020

（3）是否存在数列｛qj满足等式£（6-1上"+1=2"--〃-2成立，若存在，求出数列｛qj的通项公式；若不存在,

1=1

请说明理由.

18.（12分）已知首项为2的数列｛4｝满足=2叫+2”】

〃+1

（D证明：数列•号是等差数列.

（2）令》=4+〃,求数列出｝的前〃项和5“.

19.（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点。，其短半轴长为1,一个焦点坐标为（1,0）,点A在椭圆C上，点B在直

线.、，=应上，且OA_LQB.

（1）证明：直线A3与圆/+丁=1相切；

（2）设A8与椭圆。的另一个交点为。，当△AO8的面积最小时，求OQ的长.

20.（12分）已知a、b,c£R',a+b+c=lf求证：

⑴4a4--7^4-Vc<>/3:

/、111、3

（2）------1------1-----2一.

3a+l3〃+13c+l2

21.(12分)如图，在三棱柱AAC-AqC中，已知四边形4AC。为矩形，AA=6,AB=AC=4,

ZBAC=ZBAAy=60°,/4AC的角平分线交CQ于。.

(1)求证:平面84DJ_平面AA。。；

(2)求二面角A-BC-A的余弦值.

22.(10分)已知尸(0,-2),点48分别为椭圆£0+专■=1(。＞人＞0)的左、右顶点，直线8P交七于另一点

Q,A48尸为等腰直角三角形，且|PQ|:|Q〃|=3:2.

(I)求椭圆E的方程；

(II)设过点。的直线/与椭圆E交于M,N两点，总使得NMON为锐角，求直线/斜率的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

过尸作尸于七，连接CE,易知CE上BD,PE=CE,从而可证8£>_L平面PCE，进而可知

1O

Vp-BCD;V*PCE+VD_PCE=々SP.CE.BD=%S.E，当工…最大时，匕取得最大值，取尸C的中点尸，可得

EFLPC，再由S」cE=gPC•EF=，PE?-1,求出席的最大值即可.

【详解】

PB=BC

在ABPD和"CD中,{PD=CD,所以ABPD^ABCD,则"BD=NCBD,

BD=BD

过尸作。于E，连接CE,显然&BPE乌&BCE,则CEJ_8。，且PE=CE,

又因为PEnCK二月.所以△£）_!_平而尸CE,

I8

所以VP-BCD=VB-PCE+VD-PCE=§=§S…，

当凡"最大时，匕皿•/）取得最大值，取PC的中点F，则石尸_LPC，

所以S=-PCEF=yjPE2,

PvCif.2

因为尸8+9=10,87）=8,所以点P在以反。为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10,焦距长为8,

所以PE的最大值为椭圆的短轴长的一半，故夕E最大值为疗H=3，

所以SAPS最大值为2&，故/的最大值为gx2&=3也.

33

故选：C.

本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.

2.C

【解析】

解不等式得出集合A,根据交集的定义写出ACI3.

【详解】

集合A={中之-2x-340}={M-IW3},

B={x|x<2),/.AnB={x|-l<x<2)

故选C.

本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题.

3.D

【解析】

因为角夕的终边经过点(3,Y)，所以〃=^32+(-4)2=5，则sin。=-1,cosa=|,

即sina+—!—=—.故选D.

cosa15

4.C

【解析】

先确定解析式求出/(2019)的函数值，然后判断出方程/(x)=/(2019)的最小实根的范围结合此时的

f(x)=x-35,通过计算即可得到答案.

【详解】

当X》时，〃3x)=3〃力,所以八加3/(令=32/(*)=♦・=3"〃$,故当

JJJ

*

3"W时,^e[l,3],所以小)=3“(1-看-2|)=3”+：;+；；：,而

JJIx—J,X<，・J

2010

677

2019G[3,31，所以)(2019)=36(1一q一一2)=3-2109=168，乂当时，

/(力的极大值为1,所以当3YxW3"W，/⑶的极大值为3"，设方程/(力=168

2’4-[6

的最小实根为/,168e[3-3l,则/w。5,三2_)，即fw(243,468),此时f(x)=x—

令/(X)=X-3S=168,得1=243+168=411,所以最小实根为411.

故选：C.

本题考查困数与方程的根的最小值问题，涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识，本题有一定的难度及高度，是

一道有较好区分度的压轴选这题.

5.C

【解析】

以D为原点，DA,DC,DDi分别为尤乂2轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线EF与平面AAQiD所成角

的正弦值.

【详解】

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DDi为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-AIBIGDI的棱长为2,

则石(2J0),尸(1,0,2),£F=(-1,-1,2),

取平面AAR。的法向量为万=(0,1,0),

F,F)j°

设直线EF与平面AAQQ所成角为0,则$in0=|cos炉，万卜|陆俞|二手

•••直线石尸与平面所成角的正弦值为迈

6

故选C.

本题考杳了线面角的正弦值的求法，也考查数形结合思想和向量法的应用，属于•中档题.

6.B

【解析】

令〃x)=f,则/—2“+3a=0,由图象分析可知/一23+为=0在(24］上有两个不同的根，再利用一元二次方程

根的分布即可解决.

【详解】

令=则产一+3a=0,如图

与y=/。)顶多只有3个不同交点，要使关于x的方程［/*)『—匆(幻+3。=0有

六个不相等的实数根,则『—2〃+为=0有两个不同的根乙用£(2,4］，

设g«)=/2-2at+3a由根的分布可知，

△=4/一12。>0

aG（2,4）16

,解得3<aM—.

g（2）〉05

8（4）20

故选：B.

本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中

档题.

7.D

【解析】

过点。作CX〃AA,以。为原点，C4为/轴，Cx为y轴，eq为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面

角的余弦值得答案.

【详解】

解：因为AB=AC=1,BC=M=g,所以482+4。2=3。2,即AB_LAC

过点C作Cy〃A8,以c为原点，C4为X轴，Cx为)'轴，CG为z轴，建立空间直角坐标系,

则”（1,0,手），0（；,0）,E（0,0,争，B«,夜）,

08；=（、!•应），=

22222

—II2XF>—.,J?

OF=（-，--，—-）♦EB[=（l,T、一^~），EF=（1,0,-—）»

22326

设平面ORE的法向量〃7=(x,)，,z),

=—x+—y+V2z=0

则，/，取x=l,得〃；=（1,一1,0），

m-OE=——x——y+——z=（）

222

同理可求平面。片/7的法向量〃=（-5夜,-\/1,3）,

平面OEF的法向量p=（-1，手,3）,平面EFB1的法向量《=（_等「五,3）.

m»n4灰T门〃〃〃45/34m»q746

cosa=—~~—=——,cos^=_C.=—,cos/=—.

mHn|61|m卜|p\34|m卜|q|46

：.y>a>p.

故选：D.

本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线而、面而间的位置关系等基础知识，考查

运兜求解能力，属于中档题.

8.D

【解析】

根据演绎推理进行判断.

【详解】

由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了「

丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁.

故选：D.

本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础.

9.B

【解析】

求得双曲线的一条渐近线方程，设出q的坐标，由题意求得尸（。,力，运用直线的斜率公式可得勺，k,卜,再由等

差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值.

【详解】

设双曲线£一与=i的一条渐近线方程为y=-x,

/厂a

且P（〃?,2⑼，由N片尸居=工，可得以。为圆心，c为半径的圆与渐近线交于P,

a-2

2

可得/〃2+（2"if=c,可取〃?=。，则pgh）,

a

设K（-c,o）,a（c,o）,则占=上，^=—,k=-,

a+c'a-ca

由仁，-2k,自成等差数列，可得YA=4+网,

/1.,42a232

化为—=-,即nilc~~a，

acr-c-2

可得6=£=逅，

a2

故选：B.

本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的

理解掌握水平.

10.D

【解析】

根据三视图判断出几何体是由一个三极锥和一个三楼柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得儿何

体的体积.

【详解】

由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三极柱构成，该多面体体枳为』X2X2X2+!X」X2X2X2=£.

2323

故选D.

本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.

11.B

【解析】

根据题意，设点。（%）,先）在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论.

【详解】

由题意，设点尸（七,比）在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为y二，x，

所以，%=

a

又以大人为直径的圆经过点尸，则|OH=c,即x：+），；=ct解得/=〃，y0=b,

所以,SPFF=—•2c-y=c-ib=———b'>即c=——b»即。一=彳卜「一。一)，

v、也0Ju0333'/

所以，双曲线的离心率为e=2.

故选：B.

本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关犍在于求出〃与c的关系，属于基础题.

12.D

【解析】

先求出“X)的值域，再利用导数讨论函数g(x)在区间(0,e)上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范

围即可.

【详解】

因为g(x)=3-。吠,故g'(x)="--»

.1

当时，g'(x)<0,故g(x)在区间(O,e)上单调递减：

当一时,g<x)>0,故g(x)在区间(0,e)上单调递增;

e

当ae0[)时，令g'(x)=°，解得犬二」，

故g(x)在区间(0，)单调递减，在区间上单调递增.

又｛))=1+历=且当“趋近于零时，g(x)趋近于正无穷：

「II、

对函数“X),当xe(O,e)时，—,5:

4/

根据题意，对Dxe(0,e),也,々(°，6)且工尸々，使得/(x)=g(x,)(i=1,2)成立,

/\\11

只需g一<二，8(6)25,

即可得1+/〃。<1,且-125,

4e

62、

解得ae一,小.

”)

故选：D.

本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综

合困难题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2

【解析】

由题，得z=(a+2i)(l+i)=a—2+(。+2",然后根据纯虚数的定义，即可得到本题答案.

【详解】

由题，得2=(。十2i)(l+i)=。一2+(〃+2",又复数Z为纯虚数，

所以。-2=0,解得。=2.

故答案为：2

本题主要考查纯虚数定义的应用，属基础题.

I3)

【解析】

由题意可F(X)+/(-幻=。在定义域上有四个不同的解等价于>=9/+乌+!关于原点对称的函数

6x2

),与函数f(x)=lnx-x[x>0)的图象有两个交点，运用参变分离和构造函数，进而借助导数分析

单调性与极值，画出函数图象，即可得到期求范围.

【详解】

八，〃1n

—X-4---1——V<0

已知定义在(-8,0)=(0,中向上的函数/(幻=16x2，

[lnx-.r,x>0

若/*)+"-x)=0在定义域上有四个不同的解

联立可得厄工一工+』/一@+_1=0有两个解，即auxInx-Y+Jj+'x

6x262

I3।[3

可设g(r)=xlnr——+—.r+—.r.则g(r)=Inx-2*+—+_.

6222

进而g"(x)=x+，_22()且不恒为零，可得g'(x)在(O,+8)单调递增.

.X

由g'(l)=O可得

Ovxvl时，，。)<0,以用单调递减：

0时,g'(x)>O,g(x)单调递增，

即g(X)在x=1处取得极小值且为一:

作出y=g(x)的图象，可得一?<avO时，lnx-x+：x2-^+3=0有两个解.

(1、

故答案为：

I3]

本题考杳利用利用导数解决方程的根的问题，还考查了等价转化思想与函数对称性的应用，属于难题.

15.0或6

【解析】

计算得到圆心c(—1,2),半径〃=3,根据AC_L8C得到d=乎，利用圆心到直线的距离公式解得答案.

【详解】

f+9+2x7)，-4=0,即(X+11+()，-2)2=9,圆心C(-l,2),半径/=3.

AC1BC,故圆心到直线的距离为4=逑，即[=蚱三=述，故。=6或。=0.

2>/22

故答案为：。或6・

本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。

1

16.-

3

【解析】

根据圆柱«。2的体积为V，以及圆锥的体积公式，计算即得.

【详解】

1I1]V+VI

由题得，+V2=-sG^OO.+-5^-oo2=-S^=-V,得—二Q・

故答案为：—

本题主要考查圆锥体的体枳，是基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

,,_,

17.（2）aH=n+\,2=2"（2）7；二2二一1,的最大整数是2.（3）存在，=2

〃+2

【解析】

（2）由a：+1=2S“+〃+4可得%=2Si+〃+3（;?>2）,然后把这两个等式相减，化简得=4+1,公差为2,

因为%-1，%，％为等比数列，所以域=3—1）%,化简计算得，q=2,从而得到数列｛4｝的通项公式，再计

算出a2-\,a3,a7,从而可求出数列｛4｝的通项公式：

JL）〃+1

（2）令c“=—匚=---------化简计算得%+1-4>0,从而可得数列｛qj是递增的，所以只要，的最小值大

a,4+i〃+2〃+1

于念艮J可，而。的最小值为Z=J=g，所以可得答案；

（3）由题意可知,（4—l）c〃+（生—I）%+311）%-2+…+（。"7）q=2n+,-n-2,

即1+257+37_2+…+/7G=2"Z-/7—2,这个可看成一个数列的前〃项和，再写山其前（〃一1〉项和，

两式相减得，c.+c,i+c”_2+—+q=2"-l,（〃eN*）,利用同样的方法可得%=2"T（〃£N"）.

【详解】

解：（2）由题，当〃=1时，a｝=2S]+5,即a；=2〃i+5

当〃之2时，=2S”+〃+4①a：=2Sn,1+〃+3②

①-②得扁一〃：=2an+1,整理得"J=（%+，又因为各项均为正数的数列｛q｝.

故4加=%+1，｛4｝是从第二项的等差数列，公差为2.

又生一1吗,％恰为等比数列低｝的前3项,

故4=3-1）。7=3+1）2=（出一1）（%+5），解得。2=3.又裙=2%+5,

故4=2,因为生一4=1也成立.

故｛q｝是以0=2为首项，2为公差的等差数列.故2=2+〃-1=〃+1.

即2,4,8恰为等比数列出｝的前3项，故也｝是以a=2为首项，公比为g=2的等比数列，

故2=2”.综上凡=〃+1,bn=r

(2)令4=—^=—一一—，则

4勺+1〃+277+1

_(〃+1泡“nbn_2"+22'+222”

c/l+i~cn=----------------=-------------(-----------)

a

4+4+2A+i〃+3〃-2〃+2W+1

2〃+22”

—，，—,

〃+372+1

2"(3〃+1)、八

------------>V

(〃+3)(〃+1)

所以数列k｝是递增的，

若对V〃GN,均满足T„>矗，只要7；的最小值大于矗即可

因为7；的最小值为7；=《二；,

9020

所以〃—,所以〃？的最大整数是2.

3

⑶由方(％-1兑+i=2川-〃-2,得

1=1

(%+.••+(/T)q=2n+,-n-2,

nc

c„+2cn_,+3cA2+…+\=2""-〃-2,(〃eN")③

明+2C”T+3O”T+…+(〃-1鸠=2"-(〃-1)-2,HGN")④

③-④得，C〃+C〃T+C”-2+—+G=2”-1,⑤，

1

c”_14-cn_2+c”_3+…+q=2"—1,(〃..2,neN)⑥

⑤-⑥得，c”=2'i(〃eN*),

所以存在这样的数列｛cn｝,%=2"T(〃eN*)

此题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，最值，恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档

题.

,,+l

18.(I)见解析；(2)5,1=2+-/r+-n-2

22

【解析】

（1）由原式可得（〃+1=2g+2"+）等式两端同时除以2田.可得到=赞+1.即可证明结论;

（2）由（1）可求得爸的表达式,进而可求得耳，”的表达式燃后求出也,｝的前〃项和S”即可.

【详解】

（I）证明:因为=2〃4，+2”，所以（〃+1%==2〃川+2川,

〃+1

所以出野=蒙+1，从而号4一号=】，因为1=2,所以三八

故数列等是首项为1，公差为1的等差数列.

（2）由⑴可知要=1+（〃T）=〃,则%=2",因为"=q+〃,所以2=2"+〃.

则5“=々+仇+仄+...+a=（2+l）+（22+2）+（23+3）+...+（2n+z?）

（）（「）〃（〃+）

=2+22+23+—+2"+n+2+3+...+G=2x2|l=T+l+-n2+-n-2.

22

本题考查了等差数列的证明，考查了等差数列及等比数列的前〃项和公式的应用,考查了学生的计算求解能力，属于中档

题.

19.（I）见解析:⑵萼

【解析】

7+1k2

（1）分斜率为0,斜率不存在，斜率不为0三种情况讨论，设04的方程为，=京，可求解得到|。4|2=三会

\OBf=2+2k\可得。到4B的距离为1，即得证;

（2）表示△表08的面积为S=?|Q4|-|08|=之中,利用均值不等式，即得解.

【详解】

（I）由题意，椭圆C的焦点在工轴上，且。=c=l,所以〃=血.

所以椭圆C的方程为与+尸=1.

由点8在直线y=及上，且OAJL03知04的斜率必定存在，

当04的斜率为。时，|OA|=0,|。8|=拒,

于是IAA1=2.。到A8的距离为1.直线48与圆Y+)，2=l相切

当04的斜率不为。时，设0A的方程为广履，与5+)1=1联立得(1+2/)工2=2,

所以片二=77，从而|OA|2=2i竺.

1+2公力1+2公1+2公

而OB_LO4,故0B的方程为工=一心,,而3在了=&上，故x=_五k，

从而1。*2+2公，于是所+研=1.

此时，。到A8的距离为1，直线A8与圆/+)尸=1相切.

综上，直线A8与圆汇2+)，=1相切.

(2)由(1)知，A4O8的面积为

S=-\OA\\OB=2+2」=1+:+2])=[二_：+Vl+2A:2l..l,

22V1T2F2>/172F2(757^)

上式中，当且仅当k=0等号成立，所以面积的最小值为1.

此时，点A在椭圆的长轴端点，B为(0,6).

不妨设A为长轴左端点，则直线A8的方程为)，=x+&，

代入椭圆C的方程解得yD=半，

即%=/4=^所以|。。|=平.

本题考查了直线和椭圆综合，考查了直线和圆的位置关系判断，面积的最值问题，考查了学生综合分析，数学运算能

力，属于较难题.

20.(I)见解析；(2)见解析.

【解析】

(1)结合基本不等式而〈竺.痴W而《空色可讦明：

222

4I~44

(2)利用基本不等式得「一+(3。+1)22、/一•(3。+1)=4,即——>3-3«,同理得其他两个式子，三式相

3«+1V3^+13a+l

加可证结论.

【详解】

(\[a+石+Vc)2=a+b+c+2y/ab+2-Jbc+14ca

4(。+匕+c)+(o+㈤+S+c)+(c+a)=3,当且仅当a=b=c等号成立,

•*•\[a++Vc<x/5：

4

(2)由基本不等式-----+(3a+\>>2届V)*

3。+1

444

23—3a,同理----->3-3/?,>3-3c,

3。+13b+l3c+1

4(—!—+—!—+」一)N9—3(a+力+c)=6,当且仅当a=b=c等号成立

3a+13/?+13c+l

.111、3

3a+l3。+13c+12

本题考查不等式的证明，考查用基本不等式证明不等式成立.解题关键是发现基本不等式的形式，方法是综合法.

21.(1)见解析；(2)上叵

17

【解析】

(1)过点。作OE7/AC交4A于E，连接。瓦BE,设AOP|CE=O,连接4。，由角平分线的性质，正方形的性

质,三角形的全等，证得CE_L8O,CELAD,由线面垂直的判断定理证得CE_L平面840，再由面面垂直的判

断得证.

(2)平面几何知识和线面的关系可证得8。_L平面4ACC，建立空间直角坐标系。一冲z,求得两个平面的法向量,

根据二面角的向量计算公式可求得其值.

【详解】

(1)如图，过点。作。E//AC交AA于E，连接设/\。口底=0,连接B0,丁AC，MOE_LAE，

乂A。为/4AC的角平分线，，四边形4s7)C为止方形，

又•.•4C=AE,ZBAC=ZBAE,BA=BA，；.MAC二MAE,二BC=BE,又・.・O为CE的中点，.,.CE_L8O

又•.•AO,6Ou平面843,40^40=0,.♦.CEJ_平面8AO,

又CEu平面44CC，二•平面B4O_L包面AACC,

(2)在AAAC中.•・・4“=4c=4,Z