2025初等数论期末得分技巧配套练习题库及答案

2025初等数论期末得分技巧配套练习题库及答案

一、单项选择题，(总共10题，每题2分)1.若整数a满足a≡5(mod7)且a≡3(mod11)，则a的最小正整数解为A.38B.61C.82D.1032.设p为素数，则模p的既约剩余系的元素个数为A.p-1B.pC.φ(p)D.2p3.若gcd(a,b)=1且a|bc，则下列一定成立的是A.a|cB.b|cC.a|bD.c|a4.同余方程x²≡1(mod8)的解的个数为A.1B.2C.3D.45.设n>1，则φ(n)=n-1当且仅当A.n为偶数B.n为素数C.n为合数D.n=16.若p为奇素数，则(2/p)=A.1B.-1C.(-1)^((p²-1)/8)D.07.下列整数中，哪一个是模13的原根A.2B.3C.5D.78.设a,b为正整数，则lcm(a,b)·gcd(a,b)等于A.abB.a+bC.max(a,b)D.min(a,b)9.若x≡3(mod5)且x≡1(mod9)，则xmod45为A.13B.28C.33D.4310.设p≡1(mod4)为素数，则-1是模p的A.二次剩余B.二次非剩余C.零D.无定义二、填空题，(总共10题，每题2分)11.若a≡b(modm)且d|m，则a≡b(mod____)12.设p为素数，则φ(p²)=____13.若x²≡a(modp)有解且p为奇素数，则a称为模p的____14.设a,b为正整数，则gcd(a,b)=gcd(a,b-____)15.若g为模m的原根，则g的阶为____16.设n=2³·3²·5，则φ(n)=____17.若a≡b(modm)且c≡d(modm)，则ac≡____(modm)18.设p为素数，则威尔逊定理指出(p-1)!≡____(modp)19.若d|n，则φ(d)____φ(n)(填≤,≥,=)20.设m>1，若a与m互素，则a^φ(m)≡____(modm)三、判断题，(总共10题，每题2分)21.若a≡b(modm)，则ka≡kb(modkm)对任意k≠0成立。22.若gcd(a,m)=1，则a模m的阶一定整除φ(m)。23.对于任意奇素数p，2都是模p的原根。24.若m为合数，则模m必不存在原根。25.若a²≡1(modm)，则a≡±1(modm)。26.若p为素数，则φ(p^k)=p^k-p^{k-1}。27.若a|bc且gcd(a,b)=1，则a|c。28.同余方程组x≡a(modm)，x≡b(modn)在gcd(m,n)=1时必有解。29.若p≡3(mod4)，则-1是模p的二次非剩余。30.设g为模p原根，则g^k为原根当且仅当gcd(k,p-1)=1。四、简答题，(总共4题，每题5分)31.叙述并证明欧拉定理。32.给出模m存在原根的必要条件并简要说明理由。33.利用二次互反律计算(17/23)并写出步骤。34.设p为奇素数，证明x²≡-1(modp)有解当且仅当p≡1(mod4)。五、讨论题，(总共4题，每题5分)35.讨论RSA公钥加密算法中欧拉函数φ(n)的核心作用，并说明若φ(n)被泄露会带来何种风险。36.比较中国剩余定理与拉格朗日插值法在“分而治之”思想上的异同，并举例说明数论中的典型应用。37.探讨素性测试中费马小定理的局限性，并说明米勒-拉宾检验如何弥补其不足。38.讨论原根在离散对数难题中的地位，并分析为何选择安全素数p=2q+1能增强密码系统强度。答案与解析一、单项选择题1.B2.C3.A4.D5.B6.C7.A8.A9.B10.A二、填空题11.d12.p²-p13.二次剩余14.a15.φ(m)16.4817.bd18.-119.≤20.1三、判断题21.√22.√23.×24.×25.×26.√27.√28.√29.√30.√四、简答题31.欧拉定理：若gcd(a,m)=1，则a^φ(m)≡1(modm)。证明：取模m的既约剩余系R={r₁,...,r_φ(m)}，则aR亦为既约剩余系，故∏(arᵢ)≡∏rᵢ(modm)，消去∏rᵢ即得。32.模m存在原根当且仅当m=2,4,p^k或2p^k，p奇素数。理由：乘法群(Z/mZ)需为循环群，其结构定理指出仅上述情形群结构循环。33.(17/23)=(23/17)(-1)^(8·11)=(6/17)=(2/17)(3/17)=(-1)^((17²-1)/8)·(17/3)(-1)^(8·1)=1·(2/3)=-1。34.若x²≡-1(modp)有解，则解的阶为4，故4|(p-1)即p≡1(mod4)；反之若p≡1(mod4)，则存在原根g，取x=g^{(p-1)/4}即满足x²≡-1。五、讨论题35.φ(n)决定模n乘法群阶，私钥d需满足ed≡1(modφ(n))；若φ(n)泄露，则d可被欧几里得算法快速求出，私钥完全暴露，系统崩溃。36.二者均将全局问题分解为局部再合成：CRT把模分解为互素模，插值把多项式点值分解为单点；异在于CRT用同余式，插值用多项式基。数论应用如大整数乘法用CRT加速。37.费马小定理仅能检测“伪素数”，存在卡迈克尔数无限多；米勒-拉宾引入强证据概念