高考数学二轮复习p pt课件第1篇　专题1　第3讲

第一篇核心专题突破、素养能力提升专题一函数与导数第3讲导数的简单应用结构框架明体系真题再现明考向考点突破提能力课时跟踪训练考情分析明方向考情分析明方向1．导数的几何意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点．2．对导数几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题的第一问．3．利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型．结构框架明体系真题再现明考向【答案】

C2．(2023·全国乙卷文科)函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是(

)A．(－∞，－2) B．(－∞，－3)C．(－4，－1) D．(－3，0)【答案】

B3．(2023·新课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－lnx在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为(

)A．e2 B．eC．e－1 D．e－2【答案】

C【答案】

B5．(2025·新课标全国Ⅰ卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线，则a＝________.【答案】

4【解析】方法一：对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1，因为直线y＝2x＋5是曲线的切线，直线的斜率为2，令y′＝ex＋1＝2，即ex＝1，解得x＝0，将x＝0代入切线方程y＝2x＋5，可得y＝2×0＋5＝5，所以切点坐标为(0，5)，因为切点(0，5)在曲线y＝ex＋x＋a上，所以5＝e0＋0＋a，即5＝1＋a，解得a＝4.6．(2025·新课标全国Ⅱ卷)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝________.【答案】－47．(2022·全国乙卷)已知x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是________.【解析】

f′(x)＝2lna·ax－2ex，因为x1，x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2的极小值点和极大值点，所以函数f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，所以当x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)<0，当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，若a>1时，当x<0时，2lna·ax>0，2ex<0，则此时f′(x)>0，与前面矛盾，故a>1不符合题意，若0<a<1时，8．(2023·全国乙卷理科)已知a∈(0，1)，函数f(x)＝ax＋(a＋1)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________.考点突破提能力考点一导数的计算、几何意义●核心知识1．导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f

′(x0)(x－x0)．2．基本初等函数的导数公式3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f

′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f

′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；●方法技巧1．求曲线过点P的切线方程的方法(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f

′(x0)(x－x0)．(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f

′(x1)(x－x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f

′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．2．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．提醒：(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线y＝f(x)上．●典例研析1．(1)(2025·湖北一模)下列求导运算正确的是(

)A．(sina)′＝cosa(a为常数) B．(sin2x)′＝2cos2xC．(3x)′＝3xlog3e (2)(2025·沧州模拟)已知函数y＝f(x)的高阶导数为y＝f(n)(x)，即对函数f(x)连续求n阶导数．例如f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx，f″(x)＝－sinx，f(x)＝－cosx，f(4)(x)＝sinx，f(5)(x)＝cosx，….若f(x)＝g(x)h(x)，则f(10)(x)的展开式中g(4)(x)h(6)(x)的系数是(

)A．210 B．255C．280 D．360【答案】

(1)B

(2)A

(3)D

(4)A【答案】

C2．(2025·龙岗区校级三模)已知曲线y＝x3－x＋2的切线与曲线y＝ln(x＋1)－a也相切，若该切线过原点，则a＝________.【答案】

1－ln2考点二导数与函数的单调性●核心知识导数与函数单调性的关系(1)f

′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)＝x3在(－∞,＋∞)上单调递增，但f

′(x)≥0.(2)f

′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f

′(x)＝0时，f(x)为常数函数，函数不具有单调性．●方法技巧1．利用导数比较大小的方法(1)若已知函数解析式比较函数值的大小，首先要判断已知函数的单调性，根据单调性比较大小．(2)若是比较数值的大小，其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅助函数，并根据构造的辅助函数的单调性比较大小．2．根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f

′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．A．f(－2)＜f(3)＜f(π) B．f(π)＜f(3)＜f(－2)C．f(3)＜f(－2)＜f(π) D．f(－2)＜f(π)＜f(3)(2)(2025·永州三模)若函数f(x)＝aex－x3在区间(1，3)上单调递增，则实数a的最小值为(

)(3)(2025·毕节市模拟)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，f′(x)是f(x)的导函数，f(1)＝0，当x＜0时，xf′(x)＋3f(x)＞0，则不等式f(x)＜0的解集为(

)A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(0，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(1，＋∞)【答案】

(1)A

(2)C

(3)DA．c＞a＞b B．c＞b＞a

C．b＞c＞a D．a＞c＞b【答案】

A4．(2025·辽宁一模)若函数f(x)＝lnx＋x2－ax在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，1) C．(－∞，2] D．[1，＋∞)【答案】

BA．(2，＋∞) B．(－∞，2)C．(0，＋∞) D．(－∞，0)【答案】

D考点三利用导数研究函数的极值与最值●核心知识可导函数的极值与最值(1)若在x0附近左侧f

′(x)＞0，右侧f

′(x)＜0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f

′(x)＜0，右侧f

′(x)＞0，则f(x0)为函数f(x)的极小值．(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．●方法技巧1．求函数的极值或极值点的步骤(1)求导数f

′(x)，不要忘记函数f(x)的定义域．(2)求方程f

′(x)＝0的根．(3)检查在方程的根的左右两侧f

′(x)的符号，确定极值点或函数的极值．2．求函数f(x)在[a，b]上最值的方法(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．●典例研析3．(1)(2025·鄄城县校级模拟)等比数列{an}中的a2，a24是函数f(x)＝(x2－12x＋21)ex的极值点，a2≠a24，则log3|a13|＝(

)A．(－∞，0) B．(0，2)C．(0，1] D．(0，1)(3)(2025·渭南模拟)函数f(x)＝|x－1|＋|x－3|＋2ex的最小值为(

)A．6 B．2＋2eC．6－2ln2 D．e2＋1A．(－∞，e] B．(0，2e]C．[2，＋∞) D．(－∞，2]【答案】

(1)A

(2)B

(3)A

(4)D●跟踪训练6．(2025·邯郸一模)已知函数f(x)＝(x－3)ex＋ax恰有一个极值点，则a的取值范围是(

)A．(－∞，0]∪{e} B．[0，＋∞)∪{－e}C．(－∞，0] D．[0，＋∞)【答案】

C【解析】由题意可得f′(x)＝(x－2)ex＋a，令f′(x)＝(x－2)ex＋a＝0，得－a＝(x－2)ex，设g(x)＝(x－2)ex，则g′(x)＝(x－1)ex.由g′(x)＞0，得x＞1，则g(x)在(1，＋∞)上单调递增；由g′(x)＜0，得x＜1，则g(x)在(－∞，1)上单调递减，故g(x)min＝g(1)＝－e.因为f(x)恰有一个极值点，所以f′(x)＝0有唯一的零点x0，且f(x)在x0两侧的单调性不同．当x＜2时，g(x)＜0，则－a＝－e或－a≥0，解得a＝e或a≤0.当a＝e时，f′(x)≥f′(1)＝0，则f(x)在R上单调递增，没有极值点，故a＝e不符合题意；当a≤0时，f′(1)＝－e＋a＜0，且当x＜2时，f′(x)＜0，当x→＋∞时，f′(x)→＋∞，则f(x)存在唯一的极小值点，故a≤0符合题意，故a的取值范围是(－∞，0]．故选C．7．(多选)(2025·江西模拟)设函数f(x)＝ex－e－x－2x，x∈R，则下列说法正确的是(

)A．f(x)是奇函数B．f(x)在R上是单调函数C．f(x)的最小值为1 D．当x＞0时，f(x)＞0【答案】

ABD考点四函数的极值和最值的综合应用●方法技巧等价转化思想在解决极值与最值问题中的应用(1)函数在某一区间上有极值(点)，可以转化为方程满足某种条件的解．(2)求函数的极值、最值问题，可以转化为函数的单调性问题．(3)与函数极值、最值有关的参数问题，可以转化为解方程、不等式问题，而某些方程有解、不等式有解、不等式恒成立问题则可以转化为函数的最值问题．●典例研析A．f(x)在区间(0，3)上单调递增B．f(x)仅有1个极大值点C．f(x)无最大值，有最小值D．当a∈[3，4]时，关于x的方程f(x)＝a共有3个实根A．若f(x)是R上的增函数，则a∈[－1，1]B．当a＞1时，函数f(x)有两个极值C．当a＞1时，函数f(x)有三个零点D．若关于x的方程f(x)＝t恰有两个非零的实数根x1，x2(x1＜x2)，则x1＋2x2＝3a【答案】

(1)BC

(2)B

(3)AB【解析】

(1)当0＜x＜3时，f(x)＝|x－3|ex＝(3－x)ex，则f′(x)＝－ex＋(3－x)ex＝(2－x)ex，当0＜x＜2时，f′(x)＞0，此时函数f(x)单调递增，当2＜x＜3时，f′(x)＜0，此时函数f(x)单调递减，故A错误；由A选项知，函数f(x)在(0，3)上有一个极大值点x＝2，当x≥3时，f(x)＝(x－3)ex，则f′(x)＝(x－2)ex＞0，此时函数f(x)单调递增，当x＜0时，f(x)＝(x＋2)2－7，此时函数f(x)有极小值点－2，无极大值点，综上所述，函数f(x)仅有1个极大值点，故B正确；当x≥0时，f(x)＝|x－3|ex≥0＝f(3)，当x＜0时，f(x)≥－7＝f(－2)，所以函数f(x)的最小值为f(－2)＝－7，函数f(x)无最大值，故C正确；如图所示，由图可知，当a∈[3，4]时，关于x的方程f(x)＝a共有4个实根，故D错误．故选BC．【答案】

B9．(2025·晋城二模)若关于x的不等式x2x＞axlnx在(0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为____________.课时跟踪训练一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2025·福州模拟)曲线f(x)＝x3＋3x在点(－1，f(－1))处的切线方程为(

)A．y＋4＝0 B．2x－y－2＝0C．6x－y＝0 D．6x－y＋2＝0【答案】

D【解析】

因为f(x)＝x3＋3x，所以f′(x)＝3x2＋3，所以f(－1)＝－4，f′(－1)＝6，所以所求切线方程为y＋4＝6(x＋1)，即6x－y＋2＝0.故选D．【答案】

AA．(－∞，2] B．(－∞，2)C．(－∞，3] D．(－∞，3)【答案】

C【答案】

AA．－32 B．－16C．－8 D．－4【答案】

BA．c＜b＜a B．a＜b＜cC．c＜a＜b D．b＜c＜a【答案】

C【答案】

C8．(2025·昌黎县校级模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(1＋x)－f(1－x)＝2x，若其导函数为f′(x)，则f′(2025)等于(

)【答案】

D【解析】因为f(－x)＝－f(x)，得－f′(－x)＝－f′(x)，即f′(－x)＝f′(x)，又因为f(1＋x)－f(1－x)＝2x，得f′(1＋x)＋f′(1－x)＝2，所以f′(－x)＝－f′(2＋x)＋2，所以f′(x)＝－f′(2＋x)＋2，所以f′(x＋2)＝－f′(4＋x)＋2，以上两式相减，可得f′(4＋x)＝f′(x)，所以f′(x)为以4为最小正周期的周期函数，在f′(1＋x)＋f′(1－x)＝2中，令x＝0，得f′(1)＝1，所以f′(2025)＝f′(506×4＋1)＝f′(1)＝1.故选D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．(2025·许昌模拟)已知函数f(x)＝ax3－bx＋2，则(

)A．f(x)的值域为RB．f(x)图象的对称中心为(0，2)C．当b－3a＞0时，f(x)在区间(－1，1)内单调递减D．当ab＞0时，f(x)有两个极值点【答案】

BD10．(2025·东台市校级二模)已知函数f(x)＝cos2x－sinx，则(

)A．f(x)是奇函数C．2π是f(x)的一个周期D．f(x)在x＝0处的切线方程为y＝－x＋1【答案】

BCD11．(2025·辽宁三模)已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)－1，函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，且g(x)的导函数g′(x)满足xg′(x)＜3g(x)＋x2，则(

)A．f(ln4)＝2f(ln2)－1B．8g(1)＞g(2)＋4f(0)【答案】

BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．(2025·安庆三模)已知函数f(x)＝2x2＋alnx的图象在x＝1处的切线经过坐标原点，则实数a＝________.【答案】－213．(2025·静安区二模)用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，且容器底面的长边比短边长0.5m(不计损耗)．若要使该容器的容积最大，则容器的高为________m.【答案】

1.2【答案】

4四、解答题：每小题15分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(1)若f(x)是增函数，求a的取值范围；(2)若x1，x2为f(x)的两个极值点，求f(x1)f(x2)的取值范围．又ex＞0，(ax2＋1)2＞0，所以ax2－2ax＋1≥0恒成立，因为a＞0，则有Δ＝4a2－4a≤0，解得0＜a≤1，即a的取值范围是(0，1]．(2)由(1)可知，若f(x)有两个极值点，则a＞1，16．(2025·宜宾模拟)已知函数f(x)＝ex－ax－1，g(x)＝xlnx.(1)若f