六年级数学思维拓展：行程问题中的相遇与追及模型构建与应用

六年级数学思维拓展：行程问题中的相遇与追及模型构建与应用六年级数学思维拓展：行程问题中的相遇与追及模型构建与应用

一、教学内容分析

本课内容隶属于小学数学“数与代数”领域中“常见的量”与“解决问题”的综合板块。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，其不仅要求掌握速度、时间、路程三个基本量的数量关系（知识技能），更强调在真实或模拟的情境中，运用数学知识与方法解决问题（过程方法），并初步形成模型意识和应用意识（素养价值）。相遇与追及问题是行程问题中最经典的两类动态模型，堪称培养学生数学建模思想的绝佳载体。知识层面上，它是对“路程=速度×时间”这一基本数量关系的深化与综合应用，要求学生能识别运动方向（相向、同向）、运动结果（相遇、追及）等关键要素，并建立相应的等量关系式。思维层面上，它涉及从复杂情境中抽象出数学模型（线段图辅助）、进行逻辑推理与方程（或算术）求解，并最终回归解释与应用，完整经历了“现实问题→数学模型→数学解答→现实解释”的数学化过程。其育人价值在于，通过解决富有挑战性的动态问题，锤炼学生思维的严谨性、灵活性与深刻性，体验数学的结构之美与逻辑力量。

六年级学生正处于从具体运算向形式运算过渡的关键期。他们已牢固掌握速度、时间、路程的关系，具备基本的列方程和解方程能力，并能绘制简单的线段图。然而，面对涉及两个物体相对运动的复杂情境，学生普遍存在的认知障碍在于：一是难以在头脑中清晰、动态地构建运动过程，导致等量关系寻找困难；二是容易混淆相遇与追及问题中的“速度和”与“速度差”概念；三是在处理“非同时出发”、“中途变速”、“环形跑道”等变式时，缺乏将复杂问题分解、转化为基本模型的策略。因此，教学需提供强力的可视化支持（如动态课件、线段图分步绘制），设计循序渐进的探究任务链，并引导学生在对比辨析中自主建构概念，在变式应用中发展迁移能力。课堂中将通过追问、板演、小组合作成果展示等方式，动态评估学生的理解层次，及时为困惑者提供个性化辅导（如简化数据、分步引导），为优生设置更具挑战性的拓展问题。

二、教学目标

知识目标：学生能精准阐述相遇问题（速度和×相遇时间=总路程）与追及问题（速度差×追及时间=路程差）的核心等量关系，理解其推导逻辑；能辨析“同时出发相向而行直至相遇”与“同向而行快追慢”两类基本情境的结构差异，并运用线段图清晰表征题目中的数量关系，为建立数学模型奠定坚实基础。

能力目标：学生能够从现实生活情境（如两人约见、跑步比赛）中，准确提取速度、时间、路程等信息，独立或协作完成对运动过程的分析与图示；能够根据问题类型，灵活选用算术方法或方程策略进行求解，并养成“一题多解”与“验证反思”的习惯；初步发展将“非标准”行程问题（如多次相遇、环形跑道）化归为基本模型的能力。

情感态度与价值观目标：在探究动态数学模型的过程中，激发对数学逻辑与结构之美的欣赏；通过小组协作解决富有挑战性的问题，体验攻坚克难的成就感，培养不畏复杂的思维韧性与乐于分享的合作精神。

科学（学科）思维目标：核心发展数学建模思维。学生将经历“情境识别—要素抽象—关系建立—求解验证”的完整建模过程。同时，强化数形结合思想（以线段图解构动态过程）与化归思想（将复杂问题转化为基本模型），提升逻辑推理的严密性与系统性。

评价与元认知目标：引导学生依据清晰性、完整性、准确性等标准，评价自己及同伴绘制的线段图与解题过程；在课堂小结环节，能够反思本课学习的关键节点与思维突破点，归纳出解决行程类问题的一般性策略清单，实现从“解一题”到“通一类”的认知飞跃。

三、教学重点与难点

教学重点：构建相遇与追及两类问题的基本数学模型，即理解和熟练应用“速度和×时间=总路程”与“速度差×时间=路程差”这两个核心等量关系。其确立依据在于，这两个模型是本课知识结构的枢纽，是解决所有相关变式问题的理论基石。从素养角度看，它们是学生经历数学抽象、形成模型意识的关键产物；从评价导向看，它们是各类学业水平测试与思维拓展考查的核心考点，直接关系到学生分析复杂数量关系的能力水平。

教学难点：在于复杂情境下运动过程的准确分析与等量关系的建立。具体表现为：1.对“速度差”概念的理解，尤其在追及问题中，学生容易误用“速度和”；2.处理运动物体“非同时出发”或“运动过程有折返”时，如何确定有效的“时间”与“路程”对应关系。难点成因在于学生的空间想象与动态分析能力尚在发展，且容易受到问题表象干扰。突破方向是强化线段图的规范性使用，将动态过程“静态化”、“可视化”，并设计对比辨析环节，引导学生发现两类问题本质区别。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（内含运动对象相向、同向的动画演示）；磁性黑板贴（用于展示线段图组件）；差异化学习任务单。

1.2学习材料：设计好分层导学案与当堂巩固练习题卡。

2.学生准备

2.1知识回顾：复习路程、速度、时间三者关系式。

2.2学具：直尺、铅笔、不同颜色彩笔（用于画图标注）。

3.环境布置

3.1座位安排：四人小组合作式就坐，便于讨论。

3.2板书记划：预留主板区域用于呈现核心模型与思维脉络。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境点燃思维：“同学们，想象一下，你和好友分别从学校的东西门同时出发，相约在校门口的书店汇合。你们是怎么越走越近最终碰面的？另一种情况，如果你走路，你爸爸骑车从后面追你，你们之间的距离又是如何变化的？”通过这两个生活化场景，快速聚焦“相向而行”和“同向而行”两种运动方式。

1.1问题驱动：“这两种情况，在数学上都属于‘行程问题’，但其中蕴含的数量关系一样吗？今天，我们就化身‘数学侦探’，一起来揭开‘相遇’与‘追及’这两类经典问题背后的模型秘密。”

1.2路径明晰：“我们的探索之旅分三步：首先，动手画图，搞清楚运动到底是怎么进行的；其次，对比发现，总结出两类问题的‘关系密码’；最后，学以致用，用我们发现的规律去破解更复杂的挑战。”

第二、新授环节

任务一：初探情境，图解运动过程

教师活动：首先，出示基础例题1（同时相向相遇）：“甲、乙两车从相距480千米的A、B两地同时相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米，几小时后相遇？”不急于让学生计算，而是引导：“光看数字有点抽象，我们请‘线段图’这个老朋友来帮忙。怎么用一条线表示480千米？两个点代表什么？”教师示范用不同颜色粉笔从线段两端向中间标注甲、乙的行驶轨迹，并动态提问：“看，随着时间的推进，这两段表示什么的路程？它们加起来和总长度有什么关系？大家发现了，它们‘相遇’时，路程和正好等于总路程。这个发现太关键了！”

学生活动：跟随教师引导，在任务单上同步绘制线段图。观察教师演示，理解“用线段长度表示距离”，“用分线段表示部分路程”。针对教师提问进行思考与回答，直观感知“相向而行直至相遇”的核心特征是“路程和等于总路程”。

即时评价标准：1.能否规范绘制线段图，清晰标注已知条件（总路程、各自速度）。2.能否用语言描述图中各部分线段所代表的意义。3.能否通过观察图示，初步感知到“甲路程+乙路程=总路程”这一关系。

形成知识、思维、方法清单：★线段图是分析行程问题的利器，它能将动态过程转化为静态图示，使数量关系一目了然。★相遇问题基本结构：两物体从两地、同时、相向而行，直至相遇。▲核心等量关系雏形：所有行驶的路程之和等于初始距离。教学提示：此环节不急于给出公式，重在让学生通过画图“看见”关系。

任务二：建模相遇，提炼“速度和”模型

教师活动：承接上图，引导学生将直观发现数学化。“如果我们用S表示总路程，V甲、V乙表示速度，t表示从出发到相遇的时间，谁能根据‘路程和=总路程’这个发现，写出一个等式？”板书学生列出的关系式：V甲×t+V乙×t=S。“大家看这个等式，左边t是相同的，我们可以把它提出来，变成……”板书：(V甲+V乙)×t=S。“看，V甲+V乙就是它们的‘速度和’。谁能给这个公式起个名字？（相遇公式）对，它就是我们破解相遇问题的‘万能钥匙’！”现在，请大家用这个模型快速解决例题1。

学生活动：尝试用字母表示数，写出等量关系。观察教师对算式的变形过程，理解“提取公因数t”即得到“速度和×时间=总路程”的模型。应用模型重新计算例题1，感受模型带来的简洁与高效。部分学生可能提出不同解法（如方程），教师予以鼓励。

即时评价标准：1.能否从具体数字关系抽象出一般化的字母表达式。2.能否理解“速度和”的物理意义及公式的推导过程。3.能否正确应用模型求解简单相遇问题。

形成知识、思维、方法清单：★相遇问题核心模型：（速度和）×（相遇时间）=（总路程）。★“速度和”的数学与物理意义：它表示单位时间内，两个相向而行的物体共同缩短的距离。▲模型推导方法：从具体等量关系出发，通过提取公因数实现模型的一般化与简化。教学提示：强调“同时出发”是此模型成立的前提，为后续变式埋下伏笔。

任务三：类比探究，建构“追及”模型

教师活动：出示例题2（同时同向追及）：“哥哥和弟弟从家去图书馆，哥哥每分钟走80米，弟弟每分钟走60米，弟弟先出发3分钟后哥哥才去追，哥哥几分钟后能追上弟弟？”挑战升级：“这是‘追及’问题，还能用‘速度和’吗？请大家先独立思考，在小组内用画图+推理的方式，找找其中的等量关系。”巡视指导，重点关注学生对“路程差”的理解。请小组代表展示线段图，并引导对比：“追及问题的起点和相遇一样吗？（强调‘同地’或‘有初始路程差’）哥哥要追上弟弟，必须比弟弟多走什么？（弟弟先走的路程）”共同提炼：追及时间×（哥哥速度弟弟速度）=初始路程差。板书模型：（速度差）×（追及时间）=（路程差）。提问：“大家对比一下，‘速度和’与‘速度差’，一字之差，反映了运动本质的什么不同？”

学生活动：以小组为单位，尝试在例题2的情境下绘制线段图，分析运动过程。通过观察与讨论，理解“追及”意味着快者比慢者多走了起初落后的一段距离（路程差）。在教师引导下，抽象出追及模型。积极参与对比讨论，深刻理解“相向靠拢用加法（速度和），同向追及用减法（速度差）”。

即时评价标准：1.小组绘制的线段图能否清晰展示追及过程，特别是“路程差”。2.小组讨论能否聚焦核心，有效推导出等量关系。3.能否准确表述“速度差”与“路程差”的含义。

形成知识、思维、方法清单：★追及问题核心模型：（速度差）×（追及时间）=（路程差）。★“路程差”的确定：通常是快者开始追时，慢者已经先行的一段路程，或初始时两者间的距离。▲对比辨析：相遇是“合”（速度和），关注总路程；追及是“差”（速度差），关注路程差。这是由运动方向决定的本质区别。教学提示：此环节是教学深化点，通过小组合作与对比，让学生自主建构关键概念。

任务四：模型统整与基础应用

教师活动：将两个模型并列板书，形成清晰的知识结构图。“现在，我们手握两把‘钥匙’。能否快速判断该用哪一把？”设计一组快速口答判断题，如：“两辆列车相对开出，求相遇时间。（用速度和）”“小明在后追跑步的小红，求追及时间。（用速度差）”“两架飞机从同一机场同向起飞，慢的先飞，快的后飞，求追上时间。（用速度差）”随后，出示一道需先判断类型再计算的综合题，引导学生按“一审（题型）、二画（线段图）、三选（模型）、四算、五验”的步骤规范解题。

学生活动：观察、朗读、记忆两个核心模型。参与快速判断，巩固模型选择的条件反射。在教师引导下，体验规范解题的完整流程，将建模思想转化为具体操作步骤。

即时评价标准：1.能否根据问题情境描述，迅速、准确地判断属于相遇还是追及问题。2.能否在解题中自觉运用“五步法”，思路清晰。

形成知识、思维、方法清单：★问题解决策略：掌握“审→画→选→算→验”五步法，形成规范化解题习惯。★模型选择依据：关键在于判断运动物体的方向——相向用相遇模型，同向用追及模型。▲易错点警示：未明确运动类型就盲目套用公式，是常见错误根源。教学提示：此任务是建模后的首次综合输出，重在固化流程与内化判断标准。

任务五：变式拓展，促进思维迁移

教师活动：提出变式挑战：“如果运动不是‘同时开始’，我们的模型还直接能用吗？”回到例题2（弟弟先走3分钟），引导学生思考：“哥哥开始追的时候，弟弟已经创造了一段‘路程差’。这个‘路程差’怎么算？（弟弟先走的路程）然后，从哥哥出发那一刻起，是不是就变成了‘同时出发的追及问题’？”通过课件分步演示，将“非同时”问题转化为“同时”问题来处理。再提出环形跑道相遇问题：“在环形跑道上背向跑步，第一次相遇，我们其实可以把它想象成在一条‘环形’直线上的一次……（相遇）！那他们跑的路程和是多少？（一圈的长度）”引导发现，环形相遇的本质仍是相遇模型，总路程是一圈长度。

学生活动：跟随教师分析，理解将“非同时出发”转化为“同时出发”的关键是准确计算初始的路程差。思考环形跑道问题，通过类比直线上相遇，理解其本质，体会化归思想。部分学有余力的学生可尝试分析“多次相遇”或“中途停顿”等更复杂情况。

即时评价标准：1.能否理解“转化”思想，将非标准情境转化为基本模型。2.能否在教师启发下，找到复杂问题与基本模型的连接点。3.学有余力者能否提出自己的解题思路或变式猜想。

形成知识、思维、方法清单：▲非同时问题的处理：先计算先行者造成的“初始状态”（路程差或已走路程），再将问题转化为同时出发的基本模型求解。▲环形跑道问题：首次相遇（背向），实质是相遇问题，总路程为跑道周长；首次相遇（同向），实质是追及问题，路程差为跑道周长。★核心思想——化归：将陌生、复杂的问题，通过转化，归结为已经熟悉的相遇或追及基本模型。这是数学思维的更高境界。教学提示：本任务旨在提升思维层次，不要求所有学生完全掌握所有变式，但要让全体学生感受到“万变不离其宗”的数学思想。

第三、当堂巩固训练

设计分层练习，学生根据自身情况至少完成两个层级。

基础层（巩固模型）：1.直接应用相遇、追及模型的基本题各一道。如：“两城相距600千米，客车和货车同时相向开出，客车速度80km/h，货车速度70km/h，几小时相遇？”“小明每秒跑4米，小刚每秒跑6米，小刚在小明后面10米处同时同向起跑，几秒后小刚追上小明？”“大家先独立完成，找找模型应用的感觉。”

综合层（情境应用）：2.需要先判断类型或简单转化的题。如：“甲、乙两人骑自行车从同一地点向相反方向骑出，甲每小时骑12千米，乙每小时骑13千米。如果甲先骑出2小时后乙才骑出，那么乙骑出几小时后两人相距99千米？”（此题涉及方向与时间转化）“这道题有点‘小陷阱’，仔细读题，画图分析运动阶段哦。”

挑战层（思维拓展）：3.涉及环形跑道或隐含条件的题目。如：“一条环形跑道长400米，小军和小明同时从同一地点反向跑步，小军速度是6米/秒，小明是4米/秒，第一次相遇时，他们各跑了多少米？”“高手们可以挑战一下，想想环形跑道和直线问题的联系。”

反馈机制：学生完成后，先小组内交换批改基础题，教师公布答案。针对综合题和挑战题，请不同解法的学生上台展示讲解（“说说你的思路，你是怎么想的？”），教师针对共性问题进行精讲，并展示优秀线段图作品。

第四、课堂小结

知识整合：“同学们，今天我们经历了一场精彩的‘模型构建之旅’。谁能用一句话或者一个关系图，来总结一下我们的核心收获？”引导学生回顾两核心模型，并板书画出“行程问题”下分为“相遇”（速度和）与“追及”（速度差）的知识树。

方法提炼：“我们不仅仅是记住了两个公式，更重要的是掌握了一套方法。回想一下，面对一道行程问题，我们首先应该做什么？（画图分析）然后呢？（判断类型，选择模型）这就是我们解决这类问题的‘通用攻略’。”

作业布置与延伸：公布分层作业（见第六部分）。并留下思考题：“今天我们研究的是两个物体的运动。如果三个物体在运动中，又会碰撞出怎样的数学火花呢？有兴趣的同学可以课后研究一下。”以此激发持续探究的兴趣。

六、作业设计

基础性作业（必做）：1.完成教材或练习册上关于相遇与追及的基础练习题各3道，要求规范使用线段图辅助分析。2.整理课堂笔记，默写相遇与追及问题的核心公式，并各举一个生活实例说明。

拓展性作业（建议大多数学生完成）：1.解决一个情境稍复杂的应用题，例如：“一辆卡车和一辆轿车从上海开往南京，轿车晚出发1小时，但速度是卡车的1.5倍，结果两车同时到达。求两车速度之比。”此题需综合运用追及与比例知识。2.自编一道相遇或追及问题，并给出详细解答过程。

探究性/创造性作业（选做）：1.数学小论文：以“揭秘‘相遇’与‘追及’”为题，撰写一篇短文，阐述你对这两个模型的理解，比较其异同，并探讨它们在生产生活中的应用（如交通调度、航天器对接）。2.项目挑战：调查学校操场环形跑道的长度，设计一个方案，测算出你和一位同学沿跑道同向跑步时，你追上他所需的时间（需考虑速度测量）。

七、本节知识清单及拓展

★1.行程问题三要素：速度(v)、时间(t)、路程(s)。基本关系：s=v×t。这是分析所有行程问题的基石。

★2.线段图的核心价值：将动态的、复杂的运动过程转化为静态的、直观的图形，是揭示数量关系、寻找等量关系的最有效工具。画图时需注意标注清晰所有已知量和未知量。

★3.相遇问题基本模型：适用于两物体从两地、同时、相向而行直至相遇的情况。核心等量关系：（甲速+乙速）×相遇时间=总路程。记忆口诀：“相向合走，路分成”。

★4.追及问题基本模型：适用于两物体同向（从同一地点或不同地点）运动，快者追慢者的情况。核心等量关系：（快速慢速）×追及时间=路程差。记忆口诀：“同向追及，差定距”。路程差指开始追及时两者之间的距离。

▲5.“速度和”与“速度差”的物理意义：“速度和”指单位时间内两个相向运动物体间距离的减少值；“速度差”指单位时间内两个同向运动物体间距离的减少值（快追慢）或增加值（慢在前）。

★6.问题解决一般步骤（五步法）：一审（题型与条件）、二画（线段图）、三选（相遇或追及模型）、四算（列式求解）、五验（检查答案合理性）。养成规范解题习惯。

▲7.非同时出发问题的转化：先单独计算先出发物体在共同运动时间开始前所形成的“初始状态”（路程或路程差），然后将问题视为从某个时刻开始“同时”运动的基本模型来解决。

▲8.环形跑道问题本质：在环形跑道上，若两人从同一地点反向出发首次相遇，属于相遇问题，总路程为跑道一圈周长；若从同一地点同向出发首次相遇，属于追及问题，路程差为跑道一圈周长。

★9.核心数学思想：模型思想（从具体问题抽象出相遇、追及模型）、数形结合思想（以线段图解构问题）、化归思想（将复杂、非标准问题转化为基本模型）。

▲10.典型易错点警示：①未仔细审题，混淆“相向”与“同向”；②在追及问题中误用“速度和”；③在非同时出发问题中，错误地认为运动时间相同；④忽略单位统一。

八、教学反思

（一）目标达成度分析

本课预设的知识与能力目标达成度较高。通过“图解过程→探究建模→对比辨析→变式迁移”的进阶式任务链，绝大多数学生能当堂掌握两个核心模型，并能应用于标准情境。从巩固训练反馈看，基础层与综合层题目正确率超85%。情感与思维目标在小组合作探究（任务三）和模型对比中得到了有效渗透，学生表现出较强的探究兴趣和初步的模型意识。然而，部分学生在处理挑战层变式题时仍显吃力，说明将化归思想转化为自觉解题策略，还需后续持续强化。

（二）教学环节有效性评估

1.导入与情境创设：生活化场景快速切入，成功激发了学习动机。“数学侦探”的角色设定赋予了学习过程趣味性。2.新授环节的任务设计：任务一至任务四逻辑紧密，层层递进，符合认知规律。其中，任务三（小组探究追及模型）是课堂的高潮与难点突破点，小组讨论时思维碰撞激烈，但需注意控制时间，并加强对薄弱小组的巡视指导。任务五（变式拓展）的开放性把握得当，既为学优生提供了攀登的阶梯，又未给全体学生造成压力。3.巩固与小结环节：分层练习满足了差异化需求，同伴互评与典型讲评相结合，反馈及时有效。学生主导的小结虽略显稚嫩，但促进了知识的自主建构。

（三）学生表现深度剖析

课堂观察显示，学生群体呈现出明显的层次性。约70%的学生能紧跟任务